數(shù)學(xué)思想方法系列講座（1）

數(shù)學(xué)思想，是人們對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的認(rèn)識，是思維加工后的產(chǎn)物，它隱藏在數(shù)學(xué)概念、法則、公式、公理、定理、方法等知識的背后，反映了這些知識的共同本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想包括函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想等。

函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決。方程思想的實質(zhì)是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，并根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系列方程（組），通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進(jìn)行研究，求得問題的解決。

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。

在解決某些數(shù)學(xué)問題時，我們常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，發(fā)現(xiàn)問題的發(fā)展是按照不同的方向進(jìn)行的。當(dāng)被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導(dǎo)問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究。這里集中體現(xiàn)的是由大化小、由整體化為部分、由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起。這種“合—分—合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想。

化歸與轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)含義是，在解決一個問題時人們的眼光并不落在結(jié)論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)果，由此將問題化難為易，化繁為簡，化大為小，各個擊破，達(dá)到最終解決問題的目的。解題過程具有靈活性與多樣性的特點?；瘹w變換原則的結(jié)構(gòu)中蘊含著三個基本要素，即變換的對象、目標(biāo)和方法。變換的對象就是待解決問題中需要變更的問題，變換的目標(biāo)是所要達(dá)到的規(guī)范問題，變換的方法是規(guī)范化的手段、措施和技術(shù)。變換的方法是實現(xiàn)變換的關(guān)鍵。一個數(shù)學(xué)問題，我們可以視其為一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，組成其要素之間的關(guān)系是可變的，但尋求變形的方法并不唯一。因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，就沒有一個統(tǒng)一的模式可以遵循，需要我們依據(jù)問題本身所提供的信息，利用動態(tài)思維去尋找有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中選擇，使生疏變換成熟悉、復(fù)雜變換成簡單、抽象變換成直觀、含糊變換成明朗。

人們對一類新事物的認(rèn)識往往是從這類事物中的個體開始的。通過對某些個體的認(rèn)識與研究，逐漸積累對這類事物的了解，逐漸形成對這類事物總體的認(rèn)識，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)特點，掌握規(guī)律，形成共識，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體。這種認(rèn)識事物的過程是由特殊到一般的認(rèn)識過程。這并不是目的，我們還需要用理論指導(dǎo)實踐，用所得到的特點和規(guī)律解決這類事物中的新問題。這種認(rèn)識事物的過程是由一般到特殊的認(rèn)識過程。由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程，是人們認(rèn)識世界的基本過程之一。

有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究。對有限個對象的研究往往有章法可循，并可以積累一定的經(jīng)驗，而對無限個對象的研究，往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗不足，于是將對無限的研究轉(zhuǎn)化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經(jīng)之路。反之，當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決。這種無限化有限、有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限思想。

世間萬物千姿百態(tài)、千變?nèi)f化，人們對世界的了解、對事物的認(rèn)識是從不同側(cè)面進(jìn)行的，人們發(fā)現(xiàn)事物或現(xiàn)象可以是確定的，也可以是模糊的，或隨機的。為了了解隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，便產(chǎn)生了概率論的數(shù)學(xué)分支。概率是研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科，隨機現(xiàn)象有兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機性，即重復(fù)同樣的試驗，所得到的結(jié)果未必相同，以至于在試驗之前不能預(yù)料試驗的結(jié)果；二是頻率的穩(wěn)定性，即在大量重復(fù)試驗中，每個試驗結(jié)果發(fā)生的頻率“穩(wěn)定”在一個常數(shù)附近。了解一個隨機現(xiàn)象就是知道這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，知道每個結(jié)果出現(xiàn)的概率。知道這兩點就說明對這個隨機現(xiàn)象研究清楚了。概率研究的是隨機現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是或然與必然思想。

數(shù)學(xué)方法，顧名思義，就是人們從事數(shù)學(xué)活動時所使用的方法。數(shù)學(xué)基本方法包括待定系數(shù)法、換元法、配方法、割補法、反證法等；數(shù)學(xué)邏輯方法包括分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比、具體與抽象等。

人們往往將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法合在一起，稱之為數(shù)學(xué)思想方法，可見兩者之間有密切的聯(lián)系。事實上，兩者之間有一定的區(qū)別，但要將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格區(qū)分開來是困難的，所以人們常常對這兩者不加區(qū)分，而統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中涉及的思想方法大致有抽象概括、化歸、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、歸納猜想、分類、類比、特殊化、演繹、完全歸納法、反證法、換元法、待定系數(shù)法、配方法等。從中可以看出，中小學(xué)數(shù)學(xué)中確實蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容，不但方法的種類多，而且某些方法反復(fù)出現(xiàn)并應(yīng)用，這說明在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)不但具有重要意義，而且現(xiàn)實可行，是一個長期的頗具開發(fā)價值的研究課題。

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。學(xué)生在中小學(xué)所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不久就忘掉了。然而，不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。理論研究和人才成長的軌跡都表明，數(shù)學(xué)思想方法在人的能力培養(yǎng)和素質(zhì)提高方面具有重要作用。

我們在課堂教學(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系。只有加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)、優(yōu)化學(xué)生的思維、全面提高數(shù)學(xué)能力，才能提高學(xué)生解決問題的水平和能力。

以數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課為例。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是在學(xué)生基本掌握了數(shù)學(xué)知識體系、具備了一定的解題經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，也是在學(xué)生基本認(rèn)識了各種數(shù)學(xué)基本方法、思維方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。其目的在于深化學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生在多次的練習(xí)中充分運用數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思想、熟練掌握數(shù)學(xué)方法理想的難得的教學(xué)過程。

我們可以說，數(shù)學(xué)思想方法是滲透在數(shù)學(xué)知識與方法中具有普遍適應(yīng)性的本質(zhì)思想，是理解、思考、分析與解決數(shù)學(xué)問題的普通方法，對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一般是結(jié)合數(shù)學(xué)知識多層次進(jìn)行的，應(yīng)該貫穿在每節(jié)數(shù)學(xué)課教學(xué)的始終。

（下期內(nèi)容預(yù)告：數(shù)學(xué)思想方法系列講座（2）——函數(shù)與方程的思想）

責(zé)任編輯 姜楚華