《怎樣圍面積最大》教學(xué)

黃 建

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級拓展課。

【教學(xué)目標】

1.根據(jù)周長相等的條件，100%的學(xué)生能夠圍出不同的圖形并計算面積，90%的學(xué)生進一步明確周長相等的情況下，圓的面積最大。

2.60%的學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言完整地表達推理過程，能總結(jié)概括出研究報告的要素，并通過多樣化的表達形成研究報告。

【課前思考】

什么是數(shù)學(xué)學(xué)科的表達能力？我們該如何培養(yǎng)？數(shù)學(xué)表達能力是指運用語言文字闡明自己的數(shù)學(xué)觀點、意見或抒發(fā)思想、感情的能力。它包括口頭表達能力、文字表達能力、數(shù)字表達能力、圖示表達能力等幾種形式。同時數(shù)學(xué)語言的表達也是學(xué)生對知識的掌握程度的一種反映。

數(shù)學(xué)交流表達的幾個表現(xiàn)層次：1.（語句）完整；2.（邏輯）嚴密；3.（用詞）準確；4.（語言）簡潔；5.（方式）多樣。

于是，在學(xué)生經(jīng)歷了長方形（正方形）、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積公式推導(dǎo)、掌握這些平面圖形的面積公式，明確一些圖形之間的面積關(guān)系——當周長相等的情況下，正方形的面積大于等于長方形的面積等之后。我們設(shè)計了這樣一個小課題研究，而小課題研究的本質(zhì)上是這樣一個數(shù)學(xué)問題：當周長相等的情況下，圍成什么圖形的面積最大？基于這樣一個數(shù)學(xué)問題，我們是怎么樣培養(yǎng)學(xué)生的達能力呢？在這一節(jié)課中，我們引導(dǎo)學(xué)生通過猜測、驗證等過程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力這一關(guān)鍵能力。在第一環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過表達明確小課題研究的主題、研究內(nèi)容；在第二環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過計算、推理等過程進行驗證，與此同時，尤其關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)表達的完整性、邏輯的嚴密性、用詞的準確性與語言的簡潔性。當然，這些都是教師評價學(xué)生語言的重要標準。在第三環(huán)節(jié)中，鼓勵學(xué)生用多樣化的方式進行表達。

【教學(xué)過程】

一、確定研究主題（預(yù)：5 分鐘）

1.出示情境。

師：今天，我們要解決這樣一個問題。你會圍成什么圖形？

生：三角形、長方形、正方形、梯形、圓等。四邊形、五邊形、六邊形等。

小結(jié)：但是不管怎么圍什么是不變的，什么變化？

2.數(shù)學(xué)思考。

師：我們要解決這個問題，就是在研究一個什么數(shù)學(xué)問題？

出示課題：周長相等的情況下，什么圖形的面積最大？這就是我們今天研究的主題。

3.交流討論。

師：說到面積，這么多的圖形，哪些圖形的面積現(xiàn)在是能夠確定的？我們來算一算。（按π=3 計算）

生：正方形邊長24÷4=6（米），S正=6×6=36（平方米）；圓形半徑r=24÷3÷2=4（米），S圓=3×4×4=48（平方米）。

師：哪些圖形現(xiàn)在是能比出大小的？

生：長方形＜正方形，這是我們已經(jīng)學(xué)過的知識。

師：這么多圖形，我們能不能分分類？

分類：三邊形、四邊形、圓。

4.猜測。

師：現(xiàn)在，你能不能大膽猜測一下，哪個圖形的面積最大？

生：我覺得圓的面積最大，正方形的面積第二大。

二、討論研究方案

1.確定研究方案。（預(yù)：2 分鐘）

師：這只是我們的猜測，你打算怎么來驗證？

生：我覺得圍成各種各樣的封閉圖形，然后計算這個封閉圖形的面積，最后比較它們的面積，得出結(jié)論，看看是哪個圖形的面積最大。

（小組討論，確定研究方案）

師：他想到了操作（板書），那我們不可能真的用一根24 米長的繩子怎么辦？

生：那很簡單，用24 厘米的繩子代替24 米的繩子。

師：如果每個圖形都去研究時間肯定不夠，你有什么好方法？

生：我覺得可以這樣，我們小組內(nèi)每人選擇一種圖形來圍。這樣能節(jié)省時間，而且也可以看看其他組和你圍的圖形一樣的同學(xué)。這樣就可以看到很多圖形了，并且節(jié)省時間。

2.合作研究。（預(yù)：8 分鐘）

師：就按照同學(xué)們說的做。

3.全班交流。（預(yù)：6 分鐘）

師：你們是怎么來就研究的，研究結(jié)論是什么？

（1）平行四邊形的面積。

生：我們是四人小組合作，我們分別研究了平行四邊形、三角形、梯形這三類圖形。我研究的是平行四邊形，你們看我圍出的這個平行四邊形，通過計算我發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積是24 平方厘米。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。（黑板上記錄）

師：同樣是研究平行四邊形，有沒有比這個圖形面積更大的圖形？你圍的圖形的面積是多少？

生：我圍得的也是平行四邊形，它的面積是58.5平方厘米。

生：我覺得根本不可能，你看看我們知道周長是24 厘米。底是6.5 厘米，斜邊最多5.5 厘米。這一條高是9 厘米，高一定比斜邊短，9＞5.5。根本不可能。

師：能聽懂嗎？是的！底邊是5.5 厘米，則這一條也是5.5 厘米，那么周長是24 厘米，24-5.5×2=13（厘米），斜邊就是13÷2=5.5（厘米）。而斜邊要大于等于直角邊，9＞5.5，不可能。

小結(jié)：周長相等的情況下，平行四邊形的面積小于圓的面積。

（2）三角形的面積。

生：我研究的是三角形，你們看我圍出的這個三角形，通過計算我發(fā)現(xiàn)這個三角形的面積是28.9 平方厘米。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。（黑板上記錄）

師：同樣是研究三角形，有沒有比這個圖形面積更大的圖形？你圍的圖形的面積是多少？對于三角形，還有沒補充的？

小結(jié)：周長相等的情況下，圓的面積最大。

（3）梯形的面積。

生：我研究的是梯形，你們看我圍出的這個梯形，通過計算我發(fā)現(xiàn)這個梯形的面積是35 平方厘米。但是它的面積要比圓小。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。（黑板上記錄）

師：同樣是研究梯形，有沒有比這個圖形面積更大的圖形？面積是多少？對于梯形，還有沒有補充的？

小結(jié)：周長相等的情況下，圓的面積最大。

（4）小結(jié)提升。

生：綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)，當周長相等的情況下，圓的面積最大。

師：到目前為止，我們通過操作總結(jié)得出這樣一個結(jié)論。但我們是不是就能說，這個結(jié)論一定是正確的呢？

生：我覺得是正確的！

生：我覺得是更有信心了！但是我還是不怎么確定，你看！我們只是研究了三邊形、四邊形、圓，那還有五邊形、六邊形等我們都沒有研究過呢！

生：我也覺得，那不一定，哪怕是三角形、梯形、平行四邊形還有很多種，我們只是舉了其中幾個例子，我們覺得還不是特別有說服力。

4.推理論證（控制高不變）。（預(yù)：8 分鐘）

師：怎么樣變得更有說服力呢？既然我們已經(jīng)知道了S正＜S圓，現(xiàn)在，我們把這四個周長相等的圖形放在一組平行線之間，你知道了什么？

生：我知道了這幾個圖形的周長是相等的！

生：兩條平行線之間距離處處相等，所以高也相等，都是6。

師：周長相等、高相等，它們的面積和正方形的面積有什么關(guān)系呢？小組里互相交流一下。

生：周長相等，當高相等時，因為平行四邊形的斜邊比正方形的邊長長，所以平行四邊形的底比正方形的底短；又因為高相等，所以平行四邊形面積小于正方形的面積。

師：說得很完整、也很有邏輯性，但是不夠簡潔，誰愿意上來指著這個圖形再來說說看？

生：b 大于6，所以a 小于6。高相等，所以S平小于S正。

生：其實可以這樣理解，b 一定是大于6 厘米的，所以它的對邊也大于6 厘米，而又因為周長是24 厘米，所以2a 一定小于12，a 小于6。S平=a×6，S正=6×6，a 小于6，所以S平小于S正。

師：在表述過程中，借助字母可以讓我們說得更簡潔、更清楚。那梯形和三角形呢？為了便于你們交流，我們也標上字母任選一個，和你的同桌說一說。

生：c+d 大于12，所以a 小于12。高相等都是6，S△=a×6÷2，S正=6×6，a÷2 小于6，所以S△小于S正。（教師板書）

生：c+d 大于12，所以a+b 小于12。高相等都是6，S梯=（a+b）×6÷2，S正=6×6，（a+b）÷2 小于6，所以S梯小于S正。

師：你們覺得他們說得怎么樣？

師：你看，我們又作了這樣的推理，當周長、高相等的情況下，它們的面積永遠小于正方形的面積，又因為正方形的面積小于圓的面積。所以，圓的面積最大?，F(xiàn)在，是不是更有信心了？

5.進一步推理論證（底、高都變化）。（預(yù)：6 分鐘）

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)，四邊形中哪個圖形的面積最大？（出示正四邊形）那三邊形呢？

生：我覺得是正三角形面積最大。

生：我覺得是等腰直角三角形面積最大。

（1）底不變，從一般三角形→等腰三角形。

師：任意一個三角形，如果它的底不變，另一個頂點可以移動，什么時候面積最大？（操作）為什么？

生：底相等，高最大的時候，面積最大。生：所以周長相等時等腰三角形面積最大。

（2）等腰三角形→等邊三角形。

①想象：繼續(xù)想，同樣是等腰三角形，什么時候面積最大。

②操作：請你選擇一個三角形，找一找面積最大的等腰三角形。

生：我覺得是等邊三角形面積最大。

③驗證：我們來看一下對不對?。◣缀萎嫲宀僮鳎?/p>

生：我們猜對了，當它是正三角形的時候，面積最大是27.8 厘米。

（3）回顧。

師：剛才，我們是怎么找到三邊形中面積最大的圖形？

生：當?shù)紫嗟鹊那闆r下，等腰三角形的面積最大，同樣是等腰三角形時等邊三角形的面積最大。

師：而正三角形的面積比正四邊形的面積小，比圓的面積小，所以還是成立的。

6.總結(jié)回顧。

師：同學(xué)們！剛才我們通過這樣的研究得出什么結(jié)論？是用什么方法研究的？

生：計算、推理（和正方形比較，找到周長相等、同一類中面積最大的圖形）。

師：我們不僅得出了這樣的結(jié)論，還發(fā)現(xiàn)三邊形時，什么圖形的面積最大？四邊形時？那如果是五邊形、六邊形？幾邊形呢？有興趣的同學(xué)可以自己去研究。但是到目前為止，我們發(fā)現(xiàn)，周長相等的情況下，圓的面積最大。

三、形成研究報告

師：今天，我們研究了一個非常了不起的小課題。需要把整個研究過程記錄下來，如果讓我們寫一份研究報告，你打算從哪些方面撰寫？

生：我們覺得研究報告，首先要有標題；有了標題之后，得有研究主題，就是研究的是什么；而且還要寫研究的方案，我們是打算怎么來研究的；接著在研究過程中，我們是分成哪幾類情況進行研究，對于同一類，我們又用了哪些方法；最后，我們的研究成果是什么。

師：剛才他說到了幾個關(guān)鍵詞，研究主題、研究方法、研究過程和研究結(jié)論。請你從這幾個方面把剛才的研究過程進行整理。

四、多樣化表達

（學(xué)生作品略）