數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)中重視數(shù)學(xué)概念

續(xù)玉玲

【摘要】通過學(xué)習(xí)與實踐，根據(jù)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要求，本文分析了數(shù)學(xué)概念是什么，為什么要加強(qiáng)概念教學(xué)，理清概念間的關(guān)系，了解概念的內(nèi)涵和外延，真正地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；概念學(xué)習(xí)；內(nèi)涵與外延

通過多年來數(shù)學(xué)教學(xué)工作，我體會到概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.因為每一段數(shù)學(xué)內(nèi)容都是由概念、命題及命題的推理而組成.只有正確地理解數(shù)學(xué)的每一個概念，才能系統(tǒng)地學(xué)好數(shù)學(xué)，但由于升學(xué)的壓力，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，容易出現(xiàn)重實用，輕視概念的傾向.我們只有運(yùn)用認(rèn)知理論，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律，循序漸進(jìn)，才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)概念，掌握好數(shù)學(xué)的精髓.

一、數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為概念學(xué)習(xí)是辨別一類事物或概念的共同特征.事物所固有的，具有規(guī)律性的性質(zhì)稱為事物的本質(zhì)屬性，根據(jù)該性質(zhì)可以將此事物和其他事物區(qū)分開.人們是在實踐中認(rèn)識周圍的事物（對象），通過實踐，運(yùn)用比較分析、綜合、抽象等一系列邏輯方法，抓住客觀對象最主要的本質(zhì)屬性而產(chǎn)生概念.因此，概念是客觀的對象及其本質(zhì)屬性在人們思維中的反映.而數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中空間形式的反映.一個數(shù)學(xué)概念通常用一個詞（名稱）或符號來表示.例如，用Q，N，Z，R分別表示有理數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集和實數(shù)集.數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展有各種不同的途徑.有些是直接從事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系中反映出來，如自然數(shù)概念是從事物排列的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映出.幾何中的點(diǎn)、線、面、體、平行、垂直、圓柱、錐、臺、球等概念是從形狀及大小位置關(guān)系抽象出來的.有些概念是在抽象的數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過多次復(fù)雜的抽象概括過程才產(chǎn)生和發(fā)展而成，如“復(fù)數(shù)”的概念是在實數(shù)的概念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，而實數(shù)的概念又是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的.有些概念是經(jīng)過思維加工把事物的屬性理想化、純粹化得來的，如群、環(huán)的概念.數(shù)學(xué)概念的形成不論如何復(fù)雜、抽象，它們總是在一定的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，不斷上升到理性認(rèn)識的層次上而逐步發(fā)展起來的.

為了正確地進(jìn)行思維、判斷和推理，概念必須明確.要做到概念明確，就必須弄清楚概念的內(nèi)涵和外延.任何一個概念都具有明確的內(nèi)涵和外延這兩方面，它們是最基本的邏輯特征.學(xué)習(xí)一個概念就是要明確概念所指的對象是什么，其所反映的對象有哪些本質(zhì)屬性，只有對概念的內(nèi)涵和外延兩方面都有了準(zhǔn)確的了解，才能說對概念的理解是明確的.

二、概念間的關(guān)系

概念間的關(guān)系主要是指概念的外延間的關(guān)系，因為概念的具體的對象，它的整體實為集合，所以探討外延的關(guān)系就歸之為討論集合之間的關(guān)系，并可用圖形直觀表示出來，根據(jù)兩個概念的外延有無共同之處，概念間的關(guān)系分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系.相容概念又可分為完全重合和部分重合，故相容關(guān)系又分為同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系三種.

（1）同一關(guān)系（又稱全同關(guān)系）：如果兩個概念的外延完全重合，則兩個概念的關(guān)系是同一關(guān)系（全同關(guān)系）.例如，“等邊矩形”和“等對角線矩形”這兩個概念的外延相等，是同一關(guān)系.了解更多的同一概念可以對反映同一事物的概念的內(nèi)涵做全方位的揭示.有利于認(rèn)識對象，在同一論證過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可以互相代替，有利于論證，例如，等邊三角形的“外心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”均指同一個點(diǎn)，四心是合一的，論證時常常互相代替.

（2）屬種關(guān)系（從屬關(guān)系、真包含關(guān)系）：如果兩個概念之間，一個概念的外延完全包含在另一個概念的外延之中，而且僅僅成為另一個概念的外延的一部分，則這兩個概念之間的關(guān)系是屬種關(guān)系，外延大的且包含另一個概念的那個概念叫作屬概念（有時稱上位概念），外延小的概念叫作種概念.例如，四邊形和平行四邊形、實數(shù)和有理數(shù)分別是具有屬種關(guān)系的概念.

（3）交叉關(guān)系：例如，“等腰三角形”和“直角三角形”是交叉概念，交集是“等腰直角三角形”.

概念間的不相容關(guān)系（也稱全異關(guān)系）：所謂概念間的不相容關(guān)系是指屬于同一個屬概念中的兩個在外延上沒有任何重合部分的種概念之間的關(guān)系，不相容關(guān)系又分為反對關(guān)系和矛盾關(guān)系.

三、內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系，限定和擴(kuò)大

具有屬種關(guān)系的兩個概念，它的外延和內(nèi)涵具有反變關(guān)系，即指一個概念的外延愈大則它的內(nèi)涵愈少；反之，一個概念的外延愈小，則它的內(nèi)涵愈多.例如，“平行四邊形”這個概念的內(nèi)涵增加“鄰邊相等”就成為“菱形”，后者比前者的外延小.

應(yīng)當(dāng)注意的是，這種反變關(guān)系只能對一個概念可列入另一個概念的外延中的那些概念而言，即屬種關(guān)系的那些概念.概念的外延和內(nèi)涵變化方式有兩種，概念的限定（又稱為概念的收縮）和概念的擴(kuò)大（又稱為概念的概括），概念的限定（收縮）就是由外延豐富的內(nèi)涵貧乏的概念出發(fā)，不斷豐富概念的內(nèi)涵，同時也相應(yīng)地縮小其外延.這個逐次形成新概念的過程，是使概念從一般愈來愈趨向特殊化的過程.例如，平行四邊形要是加鄰邊相等就會變成菱形，如果再加其中有一個角為直角，就變成了正方形.

總之，概念的學(xué)習(xí)中要注重概念的本質(zhì)、概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)；善于解剖概念，把握好概念的內(nèi)涵和外延.對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，要充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.要學(xué)會讀書，并且能通過概念的認(rèn)識，歸納字面上的信息，抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并通過練習(xí)來鞏固，真正地學(xué)好數(shù)學(xué)，提高自身的數(shù)學(xué)素質(zhì).

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