動(dòng)中求“定”，三招搞定“定值”問(wèn)題

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 任之庭

解析幾何中的定值、定點(diǎn)、定圓和定直線(xiàn)等問(wèn)題是江蘇數(shù)學(xué)高考中的“?？汀保捎谒婕懊鎻V、綜合性強(qiáng)，且具有一定難度，因而，經(jīng)常令許多考生“忘題興嘆”.那么，求解這類(lèi)問(wèn)題有哪些基本策略呢？本文教你三招.

第一招：設(shè)參消參，定值自現(xiàn)

所謂定值，就是動(dòng)中有“定”，雖然有的量在變，但某個(gè)值不變，而變的量往往可以用參數(shù)刻畫(huà)，當(dāng)聯(lián)立幾個(gè)等式消去參數(shù)后，定值自然會(huì)“浮出水面”.

例1 （2018年安徽合肥高三二模）已知點(diǎn)A（1，0）和動(dòng)點(diǎn)B，以線(xiàn)段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O：x2+y2=4．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)P（2，0），Q（2，-1），經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)B的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)PM與直線(xiàn)PN的斜率之和為定值．

分析：（Ⅰ）設(shè)以線(xiàn)段AB為直徑的圓的圓心為C，取A（′-1，0），借助幾何知識(shí)分析可得動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是以A，A′為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，根據(jù)待定系數(shù)法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B；（ ） 當(dāng)直線(xiàn)垂直于 軸時(shí)，=1Ⅱ①lx不合題意；②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y+1=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立消元后可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式可得kPM+kPN=3，故其和為定值．

解：（Ⅰ）結(jié)合圖形，利用定義法，不難算得動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程為（過(guò)程略）

（Ⅱ）①當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2，此時(shí)直線(xiàn)與橢圓l相切，與題意不符．

②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y+1=k（x-2）．

由消去y整理得（4k2+3）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k-8=0．

因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，所以Δ=（16k2+8k）2-4（4k2+3）（16k2+16k-8）＞0，解得k＜

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)設(shè)出動(dòng)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而運(yùn)用韋達(dá)定理直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．這是常規(guī)思路，主要考查考生的推理能力和計(jì)算能力.

第二招：特值探路，心中有數(shù)

解題要有目標(biāo)意識(shí)，定值究竟是多少，可以通過(guò)特值法求得，然后通過(guò)一般的運(yùn)算加以證明.例 已知 ，是橢圓2 F1F2（ ）的兩個(gè)焦=1a>b>0點(diǎn)，M是與F1，F(xiàn)2不共線(xiàn)的橢圓上的點(diǎn)，設(shè)I為△MF1F2的內(nèi)心，延長(zhǎng)MI與FF交于點(diǎn)N，如圖1，求證12為定值.

圖1

點(diǎn)評(píng)：特殊探路，一般證明，這種從特殊到一般的思維鎖定了解題的最終目標(biāo).與二次曲線(xiàn)有關(guān)的探求定值問(wèn)題，常以曲線(xiàn)的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)及相交弦的端點(diǎn)等作為點(diǎn)的特殊位置，而與對(duì)稱(chēng)軸平行或垂直的直線(xiàn)作為直線(xiàn)的特殊位置，在推證時(shí)，往往要借助參數(shù)，將變量轉(zhuǎn)化為常量，這種轉(zhuǎn)化的難易，既與參數(shù)的選擇有關(guān)，也與證明途徑有關(guān).

第三招：方程思想，整體代換

定值問(wèn)題離不開(kāi)方程思想，與此同時(shí)設(shè)而不求、整體代換為這類(lèi)問(wèn)題開(kāi)辟了一條捷徑.

例3（2018年江蘇南通、徐州、揚(yáng)州等六市高三二模）如圖 ，在平面直角坐標(biāo)系 中，，是橢圓2

xOyB1B2=1（a＞b＞0）短軸的端點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)B1，B2的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)PB1的方程為y=x+3時(shí)，線(xiàn)段PB1的長(zhǎng)為4

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q滿(mǎn)足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求證：△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值.

圖2

點(diǎn)評(píng)：在解析幾何中，常常會(huì)遇到兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)及相關(guān)點(diǎn)的問(wèn)題，若用常規(guī)方法通過(guò)解方程組求交點(diǎn)，往往運(yùn)算量大，易出差錯(cuò)；若設(shè)而不求，使用整體思維，便可簡(jiǎn)捷求解.本解法不僅采用了“設(shè)而不求”的思想方法，而且實(shí)施了“整體代換”，從而使解答更簡(jiǎn)捷.

圓錐曲線(xiàn)定值問(wèn)題，歷來(lái)是高考的一個(gè)難點(diǎn)，難就難在方法的選擇上，若方法不當(dāng)，往往無(wú)功而返.如果把握了上述三招，那么解答此類(lèi)問(wèn)題必定“旗開(kāi)得勝，馬到成功”.W