含參數(shù)“二次型”不等式恒成立問題的解法

江西省贛州市寧都中學(xué) 陳珊珊

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)板塊的重要組成部分，也是高考考查的一大熱點(diǎn)。命題時(shí)多與其他知識(shí)交匯融合，特別是含參類不等式問題，一直是高考重點(diǎn)考查的題型。此類問題的求解常常需結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，是高考的一大難點(diǎn)?！岸涡汀辈坏仁胶愠闪栴}一般都要轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。下面從三個(gè)方面來介紹含參數(shù)的“二次型”不等式的解法。

一、判別式法

分析：解決此類問題的常規(guī)思路是，先對(duì)不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行分類。當(dāng)a=0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)a≠0時(shí)，是一元二次不等式。

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式等價(jià)于-x-1≤0，解得x≥-1，此時(shí)不合題意，舍去；

評(píng)析：若所給變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)R，一般先對(duì)不等式中的參數(shù)進(jìn)行分類：若轉(zhuǎn)化為一次不等式，則肯定不滿足；若是二次不等式，則依據(jù)開口方向和判別式同時(shí)判定，列出需要滿足的條件，解不等式即可。

二、分離參數(shù)法

如果含參數(shù)的不等式中的參數(shù)和其余變量容易分離，那么常用方法是將參數(shù)放于不等式一邊，其余變量整體放于不等式另一邊，然后再研究含有其余變量的式子對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，以此求得參數(shù)的取值范圍。

三、變換主元，構(gòu)造新函數(shù)法

在很多的含參數(shù)二次不等式問題中，特別是當(dāng)參數(shù)最高次是一次時(shí)，我們通常將函數(shù)變量字母與參數(shù)字母“地位”對(duì)調(diào)，將式子變形為以參數(shù)為新變量的不等式，將二次函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)不等式來求解。

分析：這個(gè)不等式已知的是參數(shù)m的取值范圍，反而是求“常規(guī)變量”x的取值范圍，我們可以將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的“一次型”函數(shù)。那么把原來關(guān)于x的不等式恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量m的一次不等式恒成立問題，則只需滿足端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值恒小于0。

從以上解法可以看出，一般含參類不等式恒成立問題的處理方法大都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，這也是我們處理這類問題的常規(guī)思路。本文僅介紹了判別式法、分離參數(shù)法和變換主元，構(gòu)造新函數(shù)法三種解答方法。實(shí)際上，另外還有數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)性質(zhì)法、整體代換法、反證法等多種解法，需要大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)和練習(xí)中多歸納、多總結(jié)。