一種基于代價函數(shù)的相位估計算法

周德強，閆紅超，王春燕，王 睿

(1.裝備工程技術(shù)研究實驗室，河北 石家莊050081； 2.河北軌道運輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050000； 3.河北省儀器儀表工程技術(shù)研究中心，河北 承德 067000)

0 引言

目前的相位估計方法主要有2種：數(shù)據(jù)輔助方法和非數(shù)據(jù)輔助方法。數(shù)據(jù)輔助方法要求信號中有導(dǎo)頻序列，雖然估計性能較好但是會降低通信系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸速率[1-3]。非數(shù)據(jù)輔助方法有：M次冪算法[4]、V&V算法[5-6]、基于期望最大化算法[7]、PL算法[8]、基于高階統(tǒng)計量算法[9]、直方圖算法[10]、基于循環(huán)累積量的算法[11]、判決引導(dǎo)算法[12]以及最大似然估計算法[13]等。判決引導(dǎo)算法通常用于相位跟蹤，M次冪算法、V&V算法、基于期望最大化算法、PL算法、基于高階統(tǒng)計量算法、直方圖算法和基于循環(huán)累積量的算法通常用于相位捕獲。文獻[12，14]將捕獲算法和相位跟蹤算法結(jié)合使用取得了較好的效果。M次冪算法、V&V算法、基于期望最大化算法、PL算法、直方圖算法、最大似然估計算法和判決引導(dǎo)算法要求信號已經(jīng)經(jīng)過符號同步，有一定的使用范圍限制。對于OQPSK信號，它的符號同步對載波相位很敏感，對于某些相偏，符號同步算法的性能會很差[1，15]。

針對BPSK，QPSK，OQPSK信號的相位估計問題，本文提出一種基于代價函數(shù)的相位估計算法。該算法不依賴符號同步信息，計算簡單，適合用于相位的初始估計，加速載波同步環(huán)路的收斂。尤其是對于OQPSK信號，可以先用本文提出的算法糾正相偏，再進行符號同步，從而避免殘余相偏導(dǎo)致的符號同步性能降低的問題。

1 信號模型

BPSK，QPSK，OQPSK信號經(jīng)過接收天線、接收機的射頻前端、AD采樣和數(shù)字下變頻后，可以表示為：

xk=ak+jbkej2πf0k+θ0+

nIk+jnQk，k=1，2，3，…，N，

(1)

xk=ak+jbkejθ0+nIk+jnQk，

k=1，2，3，…，N。

(2)

2 算法原理

首先，對接收信號進行一個相位為θ的相位旋轉(zhuǎn)得到y(tǒng)k，yk表示為：

yk?xke-jθ=ak+jbkejθ0-θ+

nIk+jnQke-jθ。

(3)

為方便表示，記γ?θ0-θ，代入式(3)可得：

yk=akcosγ-bksinγ+
nIkcosθ+nQksinθ+
jaksinγ+bkcosγ+
nQkcosθ-nIksinθ。

(4)

為方便表示，記Ak?akcosγ-bksinγ，Bk?aksinγ+bkcosγ，則yk的實部和虛部分別表示為：

Ik?Ak+nIkcosθ+nQksinθ，

(5)

Qk?Bk+nQkcosθ-nIksinθ。

(6)

Ak分別與nIk和nQk相互統(tǒng)計獨立，Bk分別與nIk和nQk相互統(tǒng)計獨立。

構(gòu)造代價函數(shù)為：

Jθ?EIk2-Qk22。

(7)

將式(5)和式(6)代入式(7)可得：

Jθ=EAk+nIkcosθ+nQksinθ2-
Bk+nQkcosθ-nIksinθ22。

(8)

將式(8)展開并化簡可得：

(9)

根據(jù)Ak和Bk的定義可得：

EA2k+B2k=Ea2k+b2k，

(10)

(11)

對于星座點位于坐標軸上的BPSK，QPSK，OQPSK信號，有

Ea3kbk≈Eakb3k≈0。

(12)

將式(12)代入式(11)可得：

(13)

將式(10)和式(13)代入式(9)可得：

(14)

記

(15)

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14)可得:

Jθ=Dcos4θ0-θ+C。

(17)

可見，從理論上說，代價函數(shù)Jθ是一個以π/2為周期的正弦函數(shù)。當BPSK，QPSK，OQPSK信號的星座點位于坐標軸上時，D>0。因此，

(18)

QPSK和OQPSK信號的星座點不在坐標軸上時的星座點相位與星座點位于坐標軸上時相差π/4。因為代價函數(shù)Jθ的周期是π/2，所以一個周期內(nèi)代價函數(shù)最大值位置與最小值位置恰好相差π/4。所以此時相位估計值有如下2種計算方式：

(19)

(20)

文中選取式(20)來實現(xiàn)相位估計算法。

3 算法實現(xiàn)

采用搜索的方式實現(xiàn)基于代價函數(shù)的相位估計算法：在[0，π/2)上以Δθ為步長取等間隔取M+1個角度，分別計算這些角度對應(yīng)的代價函數(shù)值，最大(或者最小)的代價函數(shù)值所對應(yīng)的角度即為相位的估計值，具體步驟如下：

② 計算角度值：θi=i*Δθ；

③ 處理接收信號：yk=xke-jθi，k=1，2，…，N，xk是長度為N個采樣點的接收信號；

④ 計算代價函數(shù)：

其中,Re·和Im·分別表示取復(fù)數(shù)的實部與虛部。由于算法不關(guān)心代價函數(shù)的具體大小，為了計算方便，可以將其放大N倍，即

4 性能分析

根據(jù)文獻[17-18]，MPSK信號相位估計的均方誤差滿足：

(21)

式中，L為符號個數(shù)；Es為每個符號的平均能量；N0為噪聲的功率譜密度。

(22)

所以均方誤差的理論值為：

(23)

由于噪聲的影響，均方誤差肯定比理論值大，即

(24)

基于代價函數(shù)的相位估計算法同時滿足式(21)和式(24)。

5 計算復(fù)雜度分析

由第3節(jié)可知，基于代價函數(shù)的相位估計算法主要涉及乘法和加法，目前的DSP芯片都有專門的乘法器和各種專門的乘法指令，運算速度較快，因此提出的算法適合DSP實現(xiàn)。對于固定步長的情況，計算量主要有：(M+1)N次復(fù)數(shù)乘法、(M+1)(3N+1)次實數(shù)乘法和(M+1)(2N-1)次加法。在實際應(yīng)用時，使用粗細結(jié)合的搜索方法，可以大幅度降低計算量。

6 仿真實驗

仿真參數(shù)設(shè)置如下：信號為零中頻信號，符號速率為100 kBaud，采樣率為600 ksps，信號采用平方根升余弦滾降濾波器進行成型濾波，滾降系數(shù)為0. 35，調(diào)制方式為BPSK，QPSK，OQPSK。

6. 1 代價函數(shù)仿真

信號的調(diào)制方式是BPSK，信號長度為400個符號，帶內(nèi)Eb/N0為15 dB，信號沒有相偏，計算出的代價函數(shù)Jθ如圖1所示。從圖1中可以看出，代價函數(shù)確實是一個余弦函數(shù)，與理論推導(dǎo)一致。

圖1 代價函數(shù)示意

6. 2 搜索步長對相位估計性能的影響

信號的調(diào)制方式分別是BPSK，QPSK，OQPSK，帶內(nèi)Eb/N0分別取10 dB和20 dB，搜索步長Δθ分別取0. 000 1π，0. 00 1π，0. 01π，0. 02π，0. 03π，0. 04π，0. 05π，在不同信噪比和不同Δθ下分別進行10 000次蒙特卡羅仿真，每次蒙特卡羅仿真中的相偏是在[0，π/2)中均勻分布的隨機數(shù)，仿真結(jié)果如圖2所示。從圖中可以看出：當Δθ>0. 001π時，隨著Δθ的減小，均方誤差快速減??；當Δθ≤0. 001π之后，隨著Δθ的減小，均方誤差減小的趨勢比較緩慢。

圖2 搜索步長與均方誤差的關(guān)系曲線

6. 3 數(shù)據(jù)長度對相位估計的影響

信號的調(diào)制方式分別為BPSK，QPSK，OQPSK，帶內(nèi)Eb/N0分別取10 dB和20 dB，Δθ為0. 001π，在不同信噪比和不同信號長度下分別進行10 000次蒙特卡羅仿真，每次蒙特卡羅仿真中的相偏是在[0，π/2)中均勻分布的隨機數(shù)，仿真結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出：當信號長度在10～200個符號之間時，隨著信號長度的增加，均方誤差快速減??；當信號長度大于200個符號時，隨著信號長度的增加，均方誤差減小的趨勢比較緩慢；總的來說，信號長度越長，均方誤差越小，即相位估計的準確性越高。

圖3 信號長度與均方誤差的關(guān)系曲線

6. 4 信噪比對相位估計性能的影響

信號的調(diào)制方式分別為BPSK，QPSK，OQPSK，信號長度為400個符號，Δθ為0. 001π，在不同信噪比下分別進行10 000次蒙特卡羅仿真，每次蒙特卡羅仿真中的相偏是在[0，π/2)中均勻分布的隨機數(shù)，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出：Eb/N0越大，均方誤差越小，相位估計準確性越高。

圖4 信噪比與均方誤差的關(guān)系曲線

7 結(jié)束語

本文提出的基于代價函數(shù)的相位估計算法適用于估計BPSK，QPSK，OQPSK信號的相位，通過仿真試驗可以看出，當搜索步長小于0. 001π并且信號長度大于200個符號時，算法具有較好的性能。該算法在使用時不依賴符號同步信息等先驗信息，特別適合應(yīng)用于BPSK，QPSK，OQPSK信號的偵察解調(diào)等場景中。