筆算除法為什么不從個位算起
———《筆算除法》起始課教學(xué)的實踐與思考

林 霞 陳珍珍

《筆算除法》是小學(xué)計算教學(xué)中特別重要的知識，也是一個老大難的問題。以前，老師們都把筆算當(dāng)作計算的一項技能來訓(xùn)練，認(rèn)為筆算沒有思維含量。近幾年，隨著“算理比算法更重要”理念的不斷深入，我們開始追究“規(guī)定性知識”背后的原因。在新理念影響下，我們進(jìn)行了一次筆算除法教學(xué)的大膽嘗試。

人教版三年級下冊開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法，教材在二年級下冊已經(jīng)安排過表內(nèi)除法豎式的學(xué)習(xí)，但差不多隔了一個學(xué)年，相信學(xué)生已經(jīng)把除法豎式忘得差不多了。為此，教材也在教學(xué)本內(nèi)容之前安排了一道筆算復(fù)習(xí)題（如圖1）。

圖1

圖2

看著長相和其他豎式如此不同的除法豎式，不禁想起了俞正強(qiáng)老師教學(xué)表內(nèi)除法豎式的起始課，俞老師把“為什么除法豎式是這樣（圖2 的B），而不是這樣（圖2 的A）”作為筆算教學(xué)的突破口，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)規(guī)定是講道理的”。那么，今天這節(jié)課又有什么地方可以突破，有什么道理可講呢？本文試著運用蔡金法教授團(tuán)隊的分析框架，運用數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析和教學(xué)分析三個方面分析筆算除法起始課的教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)分析

筆算除法教學(xué)主要分為三個階段：一是“表內(nèi)除法豎式”，首次接觸除法豎式；二是“除數(shù)是一位數(shù)除法”，真正進(jìn)入除法豎式理解性學(xué)習(xí)階段；三是“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，屬于除法豎式的完善階段?，F(xiàn)行人教版教材分別安排在二下、三下和四上來學(xué)習(xí)。分析教材我們發(fā)現(xiàn)，二下首次安排筆算除法，主要是認(rèn)識除法豎式的書寫格式以及每一部分的名稱，運用“表內(nèi)除法”的口算能力直接試商，商是一位數(shù)，除法豎式也只有一層。三下的筆算除法是安排在“除數(shù)是一位數(shù)除法”這一單元，起始課教學(xué)的兩個例題商均為兩位數(shù)，豎式要寫成兩層。例1 教學(xué)“首位能整除”的42÷2，例2 教學(xué)“首位不能整除”的52÷2。教材借助直觀操作幫助學(xué)生理解除法豎式每個步驟的意義和作用，進(jìn)而領(lǐng)悟到除法豎式的計算方法。

除法豎式與加、減、乘三種豎式不僅在書寫形式上差別較大，在計算順序上更是完全相反。教學(xué)加、減、乘豎式時，一直強(qiáng)調(diào)要從個位算起比較方便，而在除法豎式計算時，卻強(qiáng)調(diào)從高位算起比較方便，這一任務(wù)需要在三下教學(xué)“筆算除法”起始課中解決。對于例1“首位能整除”的42÷2 來說，從十位算起和從個位算起在簡便程度上看是沒有區(qū)別的，只有到例2“首位不能整除”的52÷2，從十位算起要比從個位算起更加簡便。

二、認(rèn)知分析

對于兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法，三下學(xué)生的思維是怎么樣的呢？我們想到了通過“前測、訪談”加以了解。為了掃除障礙，引發(fā)學(xué)生用豎式解決問題，在前測中安排了“表內(nèi)除法除式”的復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生回憶除法除式的書寫格式、各個部分的名稱和每一個數(shù)表示的意義。

前測在非正式上課的班級（48 人）進(jìn)行，呈現(xiàn)“把52 個羽毛球平均分給兩個班”的情境，讓學(xué)生寫出計算的思考過程，要求盡可能用多種方法解決。

學(xué)生的原有認(rèn)知是怎么樣的呢？分析測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)，采用畫圖法的有18 人，占測試總?cè)藬?shù)的37.5%；用列橫式分步口算法的有35 人，約占72.9%；用文字表達(dá)分法的4 人，約占8.3%；選用豎式計算的學(xué)生只有7 人，約占14.6%；僅有2 人用標(biāo)準(zhǔn)豎式正確表達(dá)。從擦拭痕跡來看，部分學(xué)生嘗試過豎式計算，但沒有成功。

在分步口算法的35 個學(xué)生中，我們又進(jìn)行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)把52 分成50 和2 是學(xué)生最直接的方法，僅有2 人是把52 分成40 和12 來計算的。這和以往做加、減、乘法時把兩位數(shù)看成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)來計算是一致的。繼續(xù)分析學(xué)生的口算方法，可以明顯地看出，學(xué)生的計算順序也是不同的，有先算個位的2÷2=1，也有先算50÷2 的，先算個位的比例更高一些。我們發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生認(rèn)知中，先算個位和先算十位都能解決問題，不存在大的差異。

從以上認(rèn)知分析得知，學(xué)生對于筆算除法的順序的理解是一道“坎”，如何能在起始課教學(xué)中幫助學(xué)生順利跨過這道坎，享受一次講道理的數(shù)學(xué)課堂呢？

三、教學(xué)分析

通過數(shù)學(xué)和認(rèn)知兩方面的分析，我們大膽地進(jìn)行了以“筆算除法為什么不從個位算起”這一問題展開的教學(xué)實踐，讓教材中安排的兩個例題承載不同的教學(xué)目標(biāo)。

1.記錄分物，理解兩層豎式的必要性和含義。

從前測中，我們了解到學(xué)生對除法豎式的認(rèn)知停留在“表內(nèi)除法”一層豎式階段，如何使學(xué)生產(chǎn)生從一層豎式到兩層豎式的需求，我們進(jìn)行了記錄分物的活動。

教師出示42 根（4 捆2 根）小棒，要求學(xué)生平均分成2 份，讓學(xué)生口述分法。為了先感受高位算起的豎式，這個環(huán)節(jié)有兩種預(yù)設(shè)：一是第一位學(xué)生就是先分整捆的，直接開始記錄，記錄完成后再問學(xué)生有沒有不同分法；二是如果第一位學(xué)生是先分散根的，等他說完分法后緊接著問其他學(xué)生有沒有不同分法，等兩種分法都表達(dá)完后，教師提議先記錄第二位同學(xué)的分法。操作步驟如下：

（1）嘗試記錄分小棒過程。

教師分小棒，學(xué)生用豎式記錄42÷2（從高位開始）。

首先，教師把4 捆小棒平均分成2 份，邊分邊說：先把4 捆小棒平均分成2 份，每份2 捆，4 捆小棒剛好分完。

接著，教師把2 根小棒平均分成2 份，邊分邊說：再把2 根小棒平均分成2 份，每份1 根，2 根小棒剛好分完。

（2）反饋交流。

先由學(xué)生說說自己記錄下來的豎式所表達(dá)的含義。接著教師拋出問題：上面兩個豎式，哪一個豎式更能體現(xiàn)出剛才分小棒的過程呢？學(xué)生表達(dá)自己的想法。

有學(xué)生表示兩層的豎式更好，因為剛才老師是分兩次分小棒的，寫成兩層更清楚。

（3）再次記錄42÷2（從個位開始）。

這個步驟與前面相似，要求學(xué)生再次記錄分小棒的過程，不同的是這次是先分散根的小棒。教師為了了解更多的學(xué)生是如何記錄的，請了一位學(xué)生上展臺分小棒。

學(xué)生分2 根，每份1 根，教師配合學(xué)生分的過程說：先分散的2 根，每份1 根，正好分完。

學(xué)生再分4 捆，每份2 捆，教師配合學(xué)生分的過程說：再分整的4 捆，每份2 捆，正好分完。

（4）再次反饋。

教師引導(dǎo)比較這三個豎式，學(xué)生認(rèn)為前面兩個豎式都寫成兩層，差不多。第三個豎式又把兩個步驟并在一起了。小棒分法變了，豎式還是和剛才一樣，這樣的豎式看不出是先分整捆還是先分散根的。

（5）得出結(jié)論。

教師把分小棒的過程分兩次呈現(xiàn)，每一次的記錄與表內(nèi)除法豎式是相通的，學(xué)生記錄起來比較順利。這樣既分散了記錄豎式的難點，又幫助學(xué)生感受寫成兩層的必要性，也為后面記錄52÷2 做好了準(zhǔn)備。

2.運用記錄方法，經(jīng)歷并感受不同順序的豎式。

在上面的步驟中，學(xué)生通過豎式記錄了兩種不同的分法，熟悉了兩層豎式記錄兩次分小棒的操作方法。在這一環(huán)節(jié)中，希望學(xué)生經(jīng)歷“十位不能整除”時兩種不同分法的記錄，感受到個位算起所帶來的麻煩，從而明白筆算除法不能從個位算起的道理。

（1）學(xué)生操作（52÷2）。

教師給每位學(xué)生準(zhǔn)備了52 根小棒，要求學(xué)生平均分成2 份。學(xué)生操作，教師巡視，尋找兩種不同分法的學(xué)生上臺展示。

（2）反饋分法。

生1：我是先分整捆的，5 捆小棒平均分成2 份，每份2 捆還多出1 捆，把這1 捆和散的2 根合起來是12 根，再平均分成2 份，每份6 根，這樣每份分到26 根。

生2：我是先分散根的，2 根小棒平均分成2 份，每份分到1 根，再分整捆，5 捆小棒平均分成2 份，每份2 捆還多出1 捆，最后把剩下的這1 捆拆開后再分，每份分到5 根。

（3）豎式記錄（從高位開始）。

教師要求學(xué)生先回憶生1 的分法，然后按教師的分法用豎式記錄。

教師邊分邊說：先分整捆，把5 捆小棒平均分成2 份，每份最多分到2 捆，分了4 捆，還剩下1 捆。

教師繼續(xù)分小棒，邊分邊說：接著把剩下的1 捆和散的2 根合起來是12 根，12 根小棒，平均分成2份，每份6 根，分了12 根，小棒正好分完。開始記錄！

（4）反饋辨析。

教師引導(dǎo)學(xué)生說說對上面兩種豎式的看法。學(xué)生認(rèn)為右邊這個豎式有問題，50 除以2 余數(shù)10，余數(shù)是不能比除數(shù)大的，也有學(xué)生表示寫成兩個豎式麻煩，一致認(rèn)同左邊的豎式。

（5）再次記錄（個位算起）。

學(xué)生敘述分法，教師根據(jù)學(xué)生的敘述分小棒。

生：生2 是先分散根的，把2 根小棒平均分成2份，每份分到1 根。

師：散的2 根分完了。開始記錄！

生：接著分整捆的，5 捆小棒平均分成2 份，每份最多分到2 捆。

師：這樣一共被分掉了4 捆，還剩下1 捆。開始記錄！

生：還剩下1 捆，把這1 捆拆開就是10 根，10根小棒平均分成2 份，每份分到5 根。

師：剩下的1 捆小棒也被分完了。開始記錄！

此時，部分學(xué)生表示出困難。教師讓有困難的同學(xué)和同桌討論討論，看看同伴之間能不能解決。

（6）反饋比較。

不少學(xué)生沒有完成記錄，教師找到兩張記錄完整的作品，呈現(xiàn)給學(xué)生看，并要求學(xué)生觀察比較，說說想法。

有學(xué)生表示看不懂，而記錄的兩個學(xué)生說：跟著老師分的節(jié)奏我只能這樣記，要不然就沒辦法了；散的小棒分了還要再分，記錄起來太麻煩了。

此時，有學(xué)生站起來說：如果從散根開始分，十位除以除數(shù)沒有余數(shù)那還沒事；如果十位除了以后還有余數(shù)，就要再分。以后數(shù)再大起來，真不知道該怎么辦了。

四、課后思考

本節(jié)課在數(shù)學(xué)分析和學(xué)生認(rèn)知分析的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地以“筆算除法為什么不從個位算起”這一大問題展開教學(xué)，學(xué)生的收獲是非常大的。通過例1 首位能整除的42÷2 教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷記錄兩種不同順序的分小棒過程，感受兩層豎式的必要性以及每一個步驟的含義，此時學(xué)生對運算順序是沒有認(rèn)知沖突的，先算個位和先算十位都很順，但在例2 首位不能整除的52÷2 的教學(xué)時，學(xué)生再次記錄兩種不同順序的分小棒過程時，就對運算順序產(chǎn)生了沖突。在親身經(jīng)歷豎式的記錄過程后，學(xué)生的感受特別深刻。暢談學(xué)習(xí)收獲時，課前認(rèn)為筆算除法也和加、減、乘法一樣從個位算起的學(xué)生，就說到自己明白了要從十位算起的原因；思維能力好的學(xué)生還聯(lián)想到當(dāng)數(shù)位更多時，麻煩也就更大；最讓人欣喜的是，學(xué)生還能把兩個例題結(jié)合起來總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)：如果每一位都整除，兩種順序都是可以的，但如果前面有哪一位不能整除，從個位算起就會帶來麻煩。

學(xué)生的精彩就是課堂的精彩，教師放慢腳步贏得學(xué)生的精彩，是教師最大的欣慰，也是我們一線教師研究課堂教學(xué)的動力。