基于Haar小波與ARIMAX模型進(jìn)行短期負(fù)荷預(yù)測

黨亞崢，徐騰飛，高 巖

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

隨著我國電力供給改革的進(jìn)一步深化，電力供給方式出現(xiàn)多樣化發(fā)展，其中，最具潛力的就是電力競標(biāo)，而電力競標(biāo)的依據(jù)之一就是短期負(fù)荷預(yù)測。短期負(fù)荷預(yù)測的精度直接影響到電網(wǎng)管理系統(tǒng)的規(guī)劃、調(diào)度，甚至電網(wǎng)的安全性和運(yùn)營能力，始終是電力系統(tǒng)研究的一個(gè)重點(diǎn)[1-2]。

由于電力負(fù)荷對(duì)天氣、線路規(guī)劃、政策以及電力系統(tǒng)運(yùn)行等外部環(huán)境敏感，使得電力負(fù)荷預(yù)測的難度要比電力價(jià)格預(yù)測的高。但是，鑒于負(fù)荷與電價(jià)的高度相關(guān)性，許多用以預(yù)測電價(jià)的方法能在預(yù)測負(fù)荷方面使用[3-5]。較為流行的方法是將經(jīng)典 ARIMA（auto regressive integrated moving average）預(yù)測模型[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7-8]與小波分析法[9]進(jìn)行有機(jī)組合。采用經(jīng)典ARIMA預(yù)測模型對(duì)已經(jīng)進(jìn)行小波降噪處理的電力負(fù)荷值進(jìn)行預(yù)測，雖比單一使用ARIMA預(yù)測的精度高，但沒有考慮到電價(jià)信息對(duì)電力負(fù)荷的潛在影響，將部分屬于電價(jià)信息的因素作為噪聲進(jìn)行了消除[10-11]。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural network）預(yù)測方法對(duì)電力負(fù)荷進(jìn)行小波變換后的序列值進(jìn)行預(yù)測，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于過度依賴人為調(diào)節(jié)閾值，使得環(huán)境的適應(yīng)性較低[12-13]。其他研究都充分利用了小波分析在處理時(shí)間與頻率信息、聚焦峰值與細(xì)節(jié)方面的優(yōu)異性能，使得處理信息丟失少，這種對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理能力會(huì)隨著研究的深入而逐步增強(qiáng)[14-16]。

本文憑借小波分析適應(yīng)非平穩(wěn)信號(hào)程度高、對(duì)時(shí)域和頻域的多尺度刻畫精細(xì)等優(yōu)點(diǎn)，充分利用ARIMAX模型對(duì)被解釋變量滯后值的解釋能力強(qiáng)的特性，加入電價(jià)信息序列，構(gòu)建新的W-ARIMAX模型預(yù)測方案。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 小波分析

小波分析基于傅里葉變換，具有對(duì)局部分析能力強(qiáng)、非平穩(wěn)序列擬合程度高、時(shí)頻多、分辨率高的優(yōu)點(diǎn)，且對(duì)環(huán)境的自適應(yīng)度高，應(yīng)用廣泛[17-18]。小波定義：在能量有限的空間中，滿足變換條件（式（1）），則稱為小波。

小波的逆變換

在對(duì)歷史電價(jià)、負(fù)荷序列分解測試中，比較Mexico草帽小波、Daubechies法、Mallat法與Haar小波法，采用對(duì)數(shù)據(jù)平滑趨向擬合較好的方法，本文優(yōu)選出Haar正交小波作為分解工具[19-20]。同時(shí)，由于每一層分解都會(huì)產(chǎn)生誤差，分解層數(shù)越多，誤差越大，預(yù)測精度也會(huì)越低。對(duì)電價(jià)的分解層數(shù)進(jìn)行論證，分解一層為宜[21-22]，本文支持該論斷。

1.2 ARIMAX模型理論

在隨機(jī)序列中，對(duì)其單位根檢驗(yàn)結(jié)果不能顯著拒絕原假設(shè)，說明存在單位根，是非平穩(wěn)序列。顯然，電價(jià)與負(fù)荷均是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，電價(jià)與負(fù)荷序列在時(shí)間上有密切的正相關(guān)均衡關(guān)系，本文對(duì)歷史電價(jià)與負(fù)荷進(jìn)行整協(xié)檢驗(yàn)，并未出現(xiàn)虛假回歸問題，證實(shí)含有電價(jià)信息與負(fù)荷信息確實(shí)可以構(gòu)成ARIMAX模型對(duì)負(fù)荷預(yù)測。

而ARIMAX模型的構(gòu)成單元是ARIMA（ autoregressive integrated moving average model） 模型，且ARIMA經(jīng)過差分d，平穩(wěn)化處理后即為ARMA。ARMA模型為

式中：xt為序列值；是均值為0的隨機(jī)干擾序列；與是時(shí)間序列xt的未知數(shù)參數(shù)；p為自回歸階數(shù)；q為移動(dòng)平均階數(shù)。

ARIMAX模型需要對(duì)參數(shù)p，d，q進(jìn)行優(yōu)選定參，主要方法是AIC法與BIC法[23]。AIC法是指提取觀測值最大信息量后產(chǎn)生的下降至最小，以此定參數(shù)，但需要已知白噪聲的概率分布，這種基于先驗(yàn)論的方法進(jìn)行定階就會(huì)出現(xiàn)偏誤。理論已經(jīng)證明，樣本數(shù)量長度的無限變大，其計(jì)算值不會(huì)越來越接近真實(shí)值；BIC法是對(duì)前者的改進(jìn)，強(qiáng)調(diào)模型高階數(shù)與低階數(shù)的影響權(quán)重，但因權(quán)重大小會(huì)引起區(qū)間震蕩，在波動(dòng)性很強(qiáng)的領(lǐng)域，如電價(jià)與負(fù)荷，單一采用BIC法會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的偏離值。因此，本文首先采用AIC法約定數(shù)個(gè)階數(shù)，再采用BIC法核定階數(shù)，選出最優(yōu)階數(shù)用來預(yù)測負(fù)荷。

2 短期負(fù)荷預(yù)測的W-ARIMAX模型

2.1 W-ARIMAX模型思想

小波分析是對(duì)周期電價(jià)、負(fù)荷序列進(jìn)行多頻率的分解與重構(gòu)，將電價(jià)、負(fù)荷的低頻部分作為函數(shù)的近似，是概貌信息序列；將電價(jià)、負(fù)荷的高頻部分作為函數(shù)的分量，是細(xì)節(jié)信息序列。從信號(hào)角度分析，將后者分離屬于“降噪”過程。去噪后的電價(jià)、負(fù)荷概貌信息序列，采用ARIMAX模型可以大致預(yù)測出負(fù)荷的未來值，但是，由于初始信息被剝離一層，因此，需要細(xì)節(jié)信息序列來補(bǔ)充。這兩者采用ARIMAX模型均是基于小波分析（wavelet analysis）為前提，故本文命名為“WARIMAX”模型。

W-ARIMAX預(yù)測方案：首先，將電力負(fù)荷與電力價(jià)格的混合模塊信息帶進(jìn)行小波分解，得到時(shí)域的概貌信息序列與頻域的細(xì)節(jié)信息序列；其次，對(duì)兩者的概貌與細(xì)節(jié)分別進(jìn)行協(xié)同ARIMAX模型預(yù)測，得出短期負(fù)荷概貌與細(xì)節(jié)的預(yù)測值；然后，將兩組擁有電價(jià)信息的預(yù)測值進(jìn)行小波重構(gòu)，得出最終的短期負(fù)荷預(yù)測值；最后，運(yùn)用本文構(gòu)建的 W-ARIMAX模型對(duì)PJM（Pennsylvania New Jersey Maryland）公司的歷史電力負(fù)荷值進(jìn)行預(yù)測。建模過程中驗(yàn)證了對(duì)負(fù)荷和電價(jià)的最優(yōu)小波分解層數(shù)是1，對(duì)多變量參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化是必要的，負(fù)荷分解后進(jìn)行單一預(yù)測會(huì)產(chǎn)生較大偏誤。研究表明，W-ARIMAX模型預(yù)測方案可以提高短期負(fù)荷預(yù)測精度。

2.2 W-ARIMAX模型步驟與流程圖

W-ARIMAX模型需要對(duì)非平穩(wěn)的電價(jià)、負(fù)荷時(shí)間序列實(shí)施小波分解，然后以電價(jià)作為自變量，以負(fù)荷作為因變量，依靠歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行短期負(fù)荷預(yù)測。其建模流程如圖1所示。建模步驟：

a.對(duì)歷史電價(jià)、負(fù)荷分別進(jìn)行自相關(guān)（AIC）與偏自相關(guān)（PAC）檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)（證明兩者不是白噪聲序列）后進(jìn)行下一步；

b.分別對(duì)歷史電價(jià)、負(fù)荷序列進(jìn)行二進(jìn)制的正交Haar連續(xù)小波分解，得到兩者的概貌信息序列與細(xì)節(jié)信息序列；

c.針對(duì)概貌信息序列，以歷史電價(jià)為自變量、負(fù)荷為因變量套用ARIMAX模型，首先識(shí)別兩者的相關(guān)性，然后優(yōu)選AIC法與BIC法定階數(shù)，建立回歸預(yù)測模型，對(duì)殘差序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，并預(yù)測未來負(fù)荷的概貌信息序列；

d.對(duì)細(xì)節(jié)信息序列仍使用ARIMAX模型，預(yù)測未來負(fù)荷的細(xì)節(jié)信息序列；

e.將負(fù)荷的概貌信息序列與細(xì)節(jié)信息序列預(yù)測值作為小波重構(gòu)，基函數(shù)仍為Haar小波。

圖1 W-ARIMAX模型流程Fig.1 Flow-process diagram of the W-ARIMAX model

3 算例證明

小波分析結(jié)合電價(jià)信息，構(gòu)建的W-ARIMAX模型對(duì)負(fù)荷值進(jìn)行預(yù)測，這一新的組合方法需要運(yùn)用實(shí)例證明。本文采用美國聯(lián)合PJM公司2017年1月的歷史電價(jià)、負(fù)荷。由于電價(jià)與負(fù)荷的單位以及體量值不同，本文將負(fù)荷數(shù)值縮小109倍，處理后的數(shù)值將不再帶有單位。數(shù)據(jù)可從官網(wǎng)下載，http://www.pjm.com/markets-andoperations/energy/real-time/monthlylmp.aspx，兩者的時(shí)間序列如圖2所示。t為時(shí)間，X為電價(jià)，Y為負(fù)荷。

圖2 電價(jià)和負(fù)荷時(shí)間序列折線圖Fig.2 Time series lines graph of the electricity price and load

首先，對(duì)歷史電價(jià)與負(fù)荷的時(shí)間序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果表明，兩者都有強(qiáng)的自相關(guān)和偏自相關(guān)，這是能對(duì)未來負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測的基礎(chǔ)。然后，分別利用Mexico草帽小波、Daubechies法、Mallat法和Haar小波法進(jìn)行分解與重構(gòu)，分別將每種方法模擬效果最佳的序列進(jìn)行比較，優(yōu)選Haar小波?；贖aar小波對(duì)歷史電價(jià)與負(fù)荷的時(shí)間序列進(jìn)行分解，分別得到兩者的概貌信息序列（aprox）與細(xì)節(jié)信息序列（detail），如圖3和圖4所示。

圖3 電價(jià)與負(fù)荷的概貌序列折線圖Fig.3 Low frequency sequence line graphs of the electricity price and load

對(duì)分解后的負(fù)荷概貌信息序列，加入電價(jià)概貌信息序列作為信息，構(gòu)建為概貌信息序列的WARIMAX模型，并且對(duì)參數(shù)進(jìn)行擇優(yōu)后，對(duì)未來3天的負(fù)荷概貌信息序列進(jìn)行預(yù)測，得到概貌模型與預(yù)測時(shí)序圖5。 概貌模型的差分為一階差分，步長為 24，移動(dòng)平均階數(shù)q：1?0.403 94B（1），自回歸階數(shù)p：1? 1.886 12B（1）+ 1.279 62B（2）? 0.482 04B（3）+0.217 31B（4） ? 0.213 56B（5）+ 0.067 31B（6）+0.110 31B（7）+ 0.075 29B（8）

其中，B(N)是指第N個(gè)參數(shù)。

對(duì)分解后的負(fù)荷細(xì)節(jié)信息序列，加入電價(jià)細(xì)節(jié)信息序列作為信息，構(gòu)建為細(xì)節(jié)信息序列的WARIMAX模型，對(duì)參數(shù)進(jìn)行擇優(yōu)后，對(duì)未來3天的負(fù)荷細(xì)節(jié)信息序列進(jìn)行預(yù)測，得到細(xì)節(jié)模型與預(yù)測時(shí)序圖6。細(xì)節(jié)模型的差分為一階差分，步長為24，自回歸階數(shù)p為

1? 0.459 97B（1） + 0.259 61B（2） + 0.045 26B（3） +0.077 74B（4） + 0.042 07B（5） + 0.011 98B（6） +0.063 74B（7） + 0.109 27B（8） + 0.021 09B（9） +0.014 38B（10） + 0.079 54B（11） ? 0.858 69B（12） +0.462 72B（13） ? 0.218 72B（14） + 0.046 43B（15）

圖4 電價(jià)與負(fù)荷的細(xì)節(jié)序列折線圖Fig.4 High frequency sequence line graphs of the electricity price and load

圖5 概貌序列預(yù)測折線圖Fig.5 Low frequency sequence forecast line graphs

圖6 細(xì)節(jié)序列預(yù)測折線圖Fig.6 High frequency sequence forecast line graphs

為了進(jìn)一步驗(yàn)證引入Haar小波分解對(duì)負(fù)荷預(yù)測效果的影響，本文構(gòu)造了基于小波的ARIMA模型（WARIMA模型），對(duì)未來負(fù)荷概貌信息序列與負(fù)荷細(xì)節(jié)信息序列的預(yù)測值進(jìn)行小波重構(gòu)，得到未來3天的負(fù)荷預(yù)測值，將含有電價(jià)信息和小波分析ARIMAX模型的預(yù)測結(jié)果（W-ARIMAX）、不含有電價(jià)信息與小波分析的經(jīng)典ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果（ARIMA）、不含有電價(jià)信息（含有小波分析）的經(jīng)典ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果（W-ARIMA）同真實(shí)負(fù)荷值（Real）進(jìn)行比對(duì)，如表1所示，并輸出直觀的3種模型預(yù)測時(shí)序同真實(shí)值的對(duì)比，如圖7所示。

圖7 3種模型的預(yù)測時(shí)序同真實(shí)值的對(duì)比圖Fig.7 Comparison of the predicted time series by the three models with the real values

表1 3種預(yù)測方法輸出值與真實(shí)值Tab.1 Output values of the three forecasting methods and real values

4 結(jié) 論

a.選用Haar小波作為小波分解的基，模型在定階過程中，先采用AIC法定出p與q，并且比對(duì)BIC法定出的p與q，在有限的幾組參數(shù)中選取最佳值，既提高了精確度，又節(jié)省了調(diào)參時(shí)間，預(yù)測效率明顯提高。

b.在ARIMA 模型、W-ARIMA 模型、W-ARIMAX模型預(yù)測值對(duì)比過程中發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建的含有電價(jià)信息的W-ARIMAX模型，豐富了數(shù)據(jù)信息，彌補(bǔ)了兩次誤差序列丟失的信息，用該模型預(yù)測達(dá)到5.74%相對(duì)精度（7.1%絕對(duì)精度），比W-ARIMA模型的相對(duì)精度提高了3.59%（絕對(duì)精度提高了2.25%），更比經(jīng)典ARIMA模型的相對(duì)精度提高了10.23%（絕對(duì)精度提高了8.88%）。

c.從3個(gè)模型的預(yù)測序列圖中發(fā)現(xiàn)，在負(fù)荷趨勢走向明顯的情況下，新構(gòu)建的W-ARIMAX模型的擬合效果好，但出現(xiàn)尖峰時(shí)就會(huì)出現(xiàn)預(yù)測值爬升與回蕩乏力的情況，下一步工作需要構(gòu)建合適的動(dòng)量因子加以改善。