基于電大學(xué)員情況對(duì)微分教學(xué)的改進(jìn)

陜西省安康職業(yè)技術(shù)學(xué)院 荊榮麗

伴隨著社會(huì)文明的進(jìn)步，廣大勞動(dòng)者對(duì)知識(shí)的要求愈來(lái)愈多、愈來(lái)愈全面，深度愈來(lái)愈強(qiáng)。當(dāng)然，知識(shí)越深，難度就越大。比如對(duì)于理工生來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)就是一門基礎(chǔ)課，而微積分則是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。電大招入學(xué)員大多數(shù)知識(shí)層次低，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)較差，學(xué)習(xí)積極性弱，自覺(jué)性不強(qiáng)，自我約束能力不足，學(xué)習(xí)態(tài)度不端正，而且缺乏踏實(shí)努力、刻苦鉆研的學(xué)習(xí)精神，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí)、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)能力上比較欠缺，這就要求從事一線教學(xué)的老師們改變思想，轉(zhuǎn)化理念，在教學(xué)設(shè)計(jì)上多動(dòng)腦筋，多想辦法，如利用比較法、找規(guī)律等手段，通過(guò)引導(dǎo)、啟發(fā)、鼓勵(lì)等方式調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。結(jié)合以上情況以及筆者自身的教學(xué)心得，提出一些教材編排上的設(shè)想和教學(xué)方法上的改進(jìn)。

一、微分概念的分析

在高等數(shù)學(xué)教材中，微分概念一直被稱之為“函數(shù)增量的線性主部” 。本人從事多年的微積分教學(xué)任務(wù)， 從嚴(yán)密性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論體系來(lái)說(shuō)，把微分理解為“增量的線性主部”是非常合理的選擇，但考慮到電大學(xué)生的理解思維能力，接受到這樣晦澀難懂、專業(yè)性強(qiáng)的定義，無(wú)疑增加了學(xué)生對(duì)微分概念的學(xué)習(xí)難度。但若避開(kāi)數(shù)學(xué)嚴(yán)密抽象思維的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)用形象直觀思維，形象化地給出微分定義，就可形成微分教學(xué)的新方案。無(wú)論是專升本教材還是現(xiàn)階段的高起專教材，關(guān)于微分這一節(jié)的教學(xué)不外乎引例、導(dǎo)入概念（用增量的線性主部來(lái)定義微分） ，推出可導(dǎo)、可微的等價(jià)關(guān)系，再在數(shù)形結(jié)合的途徑中講述其幾何意義，然后給出微分的運(yùn)算法則、基本公式等，讓學(xué)生能熟練計(jì)算微分，最后回歸客觀實(shí)際，講明微分的應(yīng)用?？梢钥闯?，這種教學(xué)模式中，微分的教學(xué)內(nèi)容抽象，微分的教學(xué)環(huán)節(jié)又多，這既加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，又有悖于低基礎(chǔ)學(xué)員教學(xué)的時(shí)效性原則。為改變以上狀況，改革高職高專院校以及電大高數(shù)微分的教學(xué)方案，是我們必須探討的一個(gè)問(wèn)題。

一些學(xué)者強(qiáng)調(diào)從積分和微分的聯(lián)系的角度講授微積分。一般來(lái)說(shuō)，微分是研究事物運(yùn)動(dòng)的瞬間改變量，積分是研究事物運(yùn)動(dòng)的區(qū)間改變量，如人的頭發(fā)是無(wú)時(shí)無(wú)刻不在生長(zhǎng)著，微分就是研究頭發(fā)的瞬間生長(zhǎng)量，積分則是研究頭發(fā)在某一區(qū)間，例如一個(gè)月的生長(zhǎng)量。微分和積分從運(yùn)算角度考慮，可以這樣說(shuō)，減法產(chǎn)生微分，加法產(chǎn)生積分，微分和積分是對(duì)立的統(tǒng)一。它統(tǒng)一于積分運(yùn)算。

目前學(xué)生擅長(zhǎng)用微積分解題，但是概念理解不深，如果只強(qiáng)調(diào)計(jì)算而忽視概念的教學(xué)，將會(huì)妨礙微積分進(jìn)一步深入教學(xué)，但教學(xué)時(shí)間有限，學(xué)生的概念理解與技能發(fā)展似乎成為一對(duì)矛盾。該如何有效地進(jìn)行微積分概念教學(xué)？ 在接下來(lái)的小節(jié)里，將主要討論微積分概念教學(xué)的措施。

二、微分的概念

微分（differential）最初帶有 “差”的意思，所以，微分表示函數(shù)增量的近似值。如果誤差是Δx的高階無(wú)窮小，則稱函數(shù)在該點(diǎn)是可微的。通過(guò)下面引例，詳細(xì)指出微分的差的含義、線性近似、誤差等，代替原來(lái)那種一帶而過(guò)、蜻蜓點(diǎn)水、語(yǔ)言不詳?shù)谋磉_(dá)方式。

例1 要給一個(gè)半徑為r0的球表面涂上油漆，油漆的厚度為Δr。試計(jì)算這層油漆的體積。

用一次函數(shù)的增量近似代替三次函數(shù)的增量，足見(jiàn)微分在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用。數(shù)學(xué)內(nèi)涵是一樣的，實(shí)際背景則更豐富，在學(xué)生得出相關(guān)結(jié)論后再將其推廣為一般的誤差估計(jì)，這樣易于學(xué)生接受。

例2 考察自由落體運(yùn)動(dòng)S(t)=gt2，位移的增量。

這是學(xué)生很熟悉的物理上的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可以和位移公式S=v0t+gt2聯(lián)系起來(lái)，這樣學(xué)生自然就可以將公式中的A與速度v0即S'(t0)聯(lián)系起來(lái)，Δt2與O(Δt)聯(lián)系起來(lái)，從而得到ΔS≈dS=S'(t)Δt。

通過(guò)微分三角形，借助凹凸兩種函數(shù)，詳細(xì)解釋微分的幾何意義為函數(shù)在x點(diǎn)的切線的增量，微分概念蘊(yùn)含著以直代曲、線性近似的思想。

三、微分計(jì)算

在微分計(jì)算這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，首先講解微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分的幾何意義。在高中階段，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)，熟悉導(dǎo)數(shù)的基本公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則。在講微分時(shí)，聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，既體現(xiàn)了知識(shí)內(nèi)容銜接相輔相成，同時(shí)也增加了學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟悉度，不會(huì)產(chǎn)生對(duì)新知識(shí)的恐懼和畏難情緒，有利于學(xué)員更好地了解微分，方便計(jì)算以及后期對(duì)微分的應(yīng)用。

1．利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算微分

導(dǎo)數(shù)也叫微商，即函數(shù)的微分除以自變量的微分，所以，函數(shù)的微分自然就等于導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分。因此，微分公式如下：

微分的運(yùn)算法則也可以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出，在這里就不再贅述。

2．一階常微分方程

一階常微分方程正常教學(xué)用時(shí)是4課時(shí)，在不降低大綱要求的前提下，及時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)比，提高其觀察能力和實(shí)際學(xué)習(xí)效果，可以對(duì)教材進(jìn)行一定的改變。

首先介紹一階常微分方程的概念，然后列出以下常見(jiàn)類型及其特征：

（1）y'=f(x)型。其特征是：①左邊是一階導(dǎo)數(shù)y'；②右邊是自變量的函數(shù)。這類方程是一階常微分方程的最簡(jiǎn)單形式，方便易解，是解微分方程的基礎(chǔ)，為后面講解高階微分方程降階做好鋪墊。

（2）y'=f(x)·g(x)型。如果方程能把y的一階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成x的函數(shù)與y的函數(shù)乘積的形式，也就是說(shuō)把x和y分離開(kāi)，我們把它叫“可分離變量的微分方程”。其特征是：①左邊是一階導(dǎo)數(shù)y'；②右邊是自變量的函數(shù)與y的函數(shù)的乘積。

（3）型。如果方程能把y的一階導(dǎo)數(shù)表示成的函數(shù)，我們就把它叫“齊次微分方程”。其特征是：①左邊是一階導(dǎo)數(shù)y'；②右邊是自變量與y的商 的函數(shù)。

（4）y'=f(x)·y+g(x)型。如果方程能化成這種形式，我們就把它叫“一階線性微分方程”。其特征是：①左邊是一階導(dǎo)數(shù)y'；②右邊是線性關(guān)系，y'和y都是一次的；③f(x)，g(x)都是x的函數(shù)。

給出這幾種常見(jiàn)形式，并列舉出每種形式的特點(diǎn)，方便學(xué)員觀察、比較、理解。同時(shí)，一邊講形式一邊舉例說(shuō)明，這樣給予啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)員有更充足的時(shí)間觀察、思考，掌握知識(shí)快捷，使得他們有更高的興趣深入探索研究。

接著，給出籠統(tǒng)的例題，從混合形式中分辨出每個(gè)題目的形式，然后歸類。讓學(xué)員從混合狀態(tài)下根據(jù)這四種形式的特點(diǎn)分辨出所屬形式，方便后面“求解微分方程”的理解和掌握。

最后，通過(guò)與例題相似的練習(xí)提高學(xué)員對(duì)每種微分方程的分辨能力，然后再進(jìn)行解法的講解。這樣安排教學(xué)，符合接受知識(shí)的自然規(guī)律，適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)員模仿、套形式的學(xué)習(xí)方式。

四、改進(jìn)教學(xué)的效果

筆者從事數(shù)學(xué)教育以來(lái)，既帶有高職數(shù)學(xué)，也帶有電大高等數(shù)學(xué)的面授課。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐表明，在相同的授課時(shí)間內(nèi)，改變微分部分的教學(xué)方法后，更利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法以及應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的能力，讓學(xué)生對(duì)微分思想有了更深刻的認(rèn)識(shí)，更利于他們理解和掌握專業(yè)知識(shí)。今后要結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，適應(yīng)高職課程改革的新形勢(shì)，以滿足專業(yè)需要為原則，以培養(yǎng)應(yīng)用能力為主線，提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

總之，教學(xué)以傳道授業(yè)為宗旨，目的是讓學(xué)生學(xué)藝受用。甚至有學(xué)者認(rèn)為，微分教學(xué)要改變教學(xué)順序，先講微分再講導(dǎo)數(shù)，把顛倒的歷史重新翻倒過(guò)來(lái)，這也符合客觀事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。先研究事物運(yùn)動(dòng)的瞬間改變量，再研究事物運(yùn)動(dòng)瞬間變化率，這是順理成章、易學(xué)易懂的快事。但這樣的變更太廣，我們目前也只能拭目以待。