妙用圓錐曲線的統(tǒng)一方程

程德明

(安徽省阜陽市第五中學(xué) 236000)

一、圓錐曲線的誕生及發(fā)展

圓錐曲線最早是由古希臘學(xué)者梅內(nèi)克謬斯(Menaechmus)進(jìn)行系統(tǒng)研究的，他用頂角分別為直角、銳角和鈍角，三種直圓錐以不過頂點(diǎn)而垂直一條母線的平面截割這三種圓錐曲面，而分別得到拋物線、橢圓和雙曲線的一支.

設(shè)圓錐的半頂角為α，平面與圓錐的軸所成的角為θ：

當(dāng)θ=α?xí)r，截面和圓錐的一條母線平行，交線是拋物線；

當(dāng)α<θ≤π/2 時，截面和所有的母線相交，交線是橢圓，特別當(dāng)θ=π/2 時，交線時圓；

當(dāng) 0≤θ<α?xí)r，截面和兩條母線平行，交線時雙曲線.

因此，圓錐曲線包括拋物線、橢圓和雙曲線，統(tǒng)稱圓錐曲線.

隨著社會的不斷發(fā)展，科學(xué)的不斷進(jìn)步，到了亞歷山大里亞時期，阿波羅尼奧斯在他的《圓錐曲線學(xué)》中指出同一圓錐的不同截口曲線可以是拋物線、橢圓和雙曲線，并且研究了圓錐曲線的共軛直徑、切線和法線及其性質(zhì).這就讓圓錐曲線不斷的發(fā)展起來，并逐漸的應(yīng)用起來直到現(xiàn)在.在高考的數(shù)學(xué)當(dāng)中，圓錐曲線問題也是一個每年必考的題型，所以人們對圓錐曲線這個問題也越來越重視并進(jìn)行多次研究.

二、圓錐曲線的統(tǒng)一性

圓錐曲線的統(tǒng)一性包括統(tǒng)一定義、統(tǒng)一公式和統(tǒng)一方程.從雙曲線和橢圓來看，二者有許多相似的地方和相同的特性.例如，它們都有離心率和焦半徑、切線方程、焦點(diǎn)三角形、焦準(zhǔn)距和通徑，而且他們這些特性的表達(dá)式都是十分相似的，它們的原理也是相同的.只是因?yàn)樗鼈兊膱D形不一樣，所以他們有了一些微小的差別.也正是因?yàn)樗麄冇羞@樣多的詳細(xì)的性質(zhì)，所以考試時會在圓錐曲線當(dāng)中也衍變出許多的問題，而且這些問題又可以與其他的知識點(diǎn)相結(jié)合，所以這也成了熱門的考試題型之一的原因.

其中他們的統(tǒng)一性的應(yīng)用最常見的是中點(diǎn)弦的求解問題.中點(diǎn)弦方程的求解方法有以下幾種.

1.聯(lián)立方程法

一般這樣的題型中會在已知條件中告訴我們截錐曲線的方程和與這條弦有關(guān)的條件.我們可以利用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程.然后將這個方程與圓錐曲線方程聯(lián)立.然后消去一個未知數(shù)，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程.

2.點(diǎn)差法(代點(diǎn)相減法)

我們都知道弦一定與圓錐曲線圖形有兩個交點(diǎn)，我們一般也叫作為弦的兩端點(diǎn).設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)和(x2,y2)，代入圓錐曲線的方程，然后二者相減，將會得到一個弦中點(diǎn)與斜率有關(guān)的方程，這種方法大大地減少了我們的計(jì)算量，我們把它叫作點(diǎn)差法或者是代點(diǎn)相減法.

三、妙用圓錐曲線的統(tǒng)一方程

圓錐曲線的統(tǒng)一方程的性質(zhì)不只用在求解中點(diǎn)弦時，更多的是利用它的性質(zhì)與其他知識相結(jié)合的題.下面就總結(jié)一下妙用圓錐曲線的統(tǒng)一方程的題型.

1.求圓錐曲線的離心率及離心率的取值范圍

在解決這類型問題時，最簡單的方法就是直接用定義，而在大多數(shù)的題型中，并沒有直接給到我們所需要的a和c的值.所以我們會選擇用更多其他的方法來解出a和c的值或者是與a和c有關(guān)的關(guān)系式.其次就是可以根據(jù)直線與圓錐曲線的位置為背景，設(shè)而不求確定e的方程.在求解的e的取值范圍時，我們更多的是去構(gòu)造不等式來確定e的取值范圍.還有一種方法就是利用數(shù)形結(jié)合的方法確定a與c有關(guān)的不等式，這種辦法可以直接從圖上觀察到一些特點(diǎn)，可以讓學(xué)生有更好的思路去解題.下面通過一個例題來看如何求圓錐曲線的離心率及離心率的取值范圍.

2.求圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)

求圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)一般用的是聯(lián)立方程的方法.我們都知道圓錐曲線與直線的位置關(guān)系結(jié)果就是可能有一個交點(diǎn)，或者是兩個交點(diǎn)，或者沒有交點(diǎn).所以當(dāng)聯(lián)立一個方程組之后，會得到一個方程式.我們可以根據(jù)方程式去求Δ的值，比較它和零的大小，若是大于0，則說明有個不同的交點(diǎn);如果是等于0說明有一個交點(diǎn);小于0的時候，就沒有交點(diǎn).然后再通過韋達(dá)定理進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算.下面通過一個簡單的例題來求圓錐曲線上的一個點(diǎn).

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

3.求最值

求最值的問題一般是出現(xiàn)在大題當(dāng)中，最后的壓軸題當(dāng)中.在求解最值時，也會用到聯(lián)立方程組的方法，找到交點(diǎn)，然后再結(jié)合題中的其他條件.而最值最常見的是與拋物線相結(jié)合，我們都知道拋物線有最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的兩種可能，一些圓錐曲線問題就會與拋物線相結(jié)合，它們的交點(diǎn)剛好就是拋物線的頂點(diǎn)，最后用這兩種圖形的特性去證明這一點(diǎn)就是它們的最值點(diǎn).這只是其中的一種情況，還有的會在它們的弦的中點(diǎn)或者是1/3處等，它們的解決方法都離不開圓錐曲線的性質(zhì).

根據(jù)上一題的第二問，我們看一下在最值問題中的應(yīng)用.

∵橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離是d,

4.求距離

在圓錐曲線中求距離也是最常見的一種題型.而這個求距離一般都是運(yùn)用公式.在學(xué)習(xí)圓錐曲線問題之前，我們就學(xué)習(xí)過兩點(diǎn)之間的距離公式，還有坐標(biāo)，向量它們之間的距離是怎樣求的.圓錐曲線問題就可以與這些知識點(diǎn)相結(jié)合，考察的就是求距離問題.求距離也是利用圓錐曲線與其他圖形相結(jié)合的性質(zhì)來解決，尤其是一些函數(shù)的聯(lián)立，這種題型也一般出現(xiàn)在大型題中.下面通過一個距離的范圍例題來解釋一下圓錐曲線中距離的問題.

(1)求橢圓的方程;

(2)由(1)得F的坐標(biāo)為(-2,0).

化得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0，

小結(jié):圓錐曲線的圖形較多，它的特點(diǎn)也多.其次就是圓錐曲線的知識點(diǎn)相對很多，而且各種圖形的特點(diǎn)是相似的，這也就造成了同學(xué)們輕易地就混淆了它們的公式，尤其是一些正負(fù)號的記憶，如果不能夠真正地從理論上去理解這個知識點(diǎn)，那么對圓錐曲線的記憶是有一些困難的.出題者也會因?yàn)閳A錐曲線的性質(zhì)多，與其他知識點(diǎn)結(jié)合的多樣性而熱衷于去出更多的圓錐曲線有關(guān)的問題去考查學(xué)生.但是如果能夠真正掌握了圓錐曲線統(tǒng)一性的運(yùn)用，能夠靈活巧妙地去解剖一些題型，就會發(fā)現(xiàn)很多的題型利用的都是圓錐曲線的統(tǒng)一方程這一特點(diǎn)，所以我們在學(xué)習(xí)的過程中更應(yīng)該注重對統(tǒng)一方程的應(yīng)用.