解題辯證法

甘志國(guó)

(北京豐臺(tái)二中 100071)

一、有時(shí)需要把簡(jiǎn)單化為復(fù)雜來(lái)解題

等價(jià)轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種基本思想，通常是把所給的條件逐漸轉(zhuǎn)化，使之越來(lái)越簡(jiǎn)單，該條件就好用了，從而達(dá)到解題的目的.

事物都是辯證的.筆者發(fā)現(xiàn)，有時(shí)在解題的局部過(guò)程中，把簡(jiǎn)單的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的條件來(lái)解題反而有助于解題.下面茲舉兩題.

題1 若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

A.a>3 B.a<3 C.a>4 D.a<4

解A.由x>1?2x+x>3,2x>a-x?2x+x>a可得答案.

題2 “a>b”是“3a>2b”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

二、拼角和拆角

而我們?cè)诮饽承┤菃?wèn)題時(shí)，卻需要拼——愛(ài)拼才會(huì)贏(yíng)！即不要急著用和(差)角公式sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)展開(kāi)，而是先把未知的角拼(表示)成已知角的和或差(有時(shí)還要把未知角拼成已知角的倍數(shù)和)后再解題.下面舉題說(shuō)明這種技巧.

題3 已知=tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,求tan2α,tan2β的值.

解可得

tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]

tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]

證明即證sin(2α+β)-sinβ=2sinαcos(α+β),

sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α]

=2sinαcos(α+β),

這時(shí)再用和(差)角公式展開(kāi)上式的左邊，即知上式成立，所以要證結(jié)論成立.

證明先把未知的角β,2α+β拼成已知角α+β,α的差、和，再用和(差)角公式展開(kāi)，可得要證結(jié)論成立.

解可求得答案：

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=…=-1.

題3～8的解法都是拼角.

解法1 (拆角)由題設(shè)，可得

解法2 (拼角)由題設(shè)，可得

解法1 (拆角)把題設(shè)中的等式展開(kāi)后，可得

與教科書(shū)《必修4》配套使用的《教師教學(xué)用書(shū)》第130頁(yè)給出的解答是：

以上解法可能只有極少數(shù)同學(xué)能掌握，自己能獨(dú)立想到這種解法的恐怕更少.

下面給出該題的一種直接解法：

若能求出sinx,cosx，則問(wèn)題即可解決.

唯一解(sinx,cosx).

下面再給出此題的兩種巧妙解法：

三、“設(shè)而不求”與“設(shè)并且求”

在解直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)位置關(guān)系的平面解析幾何題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到“設(shè)而不求”的方法，往往簡(jiǎn)便快捷.但筆者發(fā)現(xiàn)，有很多時(shí)候，把一元二次方程的解求出來(lái)(即“設(shè)并且求”)也是一種樸素、本質(zhì)的解題方法——哪怕求出的根的表達(dá)式比較復(fù)雜.

(1)求橢圓C的焦距；

所以橢圓C的焦距為4.

可得(12k2+3)y2+6kcy-k2c2=0.

由-y1=3y2，得

題14 (2006年高考全國(guó)卷Ⅱ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a(a∈R,a≠0)，B={x|10的解集為A，且A∩B≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

四、不變(靜止)與變化(運(yùn)動(dòng))

題15 已知f′(x)=x(x-a)(x-a-1)(a是常數(shù))，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即要求出不等式f′(x)=x(x-a)(x-a-1)≥0的解集.

因?yàn)樵摬坏仁街杏袇?shù)a，所以須分類(lèi)討論.

在f′(x)的三個(gè)零點(diǎn)0,a,a+1中，只有0是不變(靜止)的，a和a+1都是變化(運(yùn)動(dòng))的，所以不好分類(lèi)討論.但我們可以反其道而行之：如圖1所示，在數(shù)軸上，先把a(bǔ)和a+1固定下來(lái)(注意a+1>a)，再讓0在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng).

因而可分以下五種情況分類(lèi)討論：

(1)當(dāng)a+1<0即a<-1時(shí)，可得f′(x)≥0?x∈[a,a+1]∪[0,+∞)，得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[a,a+1],[0,+∞)；

(2)當(dāng)a+1=0即a=-1時(shí)，可得f′(x)≥0?x∈[-1,

+∞)，得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,+∞)；

(3)當(dāng)a<0

(4)當(dāng)a=0時(shí)，可得f′(x)≥0?x∈[1,+∞)，得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)；

(5)當(dāng)a>0時(shí)，可得f′(x)≥0?x∈[0,a]∪[a+1,+∞)，得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,a],[a+1,+∞).