基于改進BESO算法的集材絞盤機卷筒優(yōu)化設(shè)計

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(福建工程學(xué)院 福建省汽車電子與電驅(qū)動重點實驗室，福建 福州 350118)

林業(yè)機械不斷向輕量化、高效率方向發(fā)展，摩擦卷筒作為林業(yè)絞盤機的重要動力部件，直接影響著林業(yè)絞盤機的工作效率及性能，因此，對摩擦卷筒進行進一步優(yōu)化很有必要[1]。國內(nèi)外學(xué)者對此已開展了一系列研究: Usabiaga等[2]在分析卷筒直徑對鋼絲繩影響的基礎(chǔ)上，對卷筒直徑進行優(yōu)化設(shè)計；羅健康等[3]基于有限元方法，針對卷筒壁厚進行了優(yōu)化設(shè)計；聶金寧等[4]采用微積分與有限元仿真分析相結(jié)合的方法，研究卷筒在不同載荷條件下的應(yīng)力狀態(tài)，并對卷筒進行了優(yōu)化設(shè)計；吳傳宇等[5]借助有限元分析軟件對摩擦卷筒進行了分析與改進；張嘉璐等[6]基于有限元方法，對拋物線形和雙錐形摩擦卷筒結(jié)構(gòu)形式進行了應(yīng)力及形變分析。以上研究僅對摩擦卷筒進行了結(jié)構(gòu)分析或尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。為了得到力學(xué)性能更加良好的結(jié)構(gòu)，拓撲優(yōu)化成為了最常用的設(shè)計方法[7]。張小珍等[8]基于Optistruct軟件，以摩擦卷筒體積最小為優(yōu)化目標，對摩擦卷筒進行了拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化，但得到的優(yōu)化結(jié)果邊界不清晰。本文嘗試利用一種改進的拓撲優(yōu)化方法對摩擦卷筒進行優(yōu)化設(shè)計。

常見的拓撲優(yōu)化方法有水平集方法、均勻化方法、SIMP方法[9-10]、漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(BESO)、獨立連續(xù)映射法(ICM)、移動可變形組件法(MMC)等。BESO方法具有邊界清晰、易于實現(xiàn)的特點，但實際應(yīng)用中仍存在靈敏度推導(dǎo)繁瑣復(fù)雜[11-12]、刪除單元導(dǎo)致的數(shù)值奇異[13-14]、基于準則法優(yōu)化時性能難以評價等一些問題[15]。針對這些問題，本文嘗試改進基于von Mises應(yīng)力的雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法，并將其應(yīng)用于林業(yè)絞盤機摩擦卷筒的輕量化設(shè)計。

1 基于米塞斯應(yīng)力的BESO算法改進

1.1 材料插值模型

BESO方法的設(shè)計變量是離散的(0或1)，結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格劃分后，每個單元對應(yīng)一個設(shè)計變量，當某個單元對應(yīng)的設(shè)計變量為0時，就意味著將該單元的材料刪掉，這在原理上行得通，但在實際的有限元數(shù)值計算時，直接將單元材料賦值為0可能會造成結(jié)構(gòu)剛度矩陣奇異[16-18]。為避免這種數(shù)值奇異現(xiàn)象，本文采用修改的材料插值模型：

(1)

其中，xi為i個單元的設(shè)計變量；E(xi)、ρ(xi)分別代表單元的彈性模量和密度；E0、ρ0分別代表xi=1時的彈性模量和密度；Emin、ρmin分別代表xi=0時的彈性模量和密度，通常取Emin=10-6E0、ρmin=10-6ρ0；p為懲罰系數(shù)(通常取3)。此時，單元“刪除”是通過賦予單元一種很“軟”的材料實現(xiàn)的，從而可避免結(jié)構(gòu)剛度數(shù)值奇異的問題。

1.2 應(yīng)力靈敏度分析

應(yīng)力水平是結(jié)構(gòu)設(shè)計的一個重要判斷標準，一個理想的結(jié)構(gòu)，內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)處于同一應(yīng)力水平。以應(yīng)力水平為優(yōu)化準則的BESO方法，原理簡單、計算效率高，更適合于實際工程應(yīng)用。結(jié)構(gòu)中某一點處的Von Mises應(yīng)力為：

(2)

其中，σ為某一點處的應(yīng)力向量，T為系數(shù)矩陣。

根據(jù)有限元理論，第i個單元內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)可表示為：

σi=DBui

(3)

其中，D為單元的彈性矩陣；B為應(yīng)變矩陣；ui為單元節(jié)點位移。

將公式(1)代入公式(3)整理可得：

(4)

其中，D0表示單元為實體材料時的彈性矩陣。

再將公式(4)代入公式(2)，得到第i個單元內(nèi)等效的米塞斯應(yīng)力：

(5)

將公式(5)兩邊對xi求導(dǎo)得：

(6)

因此，基于von Mises應(yīng)力的單元靈敏度數(shù)可定義為：

(7)

可見，基于應(yīng)力準則的拓撲優(yōu)化，其靈敏度計算很容易。在實際應(yīng)用中，單元的靈敏度數(shù)可通過單元各節(jié)點處的靈敏度數(shù)求平均得到：

(8)

式中，M為第i個單元的節(jié)點數(shù)，對于四邊形單元M=4，對于六面體單元M=8。

1.3 性能評價指標

基于米塞斯應(yīng)力的BESO算法的基本原理就是逐步刪除結(jié)構(gòu)中應(yīng)力低的材料，從而使結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布逐漸均勻。在統(tǒng)計學(xué)中，均方差是用來衡量數(shù)據(jù)離散程度的，均方差越小說明數(shù)據(jù)越集中，反之，則越離散。結(jié)構(gòu)應(yīng)力是否均勻，同樣可以用應(yīng)力均方差來衡量[19]。因此，本文將應(yīng)力均方差作為基于應(yīng)力的BESO算法的性能評價指標PI，即

(9)

1.4 改進的BESO算法步驟及軟件實現(xiàn)

改進后的BESO算法包括以下計算步驟：

1) 初始化設(shè)計區(qū)域，對設(shè)計區(qū)域進行網(wǎng)格的劃分，給定目標體積分數(shù)及刪除率；

2) 對結(jié)構(gòu)進行有限元方法分析；

3) 計算單元等效應(yīng)力，得到單元靈敏度數(shù)并進行濾波處理[20]；

4) 根據(jù)單元靈敏度數(shù)大小，對單元進行排序，按照刪除率對單元進行刪、添；

5)重復(fù)以上過程，直至滿足收斂條件，得到最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)。

圖1給出了該算法的具體流程圖。

圖1 改進后BESO算法流程圖Fig.1 The improved BESO method flowchart

改進的BESO算法是通過聯(lián)合Abaqus有限元軟件與MATLAB編程語言來實現(xiàn)的，在算法實現(xiàn)過程中的關(guān)鍵步驟包括：

1)有限元軟件的調(diào)用。在MATLAB程序中，采用dos命令來調(diào)用Abaqus有限元軟件，命令格式為：status = dos ( 'abaqus job=file_name.inp' )，其中，status表示返回狀態(tài)；file_name表示有限元模型文件名。

2)有限元分析結(jié)果的讀取。通過讀取Abaqus的fil文件，將單元節(jié)點應(yīng)力數(shù)據(jù)保存為txt文件，然后再導(dǎo)入到MATLAB的workspace中。

3) 刪、添單元后新結(jié)構(gòu)的構(gòu)造?？赏ㄟ^修改inp文件來實現(xiàn)單元的刪、添，從而構(gòu)造新的結(jié)構(gòu)用于下一步有限元分析。

2 集材絞盤機摩擦卷筒設(shè)計

2.1 算法驗證

為驗證改進的BESO算法，先來研究一個簡單算例：旋轉(zhuǎn)飛輪的形狀優(yōu)化問題。在離心載荷作用下，盤型飛輪可看成二維軸對稱問題。假設(shè)飛輪由鋁合金制成，彈性模量為70 GPa、泊松比為0.3、密度為2 700 kg/m3；飛輪半徑為300 mm、軸向厚度為150 mm；飛輪以2 000 rad/s高速旋轉(zhuǎn)。設(shè)定BESO的進化率ER=2%、懲罰系數(shù)p=3、濾波半徑rmin=3、目標體積V*=50%。

圖2 (b)為優(yōu)化后飛輪的形狀及應(yīng)力分布。與初始狀態(tài)圖2(a)相比，最大應(yīng)力降低了43%，低應(yīng)力區(qū)域(深色)也明顯減少。圖3給出了優(yōu)化過程中飛輪結(jié)構(gòu)應(yīng)力均方差的變化曲線，從圖3可以看出，經(jīng)過優(yōu)化，飛輪內(nèi)部應(yīng)力變得更加均勻。此外，從圖2 (b)還可以看到，優(yōu)化后的飛輪形狀與等應(yīng)力飛輪的形狀十分相似。綜上可見，改進的BESO方法是可行、有效的。下面采用該方法進一步開展應(yīng)用研究。

圖2 旋轉(zhuǎn)飛輪優(yōu)化結(jié)果對比Fig.2 Omparison of flywheel optimization results

圖3 飛輪應(yīng)力均方與體積分數(shù)變化差曲線Fig.3 Stress standard deviation convergence curve of flywheel

2.2 摩擦卷筒拓撲優(yōu)化設(shè)計

集材絞盤機是依靠摩擦卷筒與鋼索產(chǎn)生的摩擦力牽引鋼索運行的，對摩擦卷筒進一步優(yōu)化設(shè)計，有利于實現(xiàn)絞盤機輕量化和提高作業(yè)效率。摩擦卷筒主要承受的載荷是鋼索拉力對其作用的扭矩，設(shè)摩擦卷筒最大牽引力為19 208 N，根據(jù)文獻[7]，可以得到工作半徑為150 mm的摩擦卷筒所承受的最大扭矩約為2 881.2 N·m。摩擦卷筒的材質(zhì)一般為低合金高強鋼，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 900 kg/m3。摩擦卷筒是旋轉(zhuǎn)周期對稱結(jié)構(gòu)，圖4為1/4周期摩擦卷筒的初始結(jié)構(gòu)(旋轉(zhuǎn)角度為60°)，外半徑為150 mm，內(nèi)、外端徑向厚度都為20 mm，軸向最大厚度為70 mm，軸向最小厚度為50 mm；其中深色部分為非設(shè)計域，淺色部分為實際的設(shè)計域。其他優(yōu)化參數(shù)不變。

圖4 摩擦卷筒的初始結(jié)構(gòu)Fig.4 Initial model of friction drum

圖5給出了旋轉(zhuǎn)周期數(shù)為4、設(shè)計域材料體積分數(shù)為40%時的摩擦卷筒最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)及其應(yīng)力分布。從圖中可看出，優(yōu)化后摩擦卷筒結(jié)構(gòu)邊界清晰，不存在中間過渡材料；且最大應(yīng)力為24.11MPa，遠小于材料的許用應(yīng)力113 MPa，可見仍有進一步優(yōu)化的空間。

圖5 旋轉(zhuǎn)周期數(shù)為4、材料體積分數(shù)為40%時的最優(yōu)摩擦卷筒拓撲結(jié)構(gòu)Fig.5 Optimal friction drum topology when the number of rotation periods is 4 and the material volume fraction is 40%

為進一步研究材料體積分數(shù)及旋轉(zhuǎn)周期數(shù)對摩擦卷筒結(jié)構(gòu)的影響，圖6、7、8分別給出了在體積分數(shù)為20%、40%以及60%情況下，不同旋轉(zhuǎn)周期數(shù)對應(yīng)的摩擦卷筒的最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)。

圖6 材料體積分數(shù)為20%時不同旋轉(zhuǎn)周期數(shù)的摩擦卷筒最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)Fig.6 Topological optimization results of the friction drum with a volume fraction of 20%

圖7 材料體積分數(shù)為40%時不同旋轉(zhuǎn)周期數(shù)的摩擦卷筒最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)Fig.7 Topological optimization results of the friction drum with a volume fraction of 40%

圖8 材料體積分數(shù)為60%時不同旋轉(zhuǎn)周期數(shù)的摩擦卷筒最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)Fig.8 Topological optimization results of the friction drum with a volume fraction of 60%

對比圖6-8可看出，不同約束條件，摩擦卷筒的最優(yōu)拓撲不盡相同。隨著旋轉(zhuǎn)周期數(shù)的增加，摩擦卷筒內(nèi)的孔洞也跟著增多，但結(jié)構(gòu)形式變化不大；隨著材料體積分數(shù)減小，摩擦卷筒的孔洞逐漸增大，結(jié)構(gòu)形式變得明顯不同，結(jié)構(gòu)中 “桿件”增多，結(jié)構(gòu)趨于簡單化。在實際設(shè)計生產(chǎn)中，應(yīng)綜合考慮使用的材料性能及加工成本，選擇經(jīng)濟實用的拓撲結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)論

1)改進的BESO算法無需復(fù)雜的公式推導(dǎo)，具有簡單高效、易于實現(xiàn)的特點，便于實際工程應(yīng)用。

2)采用改進的BESO方法可得到結(jié)構(gòu)合理、邊界清晰的集材絞盤機摩擦卷筒最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)，為摩擦卷筒輕量化設(shè)計與開發(fā)提供了理論和技術(shù)支撐。

3) 不同約束條件，摩擦卷筒的最優(yōu)拓撲不盡相同；隨著旋轉(zhuǎn)周期數(shù)目增加，摩擦卷筒結(jié)構(gòu)形式變化不大，但隨著材料體積分數(shù)減小，摩擦卷筒結(jié)構(gòu)形式變化明顯，摩擦卷筒中“桿件”增多，結(jié)構(gòu)趨于簡單化。