激波管聚酯膜片變形過程分析*

何起光，張 偉，陳小偉，徐劍鵬

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院高速撞擊動力學(xué)實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 北京理工大學(xué)前沿交叉科學(xué)研究院，北京 100081）

激波管已廣泛用于航空、化學(xué)動力學(xué)、等離子體物理等領(lǐng)域。近年開始使用聚酯薄膜作為激波管的膜片以替代原來的金屬膜片，并出現(xiàn)了多種破膜方法[1-2]。聚酯薄膜作為膜片具有價格低廉、便于安裝、易于控制破膜壓力等優(yōu)點。膜片安裝在激波管的高壓段與低壓段之間，當高壓段內(nèi)氣體壓力超過膜片承載時，膜片將破裂。高壓氣體向低壓段方向傳播并產(chǎn)生激波。激波的強度、速度和激波位置與高壓段內(nèi)壓力有關(guān)，同時與膜片破壞形狀和破壞形式有關(guān)。所以，獲得膜片在高壓段內(nèi)充壓過程中的變形規(guī)律對激波管激波分析是有意義的。

Nguyen等[3]研究了膜片承載與膜片厚度的關(guān)系。Gharababaei等[4]給出了金屬薄板在靜態(tài)壓力下變形的數(shù)學(xué)規(guī)律。Bradley等[5]使用理想的變形模型對激波管中的膜片變形進行過分析。Barsoum等[6]、Rothkopf等[7]和Campbell等[8]研究了膜片破壞時的速度與形狀對激波的影響。佟富強等[9]和黃官強等[10]對聚酯薄膜的一維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進行過深入研究，得到了單向拉伸的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。以上研究都局限在彈性變形范圍，假設(shè)薄膜為圓弧狀變形，而對后續(xù)更嚴重變形沒有涉及。

本文中主要研究不同厚度的聚酯薄膜在不同壓力下的變形全過程。發(fā)現(xiàn)接近破壞時，膜片會出現(xiàn)圓弧反翹的現(xiàn)象。以此為依據(jù)，將全過程分為2個階段，給出膜片變形過程的數(shù)學(xué)規(guī)律。

1 實驗裝置

如圖1所示，實驗裝置由高壓段、靶艙和高速攝像機組成。其中，高壓段長128 mm，直徑為66 mm，最大承受壓力為20 MPa。通過壓力傳感器測量高壓段的壓力。在高壓段的管口，使用夾具裝有不同厚度的聚酯薄膜膜片。本實驗采用常州新遙光絕緣材料有限公司生產(chǎn)的BE12型號的PET聚酯薄膜作為膜片。如圖2所示，采用GB/T1040標準對聚酯薄膜進行常溫下準靜態(tài)拉伸，獲得膜片縱向及橫向的應(yīng)力應(yīng)變曲線?？梢钥闯?，薄膜兩個方向的彈性模量近似相等，但在塑性階段，受制作工藝影響，其拉伸強度和硬化模量存在較大差異。

圖1 實驗裝置示意圖及照片F(xiàn)ig. 1 Schematic diagram and photo of experimental equipment

圖2 膜片的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig. 2 Stress-strain curves of the diaphragm

三維DIC技術(shù)全稱數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)，使用兩臺攝像機對已有散斑的試件進行拍攝后，運用光學(xué)原理對某一時刻兩個視角的照片進行處理后，可獲得試件上各點當前時刻在空間中的坐標。本實驗中，使用兩臺高速攝像機同步記錄膜片的破壞過程后，用DIC分析軟件ARAMIS對所獲得的照片進行計算，獲得膜片從充氣到破壞的變形歷程。在本實驗中，壓力增速約為12 kPa/s。

2 膜片破壞壓力與其厚度的關(guān)系

在激波管實驗中，可采用單膜或多膜結(jié)構(gòu)的聚酯薄膜膜片。膜片的最大承載直接決定激波管高壓段內(nèi)壓力大小，而這與聚酯薄膜膜片的厚度有直接關(guān)系。本文考慮0.05、0.1和0.2 mm三種不同厚度聚酯薄膜組合，以此獲得不同厚度或同厚度下不同組合的薄膜承載能力。

在上述實驗裝置中安裝不同厚度與不同組合方式的膜片。在高壓段中逐漸增加氣體壓力，由壓力傳感器得到高壓段內(nèi)的壓力。表1給出膜片破壞壓力，共有8種不同厚度的不同組合方式。由表1可知，在相同厚度的條件下，不同的膜片組合對膜片最大破壞壓力影響甚小?？烧J為：同種材質(zhì)、同種實驗環(huán)境下的聚酯薄膜膜片的最大破壞壓力僅與其厚度有關(guān)，與組合方式無關(guān)。

表1 不同膜片組合及厚度的最大破壞壓力Table 1 The maximum bearing pressure of different diaphragms thickness and combinations

用最小二乘法擬合表1的數(shù)據(jù)，獲得最大破壞壓力pmax與膜片厚度δ的關(guān)系見圖3，圖中直線方程為：

式中：斜率k受材料及制作工藝的影響，本實驗中k=5.56 GPa/m。各條件下的k可由同樣方法得到。

圖3 不同厚度及組合方式的膜片的破壞壓力Fig. 3 Maximum bearing pressure of diaphragm with different thickness and combination

3 膜片變形規(guī)律

為研究聚酯薄膜膜片的破壞過程，需獲得膜片在不同壓力下對應(yīng)的變形。在不同厚度的膜片表面繪制5 mm×5 mm的網(wǎng)格，使用高速相機記錄膜片的變形過程。圖4 給出了三種厚度膜片在不同壓力下的變形過程，可以看出，膜片中心的網(wǎng)格變形最大，四周較小，網(wǎng)格變形基本呈軸對稱分布。

使用三維DIC技術(shù)進一步觀察膜片的變形，將兩臺相機同步記錄的圖片導(dǎo)入ARAMIS軟件進行計算后可得膜片的位移場。圖5為0.2 mm厚的膜片在不同壓力條件下的變形圖。與圖4相同，膜片位移場呈軸對稱變化，中心處位移最大，因此可由輪廓曲線描述膜片完整形狀。

圖4 三種厚度的膜片在不同壓力條件下的變形Fig. 4 Deformation of diaphragms with three different thicknesses under different pressures

圖5 DIC處理后所得不同壓力條件下0.2 mm厚膜片變形的典型結(jié)果Fig. 5 Deformation of diaphragm with 0.2 mm in thickness by 3D-DIC analysis

圖6給出了三種厚度的膜片在不同壓力下的輪廓曲線?？梢钥闯觯弘S著壓力增加，膜片輪廓曲線由圓弧形狀逐漸變化為僅頭頂部呈圓弧的錐形，最后錐形兩側(cè)的直線發(fā)生內(nèi)凹現(xiàn)象，出現(xiàn)圓弧反翹。當輪廓曲線剛出現(xiàn)內(nèi)凹時，以該錐形作為其極限輪廓，用兩條虛線表示，可將變形過程分為2個階段：第1階段為前7條曲線，即輪廓曲線在極限輪廓內(nèi)變化，其中前3條曲線呈圓弧狀，各點曲率大致相等且逐漸增大，第4至第7條曲線達到極限輪廓的部分撓度近乎不變，基本呈現(xiàn)直線，而圓弧部分各點曲率仍大致相等且繼續(xù)增大；第2階段為后2條曲線，輪廓曲線開始超過極限輪廓，輪廓曲線中央部分出現(xiàn)反翹現(xiàn)象，曲線中點的撓度、曲率迅速增大直至膜片破壞。

對于不同厚度的膜片，圖6中虛線的斜率基本相等，平均值為0.73。令輪廓曲線即將超過極限輪廓時對應(yīng)壓力臨界點為Qi，膜片破壞時對應(yīng)壓力臨界點為，其中i=1,2,3，分別代表厚度為0.05、0.1和0.2 mm三種膜片，如圖7所示。表2給出了這6個點的壓力及撓度參數(shù)，其中：k′為各點壓力與厚度之比，為不同厚度k′的平均值。在Qi*處，即有k′=k；根據(jù)表 2，在 Qi處，k′=0.974k，此時：

式中：p為壓力；Zmax為膜片中心撓度，即最大撓度；a≈4.100×10-12m2/Pa。

膜片的應(yīng)變場可由位移場計算得到。顯然，膜片的應(yīng)變分布也是軸對稱的，只需考慮輪廓曲線上的應(yīng)變分布。由于Gharababaei等[4]對鼓包后金屬薄板的應(yīng)變計算方法是連續(xù)的，但DIC獲得的數(shù)據(jù)是離散點的位移信息，所以對其離散化后得到：

式中：a和b分別表示網(wǎng)格節(jié)點在x和y方向的編號；u和v分別表示節(jié)點在x和y方向的初始坐標；u′、v′和w′分別表示在x、y和z方向變形后的坐標；εr，εθ分別為徑向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變；εt為厚度減少的百分比。

表2 三種不同厚度膜片臨界點的數(shù)據(jù)Table 2 Data of critical point in diaphragm with three different thickness

由式(3) 計算所得膜片厚度變化情況如圖8所示，圖中曲線與圖6中曲線分別對應(yīng)。膜片大變形時，邊緣處與相機的夾角很小，會造成較大的計算誤差，所以僅給出膜片中間部分的厚度變化分布?？梢钥闯觯禾幱诘?階段的膜片厚度變化較為均衡，中間處的厚度較邊緣減少量略多，厚度略小，分布的形狀近似于一段圓弧。隨著壓力的增加，膜片厚度的變化逐漸加快。在第2階段中，分布呈錐形，中心處膜片的厚度最小且遠小于膜片邊緣的。膜片中心處厚度隨著壓力的增加快速減小，距離中心點越遠，厚度的變化速度越慢。中心處也是膜片破裂位置。

圖8 膜片厚度減小量的分布曲線Fig. 8 Distribution curves of thickness reduction

圖9給出三種初始厚度膜片的中心處厚度變化與壓力的關(guān)系。與中心處撓度與壓力的關(guān)系類似，三條曲線的趨勢是相似的，僅斜率不同。受膜片初始厚度的影響，三條曲線的斜率與膜片的初始厚度也呈反比關(guān)系。

4 膜片變形規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)表2中Qi點的壓力數(shù)據(jù)可知，對于厚度為δ的膜片，p0.974kδ為第1階段，p0.974kδ為第2階段，p=0.974kδ為膜片即將出現(xiàn)反翹現(xiàn)象的壓力。

對于第1階段，使用最小二乘法對圖7進行擬合，并代入激波管內(nèi)徑與膜片初始厚度的參數(shù)，在數(shù)學(xué)上使用兩段線擬合第1階段曲線，可以得到經(jīng)驗公式：

式中：R為激波管半徑。

圖9 膜片中心的厚度減小量與壓力曲線Fig. 9 Relation between maximum thickness reduction of diaphragm and pressure

將式(4)～(6)的計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比，如圖10所示?？梢钥闯觯河墒剑?）計算所得三種厚度膜片的最大撓度與壓力的關(guān)系曲線與實驗結(jié)果對比吻合較好(圖10(a))；對于圓弧半徑(圖10(b))，由于式(5)和(6)中使用了式(4)的計算結(jié)果，誤差累計導(dǎo)致0.2 mm厚度的曲線左端誤差較大，但總體而言，計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好。由于圓弧的半徑和最大撓度決定直線部分長度，后者誤差取決于前兩者誤差，所以直線部分長度誤差同樣較小。

膜片厚度的變化直接取決于膜片的變形狀態(tài)，而圖9中曲線與圖7類似，可將膜片中心處最大撓度與厚度變化相聯(lián)系。利用式(4)結(jié)果，得到膜片中心處厚度變化與撓度之間的關(guān)系：

將式(4)代入式(7)，可計算膜片中心厚度減少量，如圖11所示。

圖10 模型計算所得曲線與實驗結(jié)果的對比Fig. 10 Contrast of deflection and radius between experiment and calculation

圖11 模型計算所得膜片厚度變化與實驗結(jié)果的對比Fig. 11 Contrast of thickness between experiment and calculation

5 結(jié) 論

本文對激波管聚酯膜片的最大承載進行試驗，得到膜片的最大承載與其組合方式無關(guān)，僅與其厚度相關(guān)且呈線性關(guān)系。使用DIC技術(shù)對膜片破壞全過程進行觀察分析，獲得膜片從靜止到破壞全過程的變化規(guī)律，觀察到膜片在破壞前出現(xiàn)圓弧反翹的特別現(xiàn)象。以出現(xiàn)反翹為判據(jù)，將整個過程分為2階段，給出了任意厚度膜片在第一階段圓弧變形過程中最大撓度與壓力及膜片形狀的關(guān)系，以及膜片在第二階段圓弧反翹的變形特征。對數(shù)據(jù)進一步處理獲得了膜片在變化過程中的厚度變化，及其與膜片最大撓度的關(guān)系。