例談高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的特點*

☉四川省內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 趙思林

☉四川省內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 紀定春

☉四 川 省 資 陽 市 教 科 所 盧勇剛

2009年5月，《數(shù)學通報》發(fā)表了《高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的幾個特點》一文，文章重點介紹了高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的特點，即立意的鮮明性、背景的深刻性、情境的新穎性、設問的靈活性［1］.近10年以來的高考數(shù)學創(chuàng)新型試題仍體現(xiàn)了這些特點.但也有一些新的變化，一是增加了數(shù)學文化，這體現(xiàn)了新課改對數(shù)學文化的強化；二是增加了條件（結(jié)論）的開放性試題；三是10年前以分省命題為主又變?yōu)橐越逃棵}中心命題為主；四是國家提出了“三個第一”，即“發(fā)展是第一要務，創(chuàng)新是第一動力，人才是第一資源”，對教育來講，“創(chuàng)新”和“人才”占了“兩個第一”，這無疑對培養(yǎng)和選拔創(chuàng)新人才提出了新的要求.

一、立意的鮮明性

立意是指高考試題考查的目的［1］.高考命題一般以立意為中心.自1999年起，高考命題就強調(diào)“能力立意”，“能力立意”就是首先確定考查能力的內(nèi)容和類型，然后根據(jù)考查能力的層次（了解、理解、掌握等）的具體要求來確定所要考查的知識內(nèi)容，最后設計出符合知識要求和能力要求的試題.高考數(shù)學簡單地講，主要是四考：考基礎知識，考思想方法，考能力素養(yǎng)，考數(shù)學意識（應用意識和創(chuàng)新意識）.高考數(shù)學創(chuàng)新型試題是根據(jù)能力素養(yǎng)來立意命題的指導思想，并用來衡量考生的發(fā)展性和創(chuàng)造性的新穎試題［1-2］.以能力素養(yǎng)來立意的數(shù)學試題一般以數(shù)學基礎知識、基本技能和數(shù)學思想方法為載體，以考查基礎知識、基本運算和基本方法為主要形式.

1.考查基礎知識的靈活應用

數(shù)學基礎知識和基本技能是形成和發(fā)展數(shù)學能力素養(yǎng)的必要基礎，是領悟數(shù)學基本思想的重要載體.高考對基礎知識的考查不是知識的機械記憶和簡單模仿，而是側(cè)重于考查對基本概念的理解及基本思想方法的運用.考查基礎知識的試題一般都含有教材背景，但解答這類試題所用到的思想方法和能力素養(yǎng)又略高于教材，因此這類試題既體現(xiàn)了基礎性又有一定的綜合性.

例1（2017年全國卷Ⅲ理科第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=，b=2.

（1）求c的值；

（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

評注：本題考查了輔助角公式、正弦定理、余弦定理、勾股定理、面積公式等基礎知識，是一道考查基礎知識點的靈活運用和綜合應用的好題，該題既源于教材又高于教材.

2.考查數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法是數(shù)學中最有價值的核心素養(yǎng)，歷來都是高考立意的基本原則．

例2（2017年全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

分析：問題（1）考查了含參變量函數(shù)的單調(diào)性問題，主要涉及分類討論及單調(diào)性的判定．當a≤0時，可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，當a>0時，有f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，令f′（x）=0，可得x=-lna，故可得f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，f（x）在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增．

問題（2）是對問題（1）中函數(shù)最值的深入考查，通過問題（1）可知，當a≤0時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）至多有一個零點，與題設不符.則只能當a>0時，f（x）有兩個零點．要使函數(shù)f（x）有兩個零點，結(jié)合f（x）先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，等價于函數(shù)的最小值小于零．故f（-lna）<0，即a-1+alna<0，則a<1，綜上可得a∈（0，1）．

評注：本題考查了含參變量函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)求導法則、參數(shù)討論、函數(shù)最值、函數(shù)零點等基礎知識，涉及轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，集中體現(xiàn)了高考對數(shù)學思想方法的考查．

3.考查應用意識和創(chuàng)新意識

應用型試題是考查考生“綜合實力”的試題，是考查學生數(shù)學綜合能力和素養(yǎng)的好題型［1］．“考查應用意識”也是命題組長期堅持的命題方針，其中應用意識表現(xiàn)在數(shù)學建模、用數(shù)學知識分析和解決實際問題等方面．試卷既突出概率與統(tǒng)計的應用性，也重視函數(shù)（含數(shù)列）、三角等知識的實際應用．應用性試題、探究性試題、開放性試題是創(chuàng)新型試題的基本題型，擔負著考查創(chuàng)新意識的重任．面對應用性試題、探究性試題、開放性試題等創(chuàng)新型試題時最好的辦法就是組織學生適當?shù)亻_展研究性學習［1］，有意識地讓學生在學習的過程中經(jīng)歷數(shù)學探究的整個過程，并且在這個過程中教師要積極地調(diào)動學生的主動性，激發(fā)學生對數(shù)學探究的興趣，引導學生獨立自主地觀察數(shù)學現(xiàn)象，收集與整理數(shù)學材料，提出、分析并解決數(shù)學問題，探究數(shù)學規(guī)律，猜想數(shù)學命題，制定解題方案，回顧心路歷程，提煉數(shù)學思想方法等．

例3（2017年上海卷第19題）根據(jù)預測，某地第n（n∈N*）個月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn（單位：輛），其中，第n 個月底共享單車的保有量是前n個月的累計投放量與累計損失量的差．

（1）求該地區(qū)第4個月底共享單車保有量.

（2）已知該地共享單車停放點第n個月底單車容納量為Sn=-4（n-46）2+8800（單位：輛）．設在某月底，共享單車的保有量達到最大，問：該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？

分析：對于問題（1），首先明確共享單車保有量是累計投放量與累計損失量之差，然后將n=1，2，3，4代入an，bn，算出前4個月累計投放量之和與累計損失量，差值即為保有量，即（a1+a2+a3+a4）-（b1+b2+b3+b4）=965-30=935.

對于問題（2），由題意可知，當投放量大于損失量時，共享單車保有量增加，根據(jù)an和bn列出不等式，求出n的最大值為42，再算出當n=42時的最大保有量8782輛，同時算出當n=42時的最大容納量8736輛，最后比較最大保有量與最大容納量的大小，即8782>8736，所以，此時保有量超過了容納量.

評注：本題背景鮮活，具有生活氣息，還是人們所關注的熱點話題．命題者用社會熱點作為切入點，將其與日常生活中共享單車的投放和損失聯(lián)系起來，巧妙設問，主要考查學生的社會生活經(jīng)驗、閱讀理解能力、分段函數(shù)值的求解，保有量、投放量和損失量之間的關系，以及投放量與實際環(huán)境容納量等，考查了學生的數(shù)學理解能力、邏輯運算能力及數(shù)學綜合素養(yǎng)等．通過理解各要素之間的數(shù)量關系，然后進行邏輯運算，進而可以對問題作出迅速、準確的解答．

二、背景的深刻性

1.高等數(shù)學背景

高考命題專家多以非常熟悉高等數(shù)學的大學教授為主，他們善于用高等數(shù)學知識為背景設計創(chuàng)新型試題，因為高等數(shù)學中的思想方法、思維方式對進一步的學習極為有用．因此研究高考試題的高等數(shù)學背景對提高高中數(shù)學教學質(zhì)量和復習應考水平是有益的．

例4（2017年全國卷Ⅲ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

分析：對于問題（1），先根據(jù)重要不等式lnx≤x-1在x>0時恒成立，可以“猜測”出a=1，然后進行嚴格的證明．

思路1：導數(shù)法.可以直接利用求導找到函數(shù)f（x）的極值點，然后根據(jù)條件找出f（x）的最小值，最后使得最小值非負，即可求出a的值．

評注：問題（1）考查含參數(shù)不等式恒成立問題，命題以重要不等式lnx≤x-1為背景，在具體求解方法上，又具有靈活多樣的特點，若直接使用導數(shù)求解，解題思路不失一般性，但過程較為煩瑣，如直接使用法1或法2即可簡潔獲解；問題（2）是在問題（1）的基礎上深入考查lnx≤x-1的性質(zhì)、對數(shù)運算的性質(zhì)、等比數(shù)列求和等，屬于橫向知識的大“融合”，是考查考生的數(shù)學素質(zhì)和綜合能力素養(yǎng)的好題目，具有一定的挑戰(zhàn)性和區(qū)分度．值得注意的是，在平常的教學中也可以結(jié)合考題的高等數(shù)學背景，適當?shù)匮a充高等數(shù)學知識，切不可過多補充，以免增加學生的學習負擔和壓力．

以高等數(shù)學知識為背景的試題很多．常見的有拉格朗日中值定理、柯西中值定理（2015年全國卷理科第15題和2016年四川卷理科第21題都有柯西、拉格朗日中值定理背景）、柯西不等式（2012年四川卷理科第12題，2017年全國卷Ⅱ理科第23題）、洛必達法則（2016年新課標卷Ⅰ數(shù)學第21題）、函數(shù)凹凸性（2012年福建卷理科第12題、2018年全國卷Ⅲ理科第21題）、零點存在定理（2012年陜西卷理科第21題、2017年全國卷Ⅰ理科第21題）、麥克勞林展開式（2008年全國卷Ⅱ理科第22題、2018年全國卷Ⅲ理科第21題）、重要不等式（2016年全國卷文科第21題）等，這些命題背景都值得注意．

2.數(shù)學文化背景

例5（2018年全國卷Ⅰ理科第10題）圖1來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中任意取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別為記為p1，p2，p3，則（ ）．

圖1

分析：可以設出直角三角形的三邊長度，然后根據(jù)三角形和圓的面積公式依次計算出各自的面積即可，解答過程略．最后結(jié)果為A．

評注：該題目以“古希臘數(shù)學家”研究的幾何圖形為背景，結(jié)合高中的概率進行考查．考題情境十分新穎，頗有數(shù)學文化氣息，對考生的數(shù)學文化具有熏陶作用．本題考查學生的創(chuàng)新意識、觀察分析能力、邏輯運算能力等，也充分體現(xiàn)了新課改中數(shù)學文化滲透的重要性．

三、情境的新穎性

數(shù)學情境是數(shù)學問題的載體，是實現(xiàn)命題立意的中介系統(tǒng)．數(shù)學問題是數(shù)學考試的基本形式，也是數(shù)學考查的重要手段．情境的新穎性是創(chuàng)新型數(shù)學試題的共同特征［1］，體現(xiàn)了高考的公平、公正．考生面對情境新穎的試題時，一般需要具備閱讀理解能力、信息篩選能力、問題分析能力、問題探究能力和問題解決能力．

例6（2017年全國卷Ⅰ理科第16題）如圖2，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為______．

圖2

分析：對于圓中動態(tài)變化的三角形圍成的三棱錐的體積最大值問題，平時在練習中較為少（罕）見，在初次接觸此題時，沒有現(xiàn)成的公式和公理可以直接套用．但注意到圍成三棱錐的四個三角形都是較為特殊的三角形，那么可以通過圓的半徑來引入未知量，然后借助其中的等量關系，表示出三棱錐的體積，最后可以通過導數(shù)或者均值不等式來解決．

評注：本題情境新穎、背景深刻、設計獨特，具有很強的抽象性和綜合性．從試題的情境來看，本題以三角形的重心、三角形的高、折疊前后的不變性、勾股定理、三棱錐的體積、函數(shù)最值等多個知識點為素材，經(jīng)過精心的打磨和包裝，以求解（動態(tài)）最值的形式呈現(xiàn)出來，此類型試題在常規(guī)的參考書籍中較難見到，給了考生一個全新的問題情境，該試題具有較強的橫向知識融合性，又考查學生閱讀理解能力、隱含條件（關系）挖掘能力、數(shù)學綜合素養(yǎng)能力等．這類以綜合性知識為背景的創(chuàng)新型問題，能有效考查學生的學習潛質(zhì)，其已成為高考數(shù)學試題的亮點和熱點，值得關注．該題目是一道很好的創(chuàng)新型試題，對該類型試題的解決可以按照“情境提取信息—綜合分析信息—選擇適當?shù)臄?shù)學工具—轉(zhuǎn)化問題—問題獲解”的步驟進行．

此外，情境新穎性問題還有很多．如高等數(shù)學的概念、新定義性問題、歸納猜想問題、合情推理問題等，都可以增加試題的情境新穎性．如：2008年福建卷理科第16題數(shù)域的概念與性質(zhì)；2012年福建卷文科第9題和理科第7題和2015年湖北卷理科第6題以特殊函數(shù)（狄利克雷函數(shù)、符號函數(shù)）為素材；2014年山東卷理科第15題，新定義“對稱函數(shù)”；2016年上海卷理科第23題，“無窮數(shù)列”；2016年四川卷理科第15題，新定義“伴隨點”；2016年北京卷理科第20題，新定義“G時刻”與數(shù)列結(jié)合；2015年山東卷理科第11題，考查歸納猜理；2018年江蘇卷第19題，考查新定義“S點”等，這些都屬于情境新穎性試題，值得仔細品味．

四、設問的靈活性

設問是試題表現(xiàn)的具體形式，是需要解決和回答的目標問題．高考解答題從設問的數(shù)量來看，一般為兩問或三問．從各個小題的關系上來看，問與問之間相互銜接，存在邏輯關系，有時表現(xiàn)為上問為下問起鋪墊作用，后問是對前問的深化和拓展.靈活的問題設計往往蘊含了命題者深刻的命題意蘊，值得思考與體會．

例7（2015年江蘇卷第20題）設a1，a2，a3，a4是各項為正數(shù)且公差為d（d≠0）的等差數(shù)列．

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；

（3）是否存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由．

評注：本題將等差數(shù)列與等比數(shù)列結(jié)合在一起，用巧妙而靈活的設問，使問題與問題之間層層推進，步步深入．本題綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，屬于縱向深入考查型試題，具有挑戰(zhàn)性和區(qū)分度．本題考查了數(shù)學探究能力、數(shù)學推理能力、邏輯運算能力等數(shù)學核心素養(yǎng)能力，同時考查了代數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想．問題（1）為常規(guī)的等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合型試題，若將指數(shù)2換成任意常數(shù)或參數(shù)m，可以加大辨別難度．問題（2）和問題（3）可以運用反證法，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和題設條件推出矛盾．這是高考數(shù)列性質(zhì)深入考查的好題之一，值得研究和品味．

高考數(shù)學創(chuàng)新型試題既要考查知識點的橫向交匯性，又要考查具體知識點的縱向深刻性，它是集知識、方法、思想、能力于一體的新穎性問題．在創(chuàng)新型試題備考的過程中，要有意識地強化對學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，適當開展一些研究性學習，讓學生對創(chuàng)新型試題的特點有明確的認識，把握其命題的規(guī)律和試題的特征．這樣不僅能夠培養(yǎng)學生解答創(chuàng)新型試題的能力和素養(yǎng)，而且有利于學生后續(xù)的學習和發(fā)展．