不用法向量求解二面角
——以2018年高考題為例

☉上海市七寶中學 湯華翔

求解二面角對學生的空間想象能力要求較高，是培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)的理想內(nèi)容，故而在全國和各省市近年高考中屢屢出現(xiàn)涉及二面角的考題.

傳統(tǒng)的綜合法求二面角是過棱上一點，在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，再通過解三角形將兩條射線的夾角求出，此法相對來說比較難；教材上介紹的向量法是利用法向量的夾角為二面角的平面角或其補角，再根據(jù)圖形判斷是銳角還是鈍角.此法對于復雜圖形來說難度較大.本文給出不依賴于求兩個半平面的法向量求二面角的新方法，且計算量也不大.希望本文的新方法能給師生以新的靈感和啟發(fā).

圖1

一、求解二面角的新方法

如圖1，A，C分別是二面角α-l-β的棱l上兩點，點B，D分別在半平面α，β內(nèi)，且AB⊥l，CD⊥l，則所成的角就是二面角的平面角.

即在棱上取兩點（也可重合），以這兩點為起點分別在兩個半平面內(nèi)作與棱垂直的向量，或分別過兩個半平面內(nèi)的點（作為所作向量的起點）作與棱垂直的向量，則這兩個向量所成的角就是二面角的平面角.現(xiàn)舉例說明應(yīng)用.

二、新方法的應(yīng)用舉例

圖2

例1 （2018年天津卷理17）如 圖 2，AD ∥BC且 AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.

求二面角E-BC-F的正弦值.

評注：多面體中的二面角，常遇到需要擴展半平面的情況，在擴展后的半平面內(nèi)較易找到與棱垂直的向量.此題中由于兩個向量都過C點，故不需要平移它們即可得到二面角的平面角.當然，此時也可直接用解三角形的方法得到二面角的平面角.

例2（2018年全國卷Ⅱ理20）如圖3，在三棱錐PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.

（1）證明：PO⊥平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

圖3

圖4

解析：（1）略.

在正△APC中，設(shè)N為AP的中點.

評注：此題給出了二面角的大小，則求出M、D點的坐標是解題的關(guān)鍵！根據(jù)它們在已知直線上，利用平面解析幾何中的直線方程設(shè)出坐標，再利用垂直得到x與y的關(guān)系，代入二面角公式即可求出x的值.此題如果用法向量來解，嚴謹?shù)淖龇ㄐ韪鶕?jù)三棱錐側(cè)面夾角B-PA-C為arccos來判斷二面角M-PA-C為銳角，此過程的計算量也相當大.

例3 （2018年北京卷理16）如圖5，在三菱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2.

（1）求證：AC⊥平面BEF.

（2）求二面角B-CD-C1的余弦值.

解析：（1）略.

（2）由（1）可知AC⊥平面BEF，AC⊥BE，AC⊥EF.又因為EF⊥BE，所以以E為原點，EA，EB，EF為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖6所示，由條件易知B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），C（1-1，0，2）.

圖5

圖6

評注：本題解答的關(guān)鍵是在兩個半平面中得到分別垂直于棱CD的向量若使用法向量來解，需通過點B在平面CDC1上的射影E在半平面外，來判斷二面角B-CD-C1是鈍角.

三、總結(jié)

運用上述方法解二面角問題的步驟是：先看兩個半平面是否已有垂直于棱的向量，如果有就可以直接求二面角（例1）；如果沒有，可在半平面找一點（坐標最好是已知的），過該點作棱的垂線，然后求出垂足的坐標即可（例2、3）.解題時可結(jié)合條件靈活選用.

需要強調(diào)，在運用上述新方法解二面角問題的過程中所作的兩個向量，當起點（或終點）都在棱上時，則這兩個向量所成的角就是二面角的平面角，當一個向量的起點在棱上，另一個向量的終點在棱上時，求出的角是二面角的補角.F