考慮躍遷的指數(shù)型炸藥空爆荷載等效靜載動力系數(shù)*

耿少波，李 洪，葛培杰

（1. 中北大學(xué)土木工程學(xué)科部，山西 太原 030051；2. 長安大學(xué)橋梁結(jié)構(gòu)安全技術(shù)國家工程實驗室，陜西 西安 710064；3. 大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

對防護結(jié)構(gòu)及建筑結(jié)構(gòu)而言，炸藥空爆荷載具有超壓峰值高、作用時間短、擴散速度快等特點，相比其它設(shè)計荷載，為典型的動力荷載。在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段，若能將此爆炸荷載等效為靜載計算，可避免繁瑣的非線性有限元分析，易為結(jié)構(gòu)工程師所接受和使用。因此，多數(shù)規(guī)范中[1-7]爆炸荷載均按考慮動力系數(shù)的靜載進行結(jié)構(gòu)計算。入射超壓從零躍遷至正超壓峰值時長占沖擊波正超壓作用時長比值很低，故規(guī)范常省略此躍遷升壓階段，為簡化計算，并進一步將入射超壓簡化為線性衰減荷載。

爆炸荷載等效靜載理論研究方面研究較多。Biggs[8]對線性衰減類動力荷載進行等效靜載處理，并用于爆炸荷載近似計算。伍俊等[9]采用等效單自由度與有限元方法對防爆墻結(jié)構(gòu)進行對比分析，模型中爆炸荷載為未考慮躍遷升壓的線性衰減荷載模式，他指出等效單自由度靜載方法結(jié)構(gòu)設(shè)計具有良好精度。顏海春等[10]采用爆炸荷載等效靜載對人防工程封堵梁內(nèi)力分析，但未指出結(jié)構(gòu)延性比與荷載動力系數(shù)之間的詳細關(guān)系。楊濤春等[11]采用爆炸荷載線性衰減函數(shù)對鋼混組合梁進行了等效靜載與有限元分析對比計算，但計算未涉及結(jié)構(gòu)自振頻率、延性比。Baker等[12]指出空爆沖擊波呈指數(shù)型衰減，等效沖量計算按此計算較準確。楊科之[13-14]研究了直線衰減荷載作用下動力系數(shù)與延性比的關(guān)系，延性比較大時動力系數(shù)可計算范圍受限。陳俊杰[15]研究了爆炸荷載沖量簡化分析方法，所采用的荷載形式為線性衰減荷載模式。Chen等[16]采用等效荷載分析了地下拱結(jié)構(gòu)-土體爆炸耦合效應(yīng)，指出了沖擊波等效單自由度的有效及方便性。Shi等[17]指出采用指數(shù)型函數(shù)進行爆炸荷載沖量及等效靜載時會更準確，但未考慮躍遷段的影響。Gantes等[18]計算了指數(shù)型爆炸荷載作用單自由度結(jié)構(gòu)的彈塑性位移響應(yīng)解，但尚未明確與劃分荷載作用時間與結(jié)構(gòu)進入塑性階段時間關(guān)系，且未對結(jié)構(gòu)延性比、動力系數(shù)分析。Louca等[19]分析爆炸作用時指出正超壓衰減段采用指數(shù)型函數(shù)擬合會更接近沖擊波實測結(jié)果。

設(shè)計延性比與荷載作用時長有關(guān)，線性衰減荷載正超壓等效作用時長小于爆炸沖擊波正超壓作用真實時長，這對動力系數(shù)影響如何？同時，忽略升壓過程對結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)尤其對結(jié)構(gòu)彈性響應(yīng)，繼而對結(jié)構(gòu)塑性階段響應(yīng)及延性比、動力系數(shù)的影響程度如何，國內(nèi)外學(xué)者鮮有研究。

因此，本文考慮超壓從零躍遷升壓至超壓峰值，以指數(shù)形式從超壓峰值衰減至零的分段荷載函數(shù)進行等效單自由度體系下結(jié)構(gòu)彈塑性動力系數(shù)分析，并與設(shè)計規(guī)范中采用的未考慮升壓階段的等沖量線性衰減荷載動力系數(shù)計算結(jié)果對比，為基于延性比的抗爆結(jié)構(gòu)設(shè)計提供理論支持。參考筆者前期所做的TNT、B炸藥空爆沖擊波衰減波形測試工作及已出版文獻[20]，常規(guī)炸藥等化學(xué)爆炸躍遷升壓至超壓峰值時長所占正超壓作用時長比一般為3%以下，且接近直線升壓，因此本文考慮的升壓為直線躍遷升壓模式。

1 理想彈塑性體系動力微分方程

1.1 等效單自由度微分方程

常規(guī)炸藥等化學(xué)空爆沖擊波正超壓作用時長很小，小于結(jié)構(gòu)出現(xiàn)最大動位移反應(yīng)時間[5]。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)等效單自由度理論及達朗貝爾原理，其等效單自由度體系彈性階段微分方程：

式中：kM-L為彈性等效質(zhì)量-等效荷載系數(shù)比，m為結(jié)構(gòu)單位長度質(zhì)量，W(t)為結(jié)構(gòu)動位移，l為結(jié)構(gòu)長度，K為結(jié)構(gòu)等效彈簧剛度，Δp(t)為爆炸荷載時程函數(shù)。

設(shè)在tT時刻，結(jié)構(gòu)彈性位移達到最大值WT，速度為vT，之后結(jié)構(gòu)進入塑性振動。結(jié)構(gòu)塑性階段微分方程為：

式中：km-l為塑性等效質(zhì)量-等效荷載系數(shù)比，qm為結(jié)構(gòu)塑性階段結(jié)構(gòu)抗力。

圖1 荷載簡化及作用時長Fig. 1 Schematic diagram of load types and load durations

圖1給出了3種荷載模式的時程曲線。作為等效時長計算對比的基準量，不考慮躍遷段的指數(shù)型衰減荷載所對應(yīng)的函數(shù)為：

式中：Δpm為超壓峰值，f(t)為荷載歸一化函數(shù)，t+為沖擊波正超壓作用時長，a為荷載曲線形狀調(diào)整參數(shù)。

作為動力系數(shù)對比的基準量，不考慮正超壓躍遷段，采用等沖量線性衰減荷載模式時，對應(yīng)的函數(shù)為：

式中：tI為等沖量線性衰減荷載等效作用時長。

增加躍遷時間而不改變正超壓作用時長的指數(shù)型衰減荷載模式，對應(yīng)函數(shù)為：

式中：t0為荷載從0躍遷至超壓峰值躍遷時長。

由式(1)及杜哈梅積分可知，在彈性階段：

式中：Wcm為超壓峰值為靜載數(shù)值時對應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移，ω為振動角頻率。

在tT時刻彈性響應(yīng)結(jié)束準備進入塑性響應(yīng)，此時對應(yīng)結(jié)構(gòu)最大彈性位移及速度：

且可知塑性階段結(jié)構(gòu)任一時刻t對應(yīng)的結(jié)構(gòu)速度及位移為

由于結(jié)構(gòu)動荷載等效為基于理想彈塑階段內(nèi)的等效靜載，其動力系數(shù)表達式為

1.2 沖量及等效時長分析

由沖量定義及圖1所示，未考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載所對應(yīng)沖量函數(shù)表達式

荷載曲線形狀調(diào)整參數(shù)a數(shù)值越大，指數(shù)型衰減荷載所對應(yīng)的曲線越陡峭，負超壓峰值及作用時長越小。為較好擬合測試曲線，其數(shù)值取值范圍可取1.27≤a≤1.61[11]，為滿足建筑結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計一般特點，本文取端部值即1.27與1.61為后續(xù)分析參數(shù)值。

結(jié)合圖1荷載曲線所包圍的面積變化可知：t0時刻之前，考慮躍遷后的指數(shù)型衰減荷載所對應(yīng)的沖量數(shù)值小于未考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載沖量數(shù)值，t0時刻之后該沖量又偏大。因此需計算其沖量：

將式(13)～(14)做函數(shù)差值對a進行求導(dǎo)分析，可知對于任意的t0＞0，當(dāng)a＞0時，公式(14)對應(yīng)的數(shù)值為大，即考慮躍遷后，沖量隨之增大，對結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計偏不利。

以式(13)為基準，未考慮躍遷的等沖量線性衰減荷載，其等效時長為：

即指數(shù)型衰減荷載真實作用時長t+與等沖量線性衰減荷載等效時長ti的比值δ分別為1.464、1.6。

2 結(jié)構(gòu)體系塑性階段劃分

常規(guī)炸藥空爆沖擊波作用時長t+很短，經(jīng)等沖量換算后的線性衰減荷載等效時長tI更短，結(jié)構(gòu)完成彈塑性最大變形時間tm＞t+及tm＞tI，即此時對應(yīng)結(jié)構(gòu)外荷載為零。結(jié)構(gòu)完成彈性變形進入塑性變形時刻tT存在兩種可能性：t0＜t+＜tT＜tm，即較晚進入塑性階段及t0＜tT＜t+＜tm，即較早進入塑性階段。

為精簡篇幅，本文只給出考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載動力系數(shù)求解過程及公式，等沖量線性衰減荷載求法簡單，公式不再單獨求解，而以其計算結(jié)果的相對差值比例在本文工況示例計算給出。

2.1 較晚進入塑性階段

若令 θ0=ωt0，θT=ωtT，θ+=ωt+，由公式 (7)計算考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動力系數(shù)：

若定義A=Kh

因θT為中間變量，所以需將其求出，求解后其表達式為

由式(8)可得考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載彈性階段結(jié)束時對應(yīng)的振動速度與位移比值為

由式(9)及塑性階段v(tm)=0可導(dǎo)出

由式(10)及塑性階段v(tm)=0可導(dǎo)出

由式(11)可知

式中，Wm為結(jié)構(gòu)進入塑性階段結(jié)構(gòu)最大位移。又因為

將式(20)、(22)代入式(21)后可知

2.2 較早進入塑性階段

若令θm=ωtm，由前述定義t0＜tT＜t+＜tm及動力系數(shù)公式可知，考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動力系數(shù)為：

由式(7)可得考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載對應(yīng)的彈性結(jié)束時對應(yīng)的振動速度為

由式(10)及塑性階段v(tm)=0可得速度的另一解為

代入式(11)后可得

3 彈塑性階段動力系數(shù)計算算例

3.1 工況分組及計算結(jié)果

根據(jù)躍遷時長占正超壓總時長的比值(t0/t+)、爆炸荷載正超壓作用時間t+與等沖量線性衰減荷載等效時間tI比值δ確定了4種典型計算工況。為相互對比，以等沖量線性衰減荷載結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)θI=ωtI為0.2～2.8，0.2為步長，共計14項作為基本計算數(shù)據(jù)，而ωt+(即θ+)按作用時長與等效時長換算后再計算為對比數(shù)據(jù)。為能涵蓋工程結(jié)構(gòu)設(shè)計時所對應(yīng)的延性比，延性比β為1～5作為計算范圍。工況分組如表1所示。

表1 工況分組Table 1 Calculation cases

由式(23)及(28)可知，動力系數(shù)Kh不為顯式函數(shù)，由θT、θ+、θm定義及延性比β的范圍作為控制條件，分別賦初值后迭代求解并匯總。工況1計算結(jié)果及與線性衰減荷載的差異比值見表2。 表中β為1.0數(shù)據(jù)列為結(jié)構(gòu)動力系數(shù)公式退化至彈性狀態(tài)時求解結(jié)果，紅色間斷線左側(cè)數(shù)據(jù)為考慮躍遷升壓的指數(shù)型衰減荷載模式下結(jié)構(gòu)較晚進入塑性階段所對應(yīng)的公式計算得出，紅色間斷線包圍的右側(cè)數(shù)據(jù)為考慮躍遷升壓的指數(shù)型衰減荷載模式下結(jié)構(gòu)較早進入塑性階段所對應(yīng)公式計算得出。表中藍線左上方(右下方)數(shù)據(jù)為等沖量線性衰減荷載模式下結(jié)構(gòu)較晚進入塑性階(較早進入塑性階段)段所對應(yīng)計算公式得出。工況1～工況4之間相對差值及與直線型衰減荷載差異如圖2所示。

表2 工況1動力系數(shù)計算KhTable 2 Dynamical coefficient Kh for calculation case 1

圖2 線性衰減荷載與本文荷載計算模式動力系數(shù)對比Fig. 2 Dynamical coefficients comparison between linear load and exponential loading with transition

由表1、圖2、各計算工況與規(guī)范指定的等沖量線性衰減荷載計算結(jié)果可知，延性比β＜1.6時，等沖量線性衰減荷載動力系數(shù)偏大；β＞1.6時，線性衰減荷載計算數(shù)值先偏大后偏小。線性衰減荷載的ωt+對應(yīng)的設(shè)計范圍明顯偏?。沪隆?.0時，考慮躍遷的指數(shù)衰減荷載計算結(jié)果數(shù)值大小依次遞減順序為工況3、1、4、2，其中工況3與工況1之間的差異最大值為1.2%，最小為0，平均為0.4%，差異極??；工況4與工況2之間的差異最大值為1.5%，最小為0，平均為0.7%，差異很小，略大于工況3與工況1之間的差異，即躍遷時長比對動力系數(shù)的影響很小，β=5.0時，躍遷時長比對動力系數(shù)的影響可忽略，指數(shù)形狀調(diào)整參數(shù)影響效果明顯。

結(jié)合圖2，以工況1與工況2之差異為典型對比，取規(guī)范采用的等沖量線性衰減荷載為基準量，分析指數(shù)形狀調(diào)整參數(shù)a對動力系數(shù)的計算結(jié)果影響(η)，見圖3所示。

設(shè)計參數(shù)θ+＜0.8δ時，工況1和工況2之間的差異逐漸增大，數(shù)值上仍很小，差異數(shù)值最大為2%，0.8δ＜θ+＜1.4δ時，除β=5的差異約為5.0%以外，其它延性比對應(yīng)的工況1和工況2之間的差異先減小后增加，數(shù)值上仍很小，差異約仍小于2%；1.4δ＜θ+＜2.2δ時，工況1和工況2之間的差異逐漸增大，趨于穩(wěn)定數(shù)值，平均約為3.8%，說明形狀調(diào)整參數(shù)a對計算結(jié)果的影響與設(shè)計參數(shù)θ+緊密相關(guān)。

圖3 線性衰減荷載與典型工況結(jié)果差異性比值Fig. 3 The difference ratio between linear decay load and typical calculation conditions

3.2 結(jié)果分析

考慮躍遷升壓的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動力系數(shù)，其求解結(jié)果可分為彈性狀態(tài)、較晚進入塑性狀態(tài)、較早進入塑性狀態(tài)3種類型，3種物理含義對應(yīng)的間數(shù)據(jù)能很好銜接；等沖量線性衰減荷載等效靜載動力系數(shù)也有此3種狀態(tài)，但當(dāng)θ+＞1.4δ時，彈性狀態(tài)數(shù)據(jù)直接與較早進入塑性狀態(tài)的數(shù)據(jù)進行銜接，缺少較晚進入塑性狀態(tài)的過渡。在同一爆炸荷載作用下，若結(jié)構(gòu)設(shè)計的柔度越大，即θ+數(shù)值越小，對應(yīng)的等效靜載動力系數(shù)越小，在θ+＜0.4δ時，4種工況對應(yīng)的動力系數(shù)均大于由等沖量線性衰減荷載計算數(shù)值，最大數(shù)值為1.7%，誤差較?。划?dāng)0.6δ≤θ+≤1.2δ時，其動力系數(shù)均小于等沖量線性衰減荷載計算結(jié)果，最大誤差為10%，當(dāng)θ+＞2.2δ時，或當(dāng)設(shè)計延性比β=5且θ+＞1.4δ時，等沖量線性衰減荷載動力系數(shù)無解而考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載有解。

特別地，4種典型工況中，均當(dāng)延性比β=3且θ+＞1.4δ時，考慮躍遷后的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動力系數(shù)均大于等沖量線性衰減荷載等效靜載動力系數(shù)數(shù)值，且大于幅度較高，最大誤差為17.7%，即此區(qū)間按規(guī)范所規(guī)定的等沖量線性衰減荷載進行等效靜載設(shè)計時，偏不安全。

相同躍遷時長比值下，當(dāng)θ+＜0.4δ時，即柔度特別大的結(jié)構(gòu)，形狀調(diào)整參數(shù)a對應(yīng)的動力系數(shù)計算數(shù)值誤差基本為0，即形狀調(diào)整參數(shù)a在此范圍對計算結(jié)果不敏感；較晚進入塑性狀態(tài)范圍內(nèi)，隨著形狀調(diào)整參數(shù)a的提高，動力系數(shù)計算數(shù)值變小；較早進入塑性狀態(tài)數(shù)據(jù)，隨形狀調(diào)整參數(shù)a的提高，動力系數(shù)計算數(shù)值增大。

相同的指數(shù)荷載形狀調(diào)整參數(shù)a下，隨著躍遷時長比值的增加，所有工況的動力系數(shù)均增加，增加幅度較小且有限，最大值1.5%，即不考慮躍遷會導(dǎo)致計算結(jié)果偏小，但誤差可忽略。

4 結(jié) 論

以考慮升壓躍遷的指數(shù)型衰減荷載為研究對象，考查了與等沖量線性衰減荷載等效靜載動力系數(shù)的差別，并分析了躍遷時長比、指數(shù)形狀調(diào)整參數(shù)對動力系數(shù)的影響，得到以下主要結(jié)論：

(1) 與等沖量線性衰減荷載相比，考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載動力系數(shù)彈性狀態(tài)、較晚及較早進入塑性狀態(tài)銜接更為合理，可進行設(shè)計的延性比β與結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)θ+范圍更廣，較小β及結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)θ+對應(yīng)的動力系數(shù)較小，對應(yīng)為當(dāng)前現(xiàn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范設(shè)計偏安全；較大β及θ+對應(yīng)的動力系數(shù)偏大，且幅值較高，若此范圍區(qū)間仍采用規(guī)范類線性衰減荷載進行抗爆設(shè)計，偏不安全；

(2) 相同躍遷時長比值下，指數(shù)荷載形狀調(diào)整參數(shù)a越大，對較早進入塑性狀態(tài)動力系數(shù)提高越大，對θ+＜0.4δ對應(yīng)的較晚進入塑性狀態(tài)計算結(jié)果基本不產(chǎn)生影響，對θ+＞2.5對應(yīng)的較晚進入塑性狀態(tài)計算數(shù)值為降低作用；

(3) 相同指數(shù)荷載形狀調(diào)整參數(shù)a下，躍遷時長比值增加會導(dǎo)致動力系數(shù)結(jié)果提高，但幅度有限，最大值1.5%，平均值依據(jù)不同工況在0.4%～0.7%范圍，可忽略其影響。