高中數(shù)學(xué)解題的幾個(gè)誤區(qū)

廣東省高州市第二中學(xué) 盧楚軍

從教高中數(shù)學(xué)多年，每學(xué)期初的第一節(jié)數(shù)學(xué)課，我給學(xué)生講的一句話就是：要解好一道數(shù)學(xué)題、一道高考題，除了要熟悉知識(shí)點(diǎn)和解題方法外，在解題過程中也要盡量避免走進(jìn)解題的誤區(qū)，才能拿到一個(gè)好的分?jǐn)?shù)。對(duì)于學(xué)生的解題誤區(qū)，我有以下一些體會(huì)。

一、審題時(shí)沒有抓住題目關(guān)鍵性詞語

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，審題是解決問題的基礎(chǔ)和先導(dǎo)，是正確做題不可缺少的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)審題，即對(duì)數(shù)學(xué)題目提供的情節(jié)內(nèi)容和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析和理解。但是在平時(shí)的教學(xué)中，在作業(yè)試卷批改當(dāng)中，我總會(huì)遺憾地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不是看錯(cuò)了數(shù)字，就是沒弄明白題目的意思，或者不能挖掘出題目條件與結(jié)論的聯(lián)系，還有一些學(xué)生容易憑記憶做題。課堂會(huì)做題，課后或者考試不會(huì)做題。當(dāng)試卷作業(yè)發(fā)回來或者老師評(píng)講時(shí)，把題目再細(xì)心讀一讀，很多同學(xué)就又會(huì)把題目解對(duì)了。所有這些，都說明了學(xué)生審題能力的薄弱。

審題的重點(diǎn)在于準(zhǔn)確理解題意，與此同時(shí)，還需要對(duì)題意中的條件、定義、概念、定理、公式等進(jìn)行快速理解，抓住題意中的關(guān)鍵性詞語，防止出現(xiàn)解非所答。例如，平時(shí)選擇題中題干要求學(xué)生選擇“錯(cuò)誤”的選項(xiàng)，很多學(xué)生根本沒有認(rèn)真讀題，不知道要他做的是什么事情，自以為是地認(rèn)為是選擇“正確”的選項(xiàng)，那樣很難找到正確的答案。另外，很多學(xué)生對(duì)一些題目的條件和涉及的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系不起來。例如：

（1）若曲線x2+y2+a2x+（1-a2）y-4=0關(guān)于直線y-x=0的對(duì)稱曲線仍是其本身，則實(shí)數(shù)a=（ ）

這道題目其實(shí)非常簡(jiǎn)單?？键c(diǎn)一：圓的一般方程的圓心的求法?？键c(diǎn)二：一個(gè)圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的問題。但是做錯(cuò)的學(xué)生很多，原因一是同學(xué)們語文基礎(chǔ)比較差，沒有理解這句話的主謂結(jié)構(gòu)，不明白題目讓他做什么；原因二是學(xué)生不能將圓的結(jié)構(gòu)、方程等知識(shí)點(diǎn)與題目條件很好地聯(lián)系起來。對(duì)于這類型題目，我在課堂上讓學(xué)生首先對(duì)這個(gè)題目多讀幾遍，針對(duì)關(guān)鍵詞語“仍是其本身”，學(xué)生要準(zhǔn)確理解含義“是同一個(gè)圓，此圓的圓心在直線y-x=0上”，然后與圓的一般方程的圓心求法聯(lián)系起來，那樣學(xué)生動(dòng)筆起來，果然做對(duì)了。

（2）已知 sin（α+β）=0，tanβ=2，求 tanα= 。

這是一道三角函數(shù)求值的問題，考點(diǎn)是正切兩角差公式和特殊值的三角函數(shù)值。很多學(xué)生不會(huì)做，原因是他們沒有留意到題目中條件與問題中的角的關(guān)系。實(shí)際上，細(xì)心分析題目的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，條件中角α+β與β與問題中的α有著緊密的聯(lián)系，就是（α+β）-β=α。那么要求tanα，只需求tan[（α+β）-β]就可以了。這道題的關(guān)鍵性詞語就是三個(gè)角“α+β，β，α”。只要看出它們之間的聯(lián)系，問題就會(huì)迎刃而解。另外，這道題的關(guān)鍵性詞語還可以是“sin（α+β）=0”，因?yàn)?α+β=kπ，則有 α=2kπ-β，即有 tanα=tan（2kπ-β）=-tanβ=-2。這個(gè)方法要求對(duì)于特殊角的三角函數(shù)值要非常熟悉。課堂上，我對(duì)于這種題型，盡量讓學(xué)生總結(jié)歸納審題規(guī)律，找出題目中可能有用的關(guān)鍵性詞語，分析題目條件中的角和問題中的角的關(guān)系，那么下次碰到同一個(gè)類型的題目，讀題的時(shí)候就自然而然地聯(lián)想到它們的關(guān)系了。當(dāng)然，要提高審題的準(zhǔn)確性，前提條件是要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)非常熟悉，能夠把問題中所涉及的條件和定義、概念、定理、公式等聯(lián)系起來。

二、解題時(shí)思維不夠嚴(yán)密，不能充分挖掘條件

很多學(xué)生由于思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)題意中的隱含條件沒有進(jìn)行充分的挖掘。教師在教學(xué)過程中需要注重對(duì)學(xué)生解題思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，教會(huì)學(xué)生從整體上把握題意的主旨以及挖掘題目中隱含的條件。例如：

以上例子給我的啟示就是，在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，需要注重?cái)?shù)學(xué)問題陳述及表現(xiàn)形式的多樣性，積極引導(dǎo)學(xué)生思考，從知識(shí)點(diǎn)的整體去考慮，達(dá)到解題的嚴(yán)密性，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力。在這個(gè)問題上，我采取了一種策略，即“錯(cuò)解剖析”——給學(xué)生進(jìn)行題目講解，在講解過程中故意設(shè)置錯(cuò)誤，讓學(xué)生給我指出講解過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，讓學(xué)生反串教師的角色，從另一個(gè)角度考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，從而養(yǎng)成挖掘題目條件的好習(xí)慣。例如：

學(xué)生對(duì)結(jié)論的可靠程度提出懷疑，在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行“錯(cuò)解剖析”。靈活運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性來確定三角形內(nèi)角的取值范圍這個(gè)隱含條件，嚴(yán)密論證了三角函數(shù)值取值的可能性。

三、解題時(shí)不夠靈活，不注重轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)解題很講究靈活性，對(duì)于復(fù)雜的問題，如果能夠把問題轉(zhuǎn)化，可使問題的形式朝有利于計(jì)算、推理、證明或能更好地運(yùn)用定理和法則來解決問題的方向進(jìn)行。例如：

方程sinx＝lgx的解有（ ）個(gè)。

A.1 B.2 C.3 D.4

學(xué)生習(xí)慣對(duì)方程進(jìn)行求解，若方程無法求解，則令學(xué)生手足無措。需要引導(dǎo)學(xué)生思考角度的變化：此題本質(zhì)為求方程組解。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過知識(shí)串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質(zhì)，在思維深刻性的基礎(chǔ)上，思維靈活性才有了用武之地。所以，當(dāng)學(xué)生讀這個(gè)問題的時(shí)候，就應(yīng)該發(fā)散思維，從題目形式思考，一個(gè)為三角函數(shù)，一個(gè)為對(duì)數(shù)，考慮到可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。

在課堂教學(xué)中，也要注重問題的轉(zhuǎn)化思考。我經(jīng)常采用的是“例題變式”——從例題入手，不斷進(jìn)行條件的變化，尋求解題結(jié)論的不同之處；變換結(jié)論，尋求條件的不同之處；變換提出問題的背景，尋求多題一解；變換問題的思考角度，尋求一題多解……以此來培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維。例如：

以上只是我在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題的一些誤區(qū)，這些在我培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略制定上有指導(dǎo)性的作用。近年來，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練后，不僅學(xué)生的解題能力均得到了較大程度的提高，而且學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣也得到了較大程度的提高。我的很多學(xué)生進(jìn)入大學(xué)甚至走上工作崗位之后，仍常來信表示雖然很多數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)遺忘，但學(xué)到的數(shù)學(xué)思維方式卻在日后的工作、學(xué)習(xí)及生活中發(fā)揮著積極的作用。目前國(guó)內(nèi)的課程教材在不斷進(jìn)行改革，我要繼續(xù)探索下去，以求獲得更多的收獲。