多約束下距離加權(quán)最優(yōu)滑模末制導(dǎo)律

李宏宇,王旭剛,華思雨

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

制導(dǎo)炮彈的出現(xiàn)使“戰(zhàn)爭之神”的火炮具有縱深精確打擊高附加值點(diǎn)目標(biāo)的能力,大大加強(qiáng)了火炮的壓制水平和毀傷能力。近年來,作戰(zhàn)領(lǐng)域越來越廣,制導(dǎo)要求越來越多,為達(dá)到“遠(yuǎn)、準(zhǔn)、狠”的要求,眾多國內(nèi)外學(xué)者對制導(dǎo)律展開了研究[1-2]。末制導(dǎo)炮彈制導(dǎo)最重要的作戰(zhàn)指標(biāo)就是達(dá)到理想的落點(diǎn)與落角,但是在末制導(dǎo)過程中有許多其他因素限制,如末制導(dǎo)炮彈自身決定的最大可用過載、導(dǎo)引頭視線角限制、攻角約束等限制,使得制導(dǎo)效果難以實(shí)現(xiàn),所以為達(dá)到好的制導(dǎo)效果,多約束下末制導(dǎo)律的研究勢在必行。

文獻(xiàn)[3]在目標(biāo)函數(shù)中用罰函數(shù)代替終點(diǎn)限制條件,推導(dǎo)出一種能命中目標(biāo)并保證大落角的最優(yōu)制導(dǎo)律;文獻(xiàn)[4]在實(shí)現(xiàn)具有指定碰撞角和零終端脫靶量的最優(yōu)制導(dǎo)律的同時討論了初始航向角的影響,給出了初始航向角和末次迎角的捕獲區(qū)域;文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)了一種特定沖擊角和零終端脫靶量的最優(yōu)制導(dǎo)律,提出了考慮路徑曲率的實(shí)用時間計(jì)算方法;文獻(xiàn)[6]提出了一種恒速導(dǎo)彈對靜止目標(biāo)的脫靶量和沖擊角終端約束的最優(yōu)制導(dǎo)律,提出剩余時間加權(quán)函數(shù),通過改變權(quán)數(shù)來改變彈道軌跡;文獻(xiàn)[7]提出了一種關(guān)于剩余彈目相對距離加權(quán)函數(shù)的帶落角約束的末制導(dǎo)方法。

為增強(qiáng)制導(dǎo)律的精確性,本文根據(jù)文獻(xiàn)[7],將剩余相對距離的權(quán)函數(shù)加入到制導(dǎo)律推導(dǎo)中,改變權(quán)數(shù)可以改變制導(dǎo)炮彈的運(yùn)動軌跡,隨著權(quán)數(shù)的增大,運(yùn)動軌跡變彎曲,制導(dǎo)時間增長,增大制導(dǎo)空間及時間,有利于提高制導(dǎo)律的精確度,達(dá)到更精確的落角、落點(diǎn)等要求。但軌跡過于彎曲會帶來過載以及導(dǎo)引頭視線角等約束問題,對此本文提出在導(dǎo)引頭視線約束與過載約束下的最優(yōu)末制導(dǎo)律,在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上通過變權(quán)法解決大權(quán)數(shù)帶來的過載及導(dǎo)引頭視線角約束問題。理論上最優(yōu)末制導(dǎo)律能實(shí)現(xiàn)很好的打擊效果,但在實(shí)際工程應(yīng)用中,制導(dǎo)炮彈不可避免地會受到各種擾動的影響,飛行中受到風(fēng)、溫度、氣流變化等外界因素的干擾和空氣動力變化的影響,同時導(dǎo)引頭/慣導(dǎo)的測量信息和估計(jì)信號存在偏差和噪聲,在這些干擾和攝動的作用下,彈目運(yùn)動方程不可避免地存在著參數(shù)的不確定性[8],這種情況單純使用最優(yōu)制導(dǎo)律會發(fā)生較大且不可估計(jì)的誤差,所以為了增強(qiáng)最優(yōu)末制導(dǎo)律的魯棒性,在最優(yōu)末制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上引入滑模變結(jié)構(gòu)控制理論。

1 動力學(xué)模型

本文研究的制導(dǎo)炮彈的攻擊目標(biāo)一般為靜止或運(yùn)動速度不超過25 m/s,所以本文中假設(shè)目標(biāo)靜止,以末制導(dǎo)階段開始時刻制導(dǎo)炮彈M在目標(biāo)T所在水平面內(nèi)投影點(diǎn)為原點(diǎn)O,投影線為Oy軸,原點(diǎn)與目標(biāo)的連線為Ox軸,彈目相對幾何關(guān)系如圖1所示[9],圖中,r為彈目相對視線距離;v,a分別為制導(dǎo)炮彈的速度和加速度;θ為俯仰角;σ為導(dǎo)引頭視線角;q為彈目視線連線角;θf為末端約束角。

根據(jù)圖1彈目基本關(guān)系,可得非線性運(yùn)動學(xué)方程組[10]:

(1)

制導(dǎo)炮彈的狀態(tài)方程一般可用狀態(tài)空間方程組表示:

(2)

式中:x=(x1x2…xn)T,表示狀態(tài)矩陣;A,B為系數(shù)矩陣;u為控制矩陣。

圖1 彈目基本幾何關(guān)系

本文取狀態(tài)變量為:x1=σ,x2=θ;控制變量為:u=a,假設(shè)σ很小,且σ<π/2,(t∈[t0,tf]),其中,t0為末制導(dǎo)開始時刻,tf為末制導(dǎo)結(jié)束時刻,通常取t0=0,tf即為末制導(dǎo)時間。將狀態(tài)變量轉(zhuǎn)化為對彈目相對距離的函數(shù),可得到狀態(tài)方程:

(3)

假設(shè)初始時刻t=0的狀態(tài)量為r=r0，末端時刻t=tf時,r=0,則以r為變量,彈目相對距離的邊界條件為

x1(r0)=σ0,x2(r0)=θ0,x1(0)=σf,x2(0)=θf

(4)

式中:r0為狀態(tài)量,下標(biāo)0表示初始時刻狀態(tài)值,f表示末端時刻狀態(tài)值。

2 剩余行程加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)法

制導(dǎo)炮彈末制導(dǎo)段炮彈法向過載與攻角之間近似滿足關(guān)系式[11]:

ny=(v/g)a4α

(5)

式中:α為攻角,a4為系數(shù)。

從式(5)中可看出過載與攻角成正比。本文在小攻角的情況下進(jìn)行研究。一般帶落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律的加速度指令基本呈線性變化,制導(dǎo)開始一瞬間或擊中目標(biāo)瞬間加速度指令達(dá)到最大。將距離權(quán)數(shù)的倒數(shù)加入到性能指標(biāo)方程中,可使制導(dǎo)在開始階段的加速度指令增大。所以最優(yōu)制導(dǎo)指令中加入權(quán)函數(shù)后加速度先增大后減小,最后慢慢收斂到0,隨之攻角也收斂到0。

將距離加權(quán)函數(shù)加入到最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)過程中,通過改變權(quán)數(shù)改變制導(dǎo)炮彈的運(yùn)動軌跡、運(yùn)動時間,改變制導(dǎo)結(jié)果。

能量最優(yōu)的性能指標(biāo)方程:

(6)

式中:M(r)表示正權(quán)函數(shù)。

M(r)=1/rN

(7)

式中:N≥0,表示制導(dǎo)增益,即權(quán)數(shù)。

用變分法求解[12]。構(gòu)造哈密頓函數(shù):

(8)

式中:λ1,λ2表示共態(tài)變量。

協(xié)態(tài)方程:

(9)

極值條件:

-?H/?u=a/rN-λ1/v2-λ2/v2=0

(10)

末端約束方程:

ψ[x(tf),tf]=x2(tf)-θf=0

(11)

橫截條件:

(12)

式中:γ1,γ2為待定拉格朗日乘子,不變分。

結(jié)合式(9)和式(12)得:

λ1=γ3r,λ2=γ2

(13)

式中:γ3為關(guān)于r的待定函數(shù)。

將式(13)代入式(2)積分,得到σ,θ表達(dá)式,再分別代入式(4)的初態(tài)、末態(tài),可得到γ2,γ3表達(dá)式,將其代入式(10)整理得[7]:

(14)

tgo=r/(vcosσ)≈r/v

(15)

式中:tgo表示剩余制導(dǎo)時間。

將式(15)代入式(13)得:

(16)

3 分段制導(dǎo)

加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律中,增大權(quán)數(shù)可以使制導(dǎo)炮彈的軌跡明顯變彎曲,制導(dǎo)時間加長,給制導(dǎo)更多的時間與運(yùn)動范圍,使制導(dǎo)精度增大。但是由于制導(dǎo)炮彈與導(dǎo)引頭本身的特性限制,軌跡過于彎曲會引起過載超載以及導(dǎo)引頭視線丟失,導(dǎo)致制導(dǎo)失敗[13]。所以,為了既滿足過載與導(dǎo)引頭視線角的約束又增強(qiáng)制導(dǎo)效果,本文采用分段制導(dǎo)法,加入權(quán)函數(shù)之后,加速度以及導(dǎo)引頭視線角在初始階段達(dá)到最大再逐漸收斂到0。最大值在前期達(dá)到,所以先采用小的權(quán)數(shù)的制導(dǎo)律,滿足過載以及導(dǎo)引頭視線角約束,后期再轉(zhuǎn)換成大的權(quán)數(shù),提高制導(dǎo)精度:

(17)

式中:N1,N2分別代表制導(dǎo)過程中不同階段的不同權(quán)數(shù);rc為末制導(dǎo)律轉(zhuǎn)化點(diǎn),即r=rc時轉(zhuǎn)換末制導(dǎo)律。

為了不同權(quán)數(shù)的制導(dǎo)律轉(zhuǎn)換的平滑性,設(shè)2個權(quán)數(shù)不同的制導(dǎo)律過載相等的點(diǎn)為轉(zhuǎn)換點(diǎn),即aN1(rc)=aN2(rc)。

4 加權(quán)最優(yōu)滑模制導(dǎo)律

最優(yōu)制導(dǎo)律在理論上可以很好地滿足制導(dǎo)精度,但是在制導(dǎo)炮彈的實(shí)際工作中,由于制導(dǎo)環(huán)境的不確定性,制導(dǎo)過程中或多或少存在一定的干擾,所以為增強(qiáng)制導(dǎo)炮彈的魯棒性,在最優(yōu)控制理論基礎(chǔ)上加入滑?？刂撇呗运枷?構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕Ｆ矫婧挖吔?得到一種既滿足脫靶量、落角等多約束條件又有較強(qiáng)魯棒性的最優(yōu)滑模制導(dǎo)律[14]。

(18)

式中:k1為常數(shù)。將式(14)代入式(2)得到:

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[15],構(gòu)造最優(yōu)滑模趨近律的一般模式:

(20)

式中:ε為趨近律微分方程中的系數(shù)。

將式(14)、式(17)代入式(2)得:

(21)

下面根據(jù)Lyapunov理論證明所推導(dǎo)制導(dǎo)律的穩(wěn)定性[13]。要使s→0,設(shè)v=s2/2,

(22)

因?yàn)閤1,x2有界,所以設(shè)|x1x2|≤Δ6,θ,|x2|≤Δθ,等式右邊第二項(xiàng)一定不小于0,所以有:

(23)

ε<-[(N+2)(N+3)Δ6,θ]/(vΔθ)

(24)

5 模擬仿真

5.1 不同權(quán)數(shù)的最優(yōu)制導(dǎo)律

取權(quán)數(shù)N為0～4進(jìn)行對比仿真,初始條件下,制導(dǎo)炮彈速度為300 m/s,相對末制導(dǎo)初始時刻制導(dǎo)炮彈相對坐標(biāo)為(0,3 000)(單位:m),目標(biāo)相對坐標(biāo)為(5 000,0)(單位:m),初始彈道角θ0=0°,末端落角約束θf=-75°,仿真結(jié)果如表1和圖2～圖4所示。

表1 不同權(quán)數(shù)最優(yōu)制導(dǎo)律的制導(dǎo)效果

圖2 不同權(quán)數(shù)制導(dǎo)炮彈運(yùn)動軌跡

從表1可以看出,隨著權(quán)數(shù)的增大,制導(dǎo)時間增長,制導(dǎo)精度增加,脫靶量明顯減小。從圖2可以看出,隨著權(quán)數(shù)的增大,制導(dǎo)炮彈的運(yùn)動軌跡越來越彎曲。由圖3、圖4可看出,隨著權(quán)數(shù)的增大,導(dǎo)引頭視線角與過載越來越大。在實(shí)際應(yīng)用中,導(dǎo)引頭最大視線角與制導(dǎo)炮彈可用過載都是有限制的。可用過載為加速度除以重力加速度,本文定義約束分別為σmax=π/2和ny,max=5。有了約束的限制,權(quán)數(shù)的選擇就有了限制。為了既加強(qiáng)制導(dǎo)精度又滿足約束限制,可采用分段制導(dǎo)律。

圖3 不同權(quán)數(shù)制導(dǎo)炮彈的導(dǎo)引頭視線角

圖4 不同權(quán)數(shù)制導(dǎo)炮彈的過載

5.2 分段制導(dǎo)律

由圖2、圖3可看出,視線角與過載均先增大,在前期達(dá)到最大值后逐漸遞減到0,所以為滿足過載以及導(dǎo)引頭視線角約束,采用分段制導(dǎo),在前段采用過載與視線角均在約束范圍內(nèi)的權(quán)數(shù)較小的制導(dǎo)律,當(dāng)過載與視線角減小足夠的小值后,轉(zhuǎn)換為權(quán)數(shù)較大的制導(dǎo)律。初始條件見5.1,仿真結(jié)果如表2及圖5～圖8所示。

表2 不同制導(dǎo)律在干擾下的制導(dǎo)效果

圖5 不同權(quán)數(shù)及分段制導(dǎo)律的軌跡對比

圖6 不同權(quán)數(shù)及分段制導(dǎo)律的過載對比

圖7 不同權(quán)數(shù)及分段制導(dǎo)律的導(dǎo)引頭視線角對比

圖8 不同權(quán)數(shù)及分段制導(dǎo)律的彈道傾角對比

從圖5可以看出,在制導(dǎo)律轉(zhuǎn)換點(diǎn)明顯存在彎曲,弧度變大。由圖6、圖7可以得出,在轉(zhuǎn)換點(diǎn)加速度與視線角均增大,但是由于基數(shù)小,變化后依然在允許范圍內(nèi)。由圖8可知,在轉(zhuǎn)換制導(dǎo)律后,依然可以很好地達(dá)到落角約束。

5.3 滑模最優(yōu)分段制導(dǎo)律

圖9 干擾下不同制導(dǎo)律過載對比

由圖9可以看出,在高斯白噪聲的干擾下,滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律的過載曲線相對更圓滑,即制導(dǎo)更加穩(wěn)定;由表2可知,滑膜最優(yōu)末制導(dǎo)律的脫靶量與落角均優(yōu)于最優(yōu)末制導(dǎo)律,魯棒性增強(qiáng)。

6 結(jié)束語

本文為穩(wěn)定末制導(dǎo)律的制導(dǎo)效果,在末制導(dǎo)過程中考慮導(dǎo)引頭視線角約束與過載約束,在加權(quán)最優(yōu)末制導(dǎo)律上加入分段制導(dǎo)思想,實(shí)現(xiàn)約束。經(jīng)仿真可看出,本文推導(dǎo)的分段制導(dǎo)可以達(dá)到既滿足視線角與可用過載的約束又增加精確度的要求。針對最優(yōu)末制導(dǎo)律魯棒性較差的不足,結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制理論,在設(shè)計(jì)推導(dǎo)過程中加入了滑模項(xiàng),使制導(dǎo)律具有魯棒性,仿真結(jié)果也驗(yàn)證了其良好的魯棒性。