融會(huì)貫通
——概率與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯分析

遼寧省凌源市凌源中學(xué) 戴天羽

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)性極強(qiáng)的學(xué)科，知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系很緊密，如果學(xué)生只是學(xué)會(huì)了某些單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)，而沒(méi)有思考過(guò)將這些知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，那學(xué)生就不算真的學(xué)會(huì)，也就體會(huì)不到數(shù)學(xué)的精妙之處。概率是高中數(shù)學(xué)中非常重要的組成部分，與高中其他知識(shí)點(diǎn)之間相互滲透，且概率與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯也逐漸成為高考試題中的一個(gè)亮點(diǎn)。所以，本文從以下兩個(gè)方面來(lái)對(duì)高中數(shù)學(xué)中的概率與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯進(jìn)行分析，以期能夠提高學(xué)生融會(huì)貫通的意識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

一、概率與數(shù)列

數(shù)列一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，數(shù)列的規(guī)律性和邏輯性較強(qiáng)，要想學(xué)好數(shù)列知識(shí)，不僅需要學(xué)生有一雙善于發(fā)現(xiàn)的火眼金睛，而且對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求也比較高。而概率近年來(lái)也比較受高考的青睞，將概率與數(shù)列結(jié)合起來(lái)，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力更高層次的要求，同時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力也會(huì)在此過(guò)程中得到快速的提升。

例如：甲、乙二人玩“蒙眼睛跳格子”的游戲，甲這邊的格子上分別標(biāo)有01、04、07、010、013、…；乙那邊的格子上分別標(biāo)有02、06、010、014、018、…。游戲規(guī)則設(shè)定如下：由甲蒙著眼睛在乙那邊打亂順序的格子上任意跳一下，若甲所跳到的格子上所標(biāo)的號(hào)碼正好自己那邊的格子上也有，則甲獲勝，否則乙勝。求：在此游戲中，甲獲勝的概率有多大？

這是一道典型的概率與數(shù)列相結(jié)合的題目，要想求甲獲勝的概率，就要找出甲、乙兩邊有多少標(biāo)有相同號(hào)碼的格子。將甲這邊格子上的數(shù)組成的等差數(shù)列設(shè)為an（1≤n≤100），則an=3n-2，1≤n≤100。乙那邊格子上的數(shù)組成的數(shù)列為bn，同為等差數(shù)列，bn=4n-2，1≤ n≤ 100。 設(shè) an=bm， 則 有 3n-2=4m-2，n，m∈N＊，由此可得n=m，m為3的倍數(shù)，設(shè)m=3k，k∈N＊，

二、概率與不等式

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式既是難點(diǎn)，也是重點(diǎn)。而將概率與不等式結(jié)合起來(lái)，可以給概率學(xué)習(xí)和不等式學(xué)習(xí)都提供一種新的思路，也可促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中思維變得更加靈活。而且有時(shí)從概率的角度去看不等式，會(huì)讓一些復(fù)雜難解的不等式變得更容易理解，最重要的是這有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

例如：某蛋糕店以每個(gè)1元的成本制作布丁，然后以每個(gè)3元的價(jià)格出售。如果當(dāng)天制作的布丁賣不完，剩下的布丁則會(huì)因?yàn)榭诟胁缓枚辉儋u出。為求利潤(rùn)最大化，也為了避免浪費(fèi)，蛋糕店一天制作30個(gè)布丁，試運(yùn)營(yíng)30天。蛋糕店記錄了30天布丁的日需求量（單位：個(gè)），如下表所示：

日需求量n 24 26 28 30 32 34 36頻數(shù) 4 5 4 6 4 5 2

（1）請(qǐng)求出蛋糕店在這三十天內(nèi)的日平均利潤(rùn)；（2）若蛋糕店一天制作30個(gè)布丁，以30天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于53元的概率。

在解答此題時(shí)，可以先求出利潤(rùn)y關(guān)于日需求量n（n∈N）的函數(shù)解析式，即：y=3n-30（n≤29）；y=60（n≥30）。有了函數(shù)解析式，則問(wèn)題（1）中所求的30天的日平均利潤(rùn)y=[（3×24-30）×4+（3×26-30）×5+（3×28-30）×4+60×（6+4+5+2）]÷30=54.8。而問(wèn)題（2）中，利潤(rùn)不少于53元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于28個(gè)，所以當(dāng)天的利潤(rùn)不少于53元的概率為P=

這是一道常見(jiàn)的概率與不等式結(jié)合的題目，在解答時(shí)，學(xué)生需要先列出利潤(rùn)y關(guān)于日需求量n的不等式，然后再結(jié)合概率的知識(shí)求解。需要注意的是，在解答這類題時(shí)，學(xué)生要有清晰的思路，明確自變量的取值范圍。

在概率與不等式中還有一類比較常見(jiàn)的題型，例如：小李報(bào)名了某公司8：00至9：00間舉行的相親會(huì)，相親規(guī)則要求先到者等候10分鐘，若在有效時(shí)間內(nèi)見(jiàn)不到對(duì)方就可自行離去，假定在相親的時(shí)限內(nèi)見(jiàn)面的概率是等同的，求見(jiàn)面成功的概率。這道題是線性規(guī)劃和概率的結(jié)合，在解題時(shí)只需將兩人見(jiàn)面成功所滿足的條件在坐標(biāo)系中表示出來(lái)，根據(jù)面積之比即可求出概率。

這是一道典型的關(guān)于幾何不等式的概率題，它的基本事件是平面上的一些點(diǎn)，而且發(fā)生的可能性都是等同的。對(duì)于這類題的求解是有規(guī)律可循的，即：如果是直線上的點(diǎn)，那么概率就是長(zhǎng)度之比；如果是二維平面上的點(diǎn)，那么概率就是面積之比；如果是三維空間中的點(diǎn)，那么概率就是體積之比。

總而言之，高中數(shù)學(xué)中，概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的題目新穎別致、立意巧妙，著重于考查學(xué)生的綜合素質(zhì)，而且這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力都具有非常重要的促進(jìn)作用。所以，在高中數(shù)學(xué)的教育教學(xué)中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)將知識(shí)聯(lián)系起來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升。