圓錐曲線離心率問題的解法剖析與思考

☉江蘇省連云港市華杰實驗學(xué)校 宋現(xiàn)印

圓錐曲線的離心率是高中數(shù)學(xué)的重點知識，以其為載體的考題一直都是高考的熱點，雖然離心率的定義和計算公式較為固定，但考慮到與其相關(guān)的知識內(nèi)容較多，因此該類問題通常以綜合題的形式出現(xiàn)，因此可以從不同的角度，采用多種思路來分析.本文將對一道離心率與平面幾何相結(jié)合的考題進(jìn)行多解探究，總結(jié)解題方法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流學(xué)習(xí).

一、考題呈現(xiàn)，思路分析

考題 （2018年北京高考卷第14題）已知橢圓M的解析式為，雙曲線N的解析式為=1，如果雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰好為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓M的離心率為______；雙曲線N的離心率為______.

分析：上述題目涉及了橢圓和雙曲線，通過圖像中的特殊點構(gòu)建的一個正六邊形將兩者聯(lián)系起來，求解兩個圓錐曲線的離心率就需要充分利用這兩類曲線的性質(zhì)，結(jié)合正六邊形的特性構(gòu)建兩者之間的關(guān)系，然后基于離心率的表達(dá)式嘗試進(jìn)行關(guān)系轉(zhuǎn)化.分析問題中的條件，初步有以下幾種思路：一是以正六邊形的邊長性質(zhì)作為解題切入點，尋求點與點之間的距離關(guān)系；二是從研究點的坐標(biāo)入手，聯(lián)立兩類曲線的解析式；三是充分利用正六邊形中的特殊圖形，如直角三角形，圍繞特殊圖形的性質(zhì)構(gòu)建曲線特征參數(shù)的關(guān)系.

二、思路突破，多解探析

圖1

解題思路1：連接AF1和AF2，如圖1所示，點A既是正六邊形的頂點，也是橢圓M上的點，求AF1+AF2既可以從幾何性質(zhì)角度來分析，也可以結(jié)合橢圓的基本定義，兩者所得的結(jié)果必然是一致的，即c+c=2a.則可以直接構(gòu)建a與c之間的關(guān)系，即橢圓M的離心率為而對于雙曲線的離心率的探究，則同樣可以從幾何與圓錐曲線性質(zhì)兩個角度來構(gòu)建參數(shù)關(guān)系：由雙曲線漸近線的表達(dá)式，可知漸近線的斜率為，結(jié)合正六邊形的性質(zhì)特征可知漸近線的傾斜角分別為率為±，轉(zhuǎn)化后可得e2=2，即雙曲線N的離心率為2.

圖2

解題思路2：根據(jù)題干條件繪制圖2所示的圖像，分析正六邊形的結(jié)構(gòu)，橢圓的兩個焦點F1和F2分別為正六邊形兩側(cè)的頂點，而漸進(jìn)線將正六邊形的內(nèi)角平分，顯然△AOF2為等邊三角形，即∠AOF2=∠AF2O=∠OAF2=60°，過點A作x軸的垂線，垂足為E，點F的坐標(biāo)為（c，0），則OE=2，即點A的坐標(biāo)為考慮到點A位于橢圓上，則必然滿足橢圓M的方程，將1中，整理可得，即橢圓M的離心率為-1.同時點A位于雙曲線的一條漸近線上，根據(jù)雙曲線的解析式可設(shè)其漸近線的表達(dá)式為將點A的坐標(biāo)代入其中可得即雙曲線N的離心率為2.

上述考題是高考中常見的求圓錐曲線離心率題，其特殊之處有兩個：一是將多條曲線融合在一起進(jìn)行考查；二是將圓錐曲線知識與平面幾何知識綜合起來進(jìn)行考查.因此從問題內(nèi)容來看屬于平面幾何與函數(shù)曲線相融合的綜合題，求解離心率就需要從平面幾何與函數(shù)曲線兩個角度來構(gòu)建參數(shù)a與c的數(shù)量關(guān)系，上述兩種解法的思路雖然不同，但都是基于該策略來完成構(gòu)建的.

解法1以正六邊形的性質(zhì)作為解題的出發(fā)點，結(jié)合橢圓的定義構(gòu)建方程，進(jìn)而求得離心率，簡化了解題的過程；而解法2在求解橢圓的離心率時立足點A的坐標(biāo)，利用正六邊形的性質(zhì)表示點A的坐標(biāo)，然后將其代入橢圓的解析式，從而獲得相關(guān)的代數(shù)關(guān)系，直接達(dá)到了求解離心率的目的.

三、知識總結(jié)，方法提煉

圓錐曲線的離心率是常見的問題類型，在綜合題中一般不直接根據(jù)a，c的數(shù)值計算，而采用關(guān)系轉(zhuǎn)化的方式獲得，因此有必要對其進(jìn)行知識總結(jié)和方法提煉.

1.公式轉(zhuǎn)化與分析

2.解題方法

求解圓錐曲線的離心率或分析取值范圍一般采用如下方法：

（1）基本公式法，離心率是c與a的比值，因此可以直接根據(jù)題目的條件求得c與a的具體數(shù)值，然后代入公式求解.

（2）代數(shù)方程法，求解離心率可以視為是求解a，b，c其中兩個數(shù)的值，因此對于一些圓錐曲線題，可以結(jié)合題干條件列出a，b，c之間的關(guān)系，組成代數(shù)方程，然后通過解方程的方式求解.

（3）幾何函數(shù)法，該方法指的是從幾何與函數(shù)兩個角度進(jìn)行條件構(gòu)建，如上述考題的兩種解法，結(jié)合平面圖形的相關(guān)性質(zhì)提煉條件，然后結(jié)合曲線的性質(zhì)特征構(gòu)建關(guān)系模型，采用關(guān)系轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程的方式來求解.

（4）不等式法，該方法的顯著特征是構(gòu)建關(guān)于離心率參數(shù)的不等式，可以結(jié)合平面幾何中圖形的邊長不等關(guān)系，也可以結(jié)合題目本身相關(guān)量的取值范圍，最終只需列出對應(yīng)的不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等關(guān)系式即可.

3.學(xué)以致用

圖4

解析：通過構(gòu)建幾何函數(shù)法求解方程，根據(jù)題干條件繪制圖4所示的圖像，△F1PF2為等腰直角三角形，則F1F2=PF2.由橢圓的性質(zhì)可知F1F2=2c.點F2的坐標(biāo)為（c，0），點P的橫坐標(biāo)與點F2相同且位于橢圓上，則可推知點，整理后兩邊同除以a2，可解得e=-1+

四、解后思考，教學(xué)反思

1.剖析問題本質(zhì)，立足基本定理

與離心率有關(guān)的考題是高考的熱點問題，該類問題的考查形式多樣，題型也較為靈活，有單純根據(jù)曲線方程求解離心率的簡單題，也有綜合多種知識考查離心率內(nèi)容的復(fù)合題，但從考題的求解過程來看，均離不開對離心率概念和圓錐曲線對應(yīng)性質(zhì)的利用.如上述兩道綜合性問題，依然需要從離心率的定義出發(fā)，結(jié)合離心率的表達(dá)式進(jìn)行關(guān)系轉(zhuǎn)化，即剖析問題本質(zhì)才是求解考題的根本，也是實現(xiàn)考題高效求解的關(guān)鍵.在實際教學(xué)中，教師在講解綜合性考題時，應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生剖析問題本質(zhì)，使學(xué)生認(rèn)識到問題的本質(zhì)內(nèi)容，然后立足于基本的定理、定義構(gòu)建問題的解題思路，使學(xué)生掌握考題最根本的解法.

2.多維思考探究，總結(jié)解題方法

高考真題的經(jīng)典之處在于學(xué)生可從不同的角度，運用不同的方法獲得正確的答案，這就從另一個層面鼓勵學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中要敢于思考，勇于創(chuàng)新.如上述關(guān)于離心率的考題，既可以從平面幾何角度進(jìn)行分析，也可以從圓錐曲線的基本定義入手，還可以將兩者融合構(gòu)建對應(yīng)的代數(shù)方程.多角度思考探究考題的優(yōu)勢在于可以全面認(rèn)識考題的結(jié)構(gòu)，對考題的解題思路產(chǎn)生深刻的認(rèn)識，從而有效提升自我的解題思維.因此在解題教學(xué)中，教師十分有必要開展考題的多解探析，幫助學(xué)生總結(jié)特定問題的解題方法和分析策略，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).W