股指波動(dòng)率尺度行為演化的研究

孫 鵬，翁同峰，楊會(huì)杰

（1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433）

有效市場(chǎng)假說作為現(xiàn)代金融學(xué)的基石，極大地推動(dòng)了金融理論的發(fā)展，并對(duì)金融實(shí)踐有著深刻的指導(dǎo)意義。人們從海量的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，金融市場(chǎng)不是完全隨機(jī)的，而是具有長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)（分形）結(jié)構(gòu)，從而提出了分形市場(chǎng)理論。時(shí)間序列的分形結(jié)構(gòu)表明，復(fù)雜系統(tǒng)在不同的時(shí)間尺度上滿足相同的規(guī)律，體現(xiàn)為某些統(tǒng)計(jì)量的尺度不變性。

1 研究現(xiàn)狀和存在的問題

Mantegna等[1]首次將尺度不變性方法引入經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析中。一個(gè)股指的價(jià)格序列其波動(dòng)率序列可定義為

其中，xm表示的是與s時(shí)間單位之前的股指價(jià)格相比，現(xiàn)在的股指價(jià)格波動(dòng)率。比如，對(duì)于5 min的股指價(jià)格序列，如果選擇s=48，就會(huì)產(chǎn)生相對(duì)于一個(gè)交易日之前的股指價(jià)格的波動(dòng)率序列。如果X(s)是平穩(wěn)序列，并且長(zhǎng)度N趨近于無窮，那么，它的統(tǒng)計(jì)特性可由概率密度函數(shù)來準(zhǔn)確描述。如果序列X(s)的概率密度函數(shù)P(x,s))滿足如下形式：

在有效市場(chǎng)中，概率密度函數(shù)P(x,s)滿足高斯分布，即尺度指數(shù)δ=0.5。然而，在實(shí)際中通常觀察到δ,0.5。如果δ>0.5，則表明時(shí)間序列存在長(zhǎng)期記憶性，即當(dāng)上一個(gè)時(shí)刻的波動(dòng)率是上升（下降）的，則下一個(gè)時(shí)刻上升（下降）的可能性比較大。如果δ<0.5，則表明時(shí)間序列存在反持續(xù)性，即波動(dòng)率高頻率地震蕩。從而可以利用尺度指數(shù)δ對(duì)股票市場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。問題的關(guān)鍵是如何估計(jì)這個(gè)尺度指數(shù)。

作為提取尺度自相似結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)方法，基于方差的分析如小波變換模極大值（wavelet transformation modulus maxima，WTMM）[3-6]和趨勢(shì)消除波動(dòng)分析（detrended fluctuation analysis，DFA）[7-10]，在文獻(xiàn)中被廣泛使用。而方差分析法具有以下2個(gè)局限性：

a.這種方法是依賴于動(dòng)力學(xué)機(jī)制的。用H來表示采用方差分析法得到的尺度指數(shù)的估計(jì)值。對(duì)于一個(gè)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)過程，可以觀察到H=δ的關(guān)系，也就是說尺度不變性可以被正確地探測(cè)到并被估計(jì)出來。然而對(duì)于一個(gè)列維過程，存在關(guān)系也就是說尺度不變性可以被定性地探測(cè)出來，但是，定量估計(jì)不正確。對(duì)于列維過程，隨著尺度增加，理論上的方差序列發(fā)散，用實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)出來的不滿足冪律關(guān)系。

b.這種方法一般都需要很長(zhǎng)的時(shí)間序列。大量的研究表明，利用DFA和WTMM去估計(jì)尺度指數(shù)的時(shí)候，時(shí)間序列的長(zhǎng)度至少要分別達(dá)到213[11]和214[12]才能得到 δ的可靠估計(jì)。至于重標(biāo)漲落分析法（R/S），時(shí)間序列長(zhǎng)度達(dá)到 216[13]，也不能保證能夠得到滿意的結(jié)果。

2002年，Scafetta等[14]提出了擴(kuò)散熵（diffusion entropy，DE）的概念以解決依賴于動(dòng)力學(xué)機(jī)制的問題。這一方法利用概率分布函數(shù)計(jì)算熵，考察熵和尺度的關(guān)系，而不再考察方差與尺度的關(guān)系。簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得到，熵與尺度的自然對(duì)數(shù)滿足線性關(guān)系，其斜率就是尺度指數(shù)的無偏估計(jì)。無論對(duì)于哪種動(dòng)力學(xué)機(jī)制產(chǎn)生的時(shí)間序列，擴(kuò)散熵方法都是行之有效的。然而，大量的研究表明[15-22]，利用擴(kuò)散熵方法估計(jì)尺度指數(shù)需要比較長(zhǎng)的時(shí)間序列。為了解決短序列的估計(jì)問題，Bonachela等[23]提出了熵的平衡估計(jì)量方法。這種方法的主要思想是使統(tǒng)計(jì)誤差（fluctuation）及系統(tǒng)誤差（bias）同時(shí)最小。然而，在推導(dǎo)過程中，明顯的限制條件1通常被忽略。通過添加這個(gè)限制條件，Pan等將熵的平衡估計(jì)量方法改進(jìn)成了新的版本，即相關(guān)依賴的平衡擴(kuò)散熵（CBEDE）[24-26]。大量的模擬實(shí)驗(yàn)表明，CBEDE方法可以很好地估計(jì)短序列的尺度不變性[25]（序列長(zhǎng)度只有幾百）。本文采用這一方法探究股指波動(dòng)率序列的尺度不變性行為的演化過程。將中國(guó)股市上4個(gè)重要的股指從2014年1月9日到2017年1月5日的波動(dòng)率序列分為10個(gè)交易日為一個(gè)小段，一個(gè)交易日為一個(gè)步長(zhǎng)。并且利用CBEDE方法估計(jì)每個(gè)小段的尺度指數(shù)，作為相應(yīng)時(shí)間的局部尺度行為的衡量。研究發(fā)現(xiàn)，在一定的時(shí)間范圍內(nèi)，股指波動(dòng)率序列表現(xiàn)出尺度不變性特征。有趣的是，與中國(guó)股票市場(chǎng)中的重大事件發(fā)生相對(duì)應(yīng)的平滑后的尺度指數(shù)曲線部分具有十分顯著的特征，如或先下降隨后上升，或上升，或下降。

2 研究方法

如果股指波動(dòng)率序列滿足尺度不變性，此時(shí)該序列的擴(kuò)散熵E滿足

式中，ni，（i=1，2，…，10）為間接影響因素對(duì) f的影響程度，ni≤1；ti（i=1，2，…，10）為間接影響因素對(duì)f的影響程度權(quán)重系數(shù)，其中Σti=1。

利用滑動(dòng)平均法使波動(dòng)率序列X(s)平穩(wěn)[25]，即讓長(zhǎng)度為s的窗口沿著序列X(s)滑動(dòng)。將窗口覆蓋的元素的平均值1，作為窗口中間元素的趨勢(shì)。從最初的序列中去除趨勢(shì)，就得到了去趨勢(shì)的序列

利用CBEDE方法得到擴(kuò)散熵的可靠估計(jì)。首先將Z(s)={zm,m=1,2,···,N?2s+1}的分布范圍分成M(s)段，然后計(jì)算每段內(nèi)元素出現(xiàn)的個(gè)數(shù)，用向量n={n1,n2,···,nM(s)}表示。如果每段的發(fā)生概率為p={p1,p1,···,pM(s)}，那么，n的概率分布函數(shù)Q(n,p)可以用如下的多項(xiàng)式分布函數(shù)來描述：

CBEDE方法的主要思想是要平衡統(tǒng)計(jì)誤差和系統(tǒng)誤差，從而使兩者都被接受。如果擴(kuò)散熵的估計(jì)量為那么，統(tǒng)計(jì)誤差和系統(tǒng)誤差為

經(jīng)過一系列的計(jì)算，得到

將式（9）稱為擴(kuò)散熵的相關(guān)依賴平衡估計(jì)（CBEDE）。

綜上所述，CBEDE算法步驟如下[27-28]：

第2步消除波動(dòng)率序列X（s）的趨勢(shì)，進(jìn)一步得到去趨勢(shì)序列Z（s）；

第3步將去趨勢(shì)序列Z（s）分割成許多段。每段尺度選擇為波動(dòng)率序列X（48）的標(biāo)準(zhǔn)差（std）的分形維數(shù)，適當(dāng)選取窗口長(zhǎng)度 ε能夠保證尺度指數(shù)獨(dú)立于 ε，這里選擇 ε=2，可以計(jì)算出每段中出現(xiàn)的Z（s）元素的個(gè)數(shù)；

第4步用式（9）去估計(jì)相關(guān)依賴的平衡擴(kuò)散熵，用S（s）表示；

第5步重復(fù)上述4個(gè)步驟，選取 ε正比于Z（s）的標(biāo)準(zhǔn)差，得到擴(kuò)散熵的估計(jì)值

第6步用s=1,2,···進(jìn)行迭代，得到的關(guān)系曲線，可以估計(jì)出尺度行為。

3 數(shù) 據(jù)

以中國(guó)股票市場(chǎng)上4個(gè)重要的股指的波動(dòng)率序列為研究對(duì)象，4個(gè)股指分別為：上證綜合指數(shù)（SSE Composite Index）、滬深 300 指數(shù)（CSI 300 Index）、中證小盤 500 指數(shù)（ CSI SmallCap 500 Index）和上證 50 指數(shù)（SSE 50 Index）。時(shí)間跨度為2014年1月9日到2017年1月5日，共3年。

圖1為上證綜指的價(jià)格和波動(dòng)率變化圖，T為時(shí)間（5 min），P為價(jià)格，V為波動(dòng)率。上證綜指的價(jià)格分布很寬，其范圍為[1 991.25，5 166.35]，它是一個(gè)具有多峰的復(fù)雜形狀。表1展示了2014—2016年中國(guó)股市的3次重要事件。

圖1 上證綜指的價(jià)格和波動(dòng)率變化圖Fig.1 Figure of price and volatility changes of SSE Composite Index

表1 2014—2016年中國(guó)股市重要事件Tab.1 Famous events in China's stock market, 2014—2016

4 結(jié) 果

讓覆蓋10個(gè)交易日的窗口沿著波動(dòng)率序列滑動(dòng)，滑動(dòng)步長(zhǎng)為一個(gè)交易日。然后計(jì)算每個(gè)片段的可以得到與 lns的關(guān)系曲線，圖2為上證綜指的8個(gè)典型片段（編號(hào)為的結(jié)果。研究發(fā)現(xiàn)，每一條曲線在大的尺度范圍內(nèi)都是直線，相應(yīng)的片段表現(xiàn)出了尺度不變性的特征，即中國(guó)股票市場(chǎng)不是有效市場(chǎng)。

圖3為上證綜合指數(shù)、滬深300指數(shù)、中證小盤500指數(shù)和上證50指數(shù)4只股指的尺度行為演化過程，T為時(shí)間（5 min）， δ為尺度指數(shù)，灰色圓圈為股指的尺度指數(shù)，藍(lán)色曲線為傅里葉平滑后的曲線。每一個(gè)十個(gè)交易日片段的尺度指數(shù)在它的第一天被表示。例如， τ日的尺度指數(shù)對(duì)應(yīng)的是開始于 τ日的十個(gè)交易日片段?？梢园l(fā)現(xiàn)，尺度指數(shù)在0.44～1.02很寬的范圍內(nèi)變化。總體來說，δ的大部分值顯著大于整個(gè)序列的尺度值。隨著時(shí)間的推移， δ出現(xiàn)了一些高峰和低谷，即各個(gè)股指的演化過程在不同尺度上表現(xiàn)出了豐富的特征。

圖3 4只股指的尺度行為的演化Fig.3 Evolution of the scale behaviors of four stock indexes

如圖3所示，很有意思的是找到了表2所展示的中國(guó)股市的重要事件和股指尺度行為之間的可能的關(guān)系。為了顯示事件的影響，本文考慮了以事件發(fā)生的當(dāng)天為中心的10個(gè)交易日長(zhǎng)度的尺度指數(shù)曲線，可以找到與事件對(duì)應(yīng)的曲線部分具有十分明顯的特征。比如，在瘋牛階段，上證綜指、滬深300指數(shù)、中證500指數(shù)和上證50指數(shù)的尺度指數(shù)曲線都是先下降隨后又上升。股災(zāi)1.0的時(shí)候，4只股指的尺度指數(shù)曲線都是上升的。而股災(zāi)2.0的時(shí)候，4只股指的尺度指數(shù)曲線都是下降的。中國(guó)股市在瘋牛階段之前，長(zhǎng)期處于低迷中，一直徘徊在2 000點(diǎn)左右，2014年11月21日晚間的降息政策讓市場(chǎng)為之一振，使投資者相信股市即將上漲，所以， δ處于高位，中國(guó)股市的預(yù)測(cè)性很強(qiáng)。但是，有些投資者認(rèn)為基本面無法支撐牛市，因?yàn)椋珿DP增速仍在下滑，領(lǐng)先經(jīng)濟(jì)指標(biāo)如采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)和貿(mào)易進(jìn)出口等數(shù)據(jù)并不令人滿意，市場(chǎng)中出現(xiàn)了分歧，所以， δ開始下降。然而，進(jìn)入2015年，在“改革?！?、“國(guó)家牛”等口號(hào)的鼓吹下，投資者的信心暴漲，從而推動(dòng)大量資金涌入，繼續(xù)推高股指，不斷上漲的指數(shù)又刺激更多資金跟進(jìn)，“一致性”的牛市預(yù)期持續(xù)強(qiáng)化，所以， δ一路上升，中國(guó)股市的預(yù)測(cè)性進(jìn)一步加強(qiáng)。如圖3所示，在瘋牛階段，上證綜指、滬深300和上證50的尺度行為的演化曲線的凹度明顯，而中證500的尺度行為曲線凹度不明顯，本文認(rèn)為，在評(píng)價(jià)中國(guó)股市的時(shí)候，應(yīng)選取上證綜指、滬深300和上證50作為參照物。

5 結(jié) 論

金融市場(chǎng)的尺度行為因其在復(fù)雜系統(tǒng)理論中的可能應(yīng)用而備受關(guān)注。然而，所有評(píng)價(jià)時(shí)間序列尺度行為的標(biāo)準(zhǔn)工具都是基于概率論的思想，而概率論需要大量數(shù)據(jù)的支持。隨著時(shí)間的推移，尺度行為會(huì)逐漸演化。本文利用相關(guān)依賴的平衡擴(kuò)散熵方法來研究中國(guó)股票市場(chǎng)上4個(gè)重要的股指的波動(dòng)率序列的尺度行為及其演化過程。研究發(fā)現(xiàn)，股指波動(dòng)率序列的每個(gè)部分都存在尺度不變性，它們?cè)谘莼^程中的不同時(shí)間尺度上具有豐富的特征。如果提取與中國(guó)股票市場(chǎng)上重要事件相對(duì)應(yīng)的股指尺度行為曲線，則可以發(fā)現(xiàn)，曲線具有十分顯著的特征，如先下降隨后上升，或上升，或下降。這些特征可用來定量描述金融事件以及金融事件之間的區(qū)別，希望對(duì)進(jìn)一步研究金融系統(tǒng)的演化行為有一定的幫助。