基于改進(jìn)模型的異步電機(jī)最小二乘參數(shù)辨識(shí)

孟慶碩，許鳴珠

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

自從矢量控制等高性能變頻調(diào)速技術(shù)的誕生，電機(jī)的參數(shù)辨識(shí)問題便成為了國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。矢量控制技術(shù)的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)子磁鏈角的估算，用于實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的磁場定向，準(zhǔn)確獲取轉(zhuǎn)子的時(shí)間常數(shù)，成為了解決該類問題的關(guān)鍵。但該參數(shù)在使用前往往是未知的，因此要實(shí)現(xiàn)異步電機(jī)矢量控制等高性能變頻調(diào)速技術(shù)，必須預(yù)先獲得電機(jī)的該項(xiàng)參數(shù)［1］。

最傳統(tǒng)的異步電機(jī)參數(shù)檢測(cè)方法莫過于轉(zhuǎn)子空載、堵轉(zhuǎn)和互感實(shí)驗(yàn)了，但這樣獲取的電機(jī)參數(shù)是粗略的。目前較實(shí)用的電機(jī)參數(shù)辨識(shí)典型方法有遞推最小二乘法(RLS)、擴(kuò)展卡爾曼濾波法(EKF)、模型參考自適應(yīng)法(MRAS)等等。

其中，最小二乘法是常用的參數(shù)辨識(shí)方法，其目標(biāo)函數(shù)為測(cè)量結(jié)果對(duì)計(jì)算結(jié)果誤差的平方和，最小目標(biāo)函數(shù)值等于零。其遞推算法適合于異步電動(dòng)機(jī)參數(shù)辨識(shí)，計(jì)算量也不算很大，但其線性化模型需要用到目標(biāo)函數(shù)對(duì)電動(dòng)機(jī)參數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，對(duì)測(cè)量噪聲和轉(zhuǎn)速波動(dòng)很敏感［2-4］。針對(duì)這些問題，采用基于轉(zhuǎn)子磁場定向的異步電機(jī)同步旋轉(zhuǎn)軸系的矢量方程，建立了電機(jī)的轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)參數(shù)估計(jì)模型，本方法只需要獲得一階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)采用二階巴特沃思濾波器進(jìn)行濾波，降低了噪聲的影響。利用改進(jìn)歐拉算法對(duì)巴特沃思狀態(tài)方程進(jìn)行求解，可以直接得到濾波后電流的一階導(dǎo)數(shù)，不需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行離散化處理，降低了計(jì)算誤差。在實(shí)際控制中采用雙閉環(huán)的PI控制，對(duì)速度具有較好的控制效果，避免了速度波動(dòng)對(duì)計(jì)算的影響。

1 遞推最小二乘法參數(shù)估計(jì)理論

1．1 最小二乘參數(shù)估計(jì)理論概述

最小二乘法最早于1975年由高斯(K．F．Gauss)在形體運(yùn)動(dòng)軌跡預(yù)報(bào)研究工作中提出來，被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)，甚至在許多估計(jì)方法無效的情況下，最小二乘法卻可以提供最簡單有效的解決辦法［5-6］。隨著該理論的發(fā)展，遞推最小二乘法、遺忘因子法、偏差補(bǔ)償法、修正的輔助變量法等多種最小二乘估計(jì)算法相繼出現(xiàn)，這些方法被應(yīng)用于不同的系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)系統(tǒng)中。

最小二乘估計(jì)算法可以解決線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)、含有色噪聲的線性系統(tǒng)等參數(shù)估計(jì)問題。在利用最小二乘法對(duì)異步電動(dòng)機(jī)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，主要是將電機(jī)的非線性模型線性化，得到與電機(jī)參數(shù)有著直接關(guān)系的線性化模型，再對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

1．2 遞推最小二乘法參數(shù)估計(jì)法

遞推最小二乘法應(yīng)用廣泛，與一般的最小二乘法比較，避免了大矩陣求逆運(yùn)算，計(jì)算量小、計(jì)算速度快且收斂速度快，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)在線應(yīng)用。

由文獻(xiàn)［7］～文獻(xiàn)［10］可知，遞推最小二乘法的參數(shù)估計(jì)算法為

令P(0)=aI，θ(0)=ε，α為充分大的正實(shí)數(shù)，一般為104～1010之間，ε為充分小的正實(shí)數(shù)向量，一般取0。

2 異步電機(jī)的線性化數(shù)學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，可以得到異步電機(jī)在任意旋轉(zhuǎn)軸系下的暫態(tài)電流導(dǎo)數(shù)方程

式中，σ=1－(L2m/LsLr);uM、uT為MT軸系定子電壓矢量M、T軸分量;iM、iT為MT軸系定子電流矢量M、T軸分量;im、it為MT軸系轉(zhuǎn)子電流矢量M、T軸分量;Rs為定子電阻;Rr為轉(zhuǎn)子電阻;Ls為轉(zhuǎn)子電感;Lr為轉(zhuǎn)子電感;Lm為勵(lì)磁電感;ωs為轉(zhuǎn)子磁鏈?zhǔn)噶喀譺的電角速度;ωr為轉(zhuǎn)子的電角速度。

將式(2)改寫成矩陣的形式如下

其中

由式(3)可知，經(jīng)過坐標(biāo)變換得到了以定、轉(zhuǎn)子電阻、電感、轉(zhuǎn)子磁鏈為未知量的線性方程，y(k)=φT(k)θ，可運(yùn)用最小二乘法對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。輸出矩陣

參數(shù)矩陣

輸入矩陣

由于參數(shù)K3對(duì)應(yīng)的輸入為常數(shù)1，可能會(huì)造成該項(xiàng)收斂速度慢，精度低等缺點(diǎn)。由于K3項(xiàng)中就包含K2項(xiàng)，因此，將K2上次的估計(jì)值代替1，此時(shí)K3項(xiàng)變?yōu)?/p>

輸入矩陣變?yōu)?/p>

電機(jī)的運(yùn)行往往是由靜止到穩(wěn)態(tài)的過程，利用電機(jī)的暫態(tài)過程可以對(duì)電機(jī)的轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)Tr=－K4/K3、漏感常數(shù)Lsσ=1/K2進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)電機(jī)由暫態(tài)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，此時(shí) ψr=0，d iM/d t=0，d iT/d t=0，進(jìn)而可以根據(jù)在轉(zhuǎn)子磁場定向下轉(zhuǎn)子磁鏈 ψr=－(Rrψr)/Lr+(LmRriM)/Lr得ψr=LmiM，結(jié)合估計(jì)值θ，進(jìn)一步求得電機(jī)的各參數(shù)

3 巴特沃思濾波器

由于采集的電壓和電流信號(hào)含有高次諧波和噪聲，因此除了硬件上的模擬濾波外，還必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波處理。加入濾波必然造成信號(hào)的衰減和時(shí)延，為了能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)參數(shù)的精確估計(jì)，電壓和電流信號(hào)必須同步和同比例采樣。這就要求對(duì)電壓和電流信號(hào)要進(jìn)行相同的濾波。此外，由式(3)可知，在采用遞推最小二乘算法參數(shù)估計(jì)時(shí)，除了需要采集電壓和電流信號(hào)外，還需要得到電流信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)。

因此，采用二階巴特沃思數(shù)字濾波器對(duì)電壓和電流信號(hào)進(jìn)行濾波，二階巴特沃思數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)系數(shù)可查表獲得。并將其傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式(13)，寫成能控標(biāo)準(zhǔn)型，便于運(yùn)用改進(jìn)的歐拉方法進(jìn)行計(jì)算，這樣可以直接求解出電流值和其一階導(dǎo)數(shù)。避免了對(duì)導(dǎo)數(shù)的離散化，簡化運(yùn)算的同時(shí)提高了計(jì)算精度。

3．1 巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)

巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)完全由3 dB截止頻率Ωc和階數(shù)N確定。其傳遞函數(shù)為Ha(s)=ΩNc

/DN(s)。其中，分母DN(s)稱為N階巴特沃思多項(xiàng)式

因此，其傳遞函數(shù)為

式中，Ωc為低通濾波器截止頻率;b0，b1為濾波器系數(shù)，可在文獻(xiàn)［12］查表獲得。

將式(12)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程，寫成能控標(biāo)準(zhǔn)型

其中

式中，狀態(tài)變量即為濾波后的電流及其1階導(dǎo)數(shù)。

3．2 改進(jìn)的歐拉方法

改進(jìn)的歐拉方法先用Euler格式求得X(k)一個(gè)初步的近似值，稱為預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)值的精度可能不高，再用梯形公式將它校正一次，得到其校正值［13］。

預(yù)測(cè)值

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

式中，Xp(k)=［uFp(k) uFp(k)］T為狀態(tài)變量的預(yù)估數(shù)值解;Ts為采樣周期。

由式(15)得到狀態(tài)變量預(yù)估值

校正值

解得狀態(tài)變量校正值為

通過對(duì)式(18)進(jìn)行N次迭代即可得到uF(k)，uF(k)即為最終狀態(tài)變量數(shù)值解。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文采用異步電機(jī)矢量控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來驗(yàn)證所提參數(shù)估計(jì)算法。整個(gè)控制系統(tǒng)采用TI公司的TMS320F2812DSP芯片來實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)算法。

實(shí)驗(yàn)用異步電機(jī)額定參數(shù)為:Pn=250 W;Un=36 V;In=9 A;ωn=1 400 r/min;極對(duì)數(shù)P=2。DSP系統(tǒng)時(shí)鐘150 MHz，PWM調(diào)制頻率為15 kHz。電壓信號(hào)采樣通過測(cè)試母線電壓，利用電壓重構(gòu)技術(shù)得到A，B，C相電壓。電流信號(hào)采樣采用霍爾傳感器對(duì)其進(jìn)行測(cè)量。采樣頻率為15 kHz，二階巴特沃思濾波器的截止頻率為10 Hz，迭代次數(shù)為10。圖1為控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。

本實(shí)驗(yàn)是在電機(jī)由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)行到額定狀態(tài)，得到的參數(shù)都為電機(jī)在額定情況下的參數(shù)。從圖2～圖6可知，在辨識(shí)初期電機(jī)各參數(shù)波動(dòng)明顯，但很快趨于穩(wěn)定值，證明該辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí)速度快、穩(wěn)定性好。表1為轉(zhuǎn)速1 400 r/min時(shí)3次辨識(shí)的結(jié)果，每個(gè)參數(shù)誤差都在5%之內(nèi)，辨識(shí)效果較為準(zhǔn)確，對(duì)于電機(jī)運(yùn)行控制來說已經(jīng)達(dá)到了足夠的精度。

圖2 定子電阻辨識(shí)曲線

圖3 轉(zhuǎn)子電阻辨識(shí)曲線

5 結(jié)論

圖4 互感辨識(shí)曲線

圖5 定轉(zhuǎn)子電感辨識(shí)曲線

表1 3次辨識(shí)結(jié)果比較

圖6 轉(zhuǎn)子磁鏈辨識(shí)曲線

在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，辨識(shí)結(jié)果存在著波動(dòng)，但波動(dòng)較小。產(chǎn)生波動(dòng)的原因如下:

(1)采樣誤差。實(shí)驗(yàn)中存在著電磁干擾和噪聲的影響，雖然采用了濾波但仍存在不足。濾波器截止頻率的選擇不合適，對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果存在一定的影響，雖然可以通過大量實(shí)驗(yàn)選擇較為合適的截止頻率，但其間的關(guān)系還需要進(jìn)一步研究。另外，由于硬件電路本身也存在誤差，也會(huì)造成采樣不準(zhǔn)確，影響參數(shù)的辨識(shí)。

(2)工況影響。由于辨識(shí)出的參數(shù)是根據(jù)電機(jī)運(yùn)行至穩(wěn)態(tài)下計(jì)算得到，此時(shí)磁鏈恒定，經(jīng)解耦后的電流也恒定，但由于環(huán)境的影響，電機(jī)的運(yùn)行狀況會(huì)受到影響，從而導(dǎo)致電機(jī)PI環(huán)節(jié)對(duì)電流進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而導(dǎo)致電流的變化，造成計(jì)算不準(zhǔn)確。

本文以轉(zhuǎn)子磁場定向下的同步旋轉(zhuǎn)軸系矢量方程為根據(jù)，推導(dǎo)出了可用于遞推最小二乘法的線性化電機(jī)模型，該模型簡單，遞推參數(shù)收斂速度快。采用二階巴特沃思濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波，并對(duì)巴特沃思濾波器的狀態(tài)方程進(jìn)行求解，得到了經(jīng)過濾波后的信號(hào)以及信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)，無需對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散化處理，簡化了計(jì)算，降低了誤差，提高了計(jì)算精度。