單自由度系統(tǒng)強迫激勵下慣容對Kelvin模型和Maxwell模型的影響

李壯壯，申永軍

(石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

慣容是2002年Smith提出的一種具有兩個獨立的自由端點，且類似于彈簧和阻尼器的元件。彈簧具有“通低頻、阻高頻”的特性，而慣容器具有“通高頻、阻低頻”的特性［1-2］。慣容器件及ISD(I-慣容器，S-彈簧，D-阻尼器)系統(tǒng)的出現(xiàn)，使吸振和隔振系統(tǒng)有了更好發(fā)展。慣容最早應(yīng)用在F1賽車懸架上［3］，并取得了很好的效果。Wang et al［4-5］把慣容應(yīng)用在火車懸架上，提高了火車的穩(wěn)定性和舒適性。Chen et al［6］分析了慣容器對隔振系統(tǒng)固有頻率的影響。Hu et al［7-8］把慣容用在動力吸振器和隔振器上，有很好的減振、隔振效果。聶佳梅等［9］給出了幾種慣容器的模型結(jié)構(gòu)及實現(xiàn)方法。

振動工程中單自由度系統(tǒng)強迫振動多采用Kelvin模型和Maxwell模型［10］。支浩迪等［11］研究了Kelvin模型和Maxwell模型在基底搖擺隔震中的比較，Asami et al［12］將Maxwell模型引入到動力吸振器中并對其進行了參數(shù)優(yōu)化，王孝然等［13］分析了單自由度系統(tǒng)強迫激勵下兩種模型的系統(tǒng)響應(yīng)，并討論了阻尼對系統(tǒng)的影響。在前人研究的基礎(chǔ)上，分別在Kelvin和Maxwell模型上串聯(lián)和并聯(lián)慣容，并作用3種不同的激勵，得到相應(yīng)的振幅放大因子和幅頻曲線，通過比較振幅放大因子和幅頻曲線來分析慣容對Kelvin和Maxwell系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

1 慣容的動力學(xué)特性

圖1 齒輪齒條慣容器原理圖

圖2 齒輪齒條慣容器模型設(shè)計三維圖

理想慣容器受力關(guān)系為

式中，f為施加于元件兩端點上等大反向的力;b為慣容系數(shù);t為時間變量;v1和v2分別為兩個端點的速度;x1和x2分別為兩個端點的位移。

工程中常用的彈簧阻尼模型主要有Maxwell模型和Kelvin模型，本質(zhì)上是彈簧和阻尼的串聯(lián)和并聯(lián)。下面分別在Kelvin和Maxwell模型基礎(chǔ)上串聯(lián)和并聯(lián)慣容，來分析慣容對兩種模型響應(yīng)的影響。模型如圖3所示。慣容和Kelvin模型直接串聯(lián)的模型稱為ISD型Kelvin-1，慣容直接與Kelvin模型并聯(lián)的模型稱為ISD型Kelvin-2。慣容和Maxwell模型直接串聯(lián)的模型稱為ISD型Maxwell-1，慣容直接和Maxwell模型并聯(lián)的模型稱為ISD型Maxwell-2。

這里假設(shè)x1為質(zhì)量塊m的位移(圖3(a)～圖3(f)中上端點的位移)，x2為圖3(b)中慣容和彈簧阻尼串聯(lián)連接處的位移，x3為圖3(d)中彈簧和阻尼串聯(lián)連接處的位移，x4、x5分別為圖3(e)中慣容和彈簧串聯(lián)連接處的位移、彈簧和阻尼串聯(lián)連接處的位移，x6為圖3(f)中彈簧和阻尼串聯(lián)連接處的位移。

圖3 不同類型的Kelvin模型和Maxwell模型

2 簡諧激勵下的強迫振動

簡諧激勵是激勵形式中最簡單的一種。掌握系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)規(guī)律，是理解系統(tǒng)對周期激勵或者更一般形式激勵的響應(yīng)的基礎(chǔ)。如圖4(a)所示，在慣性元件質(zhì)量上直接作用有簡諧激勵的強迫振動。根據(jù)牛頓第二定律，可以得到表1所示的動力學(xué)方程。k、c、b分別為彈簧剛度、阻尼器阻尼、慣容值。質(zhì)量塊上的激勵為P0sin(ωt)，P0為簡諧激勵力的幅值，ω為簡諧激勵的頻率。令c/m=2ζωn，其中ζ為阻尼比，m為質(zhì)量塊的質(zhì)量為固有頻率，λ=ω/ωn為頻率比，δ=b/m為慣容質(zhì)量比，把這些代入到方程中進行等式變換。設(shè)x1=珔A eiωt并代入到動力學(xué)方程中，解得珔A=A e－jφ，從而得到振幅放大因子β=A/A0，其中A0=P0/k為質(zhì)量塊在激振力幅靜力作用下的最大位移，φ為相位差。根據(jù)振幅放大因子畫出幅頻曲線如圖5所示。

圖4 3種不同激勵引起的強迫振動

表1 簡諧激勵下的強迫振動

圖5 簡諧激勵引起的強迫振動下6種模型的幅頻曲線

從表1和圖5中可以得出:

(1)在λ=1即ω=ωn時，Kelvin模型串聯(lián)慣容后，振幅放大因子β趨于無窮大，且慣容值越大衰減率就越大;Kelvin模型并聯(lián)慣容后同Kelvin模型一樣，β≈1，說明激振頻率遠遠小于系統(tǒng)固有頻率時，振幅與靜位移大小相當;Maxwell模型并聯(lián)或者串聯(lián)慣容后振幅放大因子β都是趨于無窮大。

表1至表4分別給出了ARMS誤差，平均值，標準誤差，10%置信水平，90%置信水平和計算時間，這些數(shù)據(jù)與MCS結(jié)果進行比較。

(3)在λ≥1即ω≥ωn時，幾種模型的振幅放大因子β都趨近于0，說明激振頻率遠遠大于固有頻率時，相應(yīng)的振幅很小。

3 支撐運動引起的強迫振動

在一些場合中，系統(tǒng)受到的激勵是來自于支撐的運動。例如車輛在波形路面上行駛、凸輪閥門機構(gòu)的運動等。如圖4(b)所示，假設(shè)支承運動的規(guī)律是xs=a sinωt。根據(jù)牛頓第二定律可以得到表2的動力學(xué)方程，把xs=a sinωt代入得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=E sin(ωt－φ)，從而得到振幅放大因子β=E/a。不同模型的幅頻曲線如圖6所示。

表2 支撐運動引起的強迫振動

從表2和圖6中可以得出:

(1)在λ=1即ω=ωn時，Kelvin和Maxwell模型串聯(lián)慣容后，振幅放大因子由β≈1變?yōu)棣隆枝?(1+δ)，說明串聯(lián)慣容后在激振頻率遠遠小于固有頻率時有很好的隔振效果;Kelvin和Maxwell模型并聯(lián)慣容后振幅放大因子β沒有變化，說明激振頻率遠遠小于固有頻率時，振幅和靜位移大小相當。

(3)在λ≥1即ω≥ωn時，Kelvin和Maxwell模型串聯(lián)慣容后振幅放大因子β趨于0，說明激振頻率遠遠大于固有頻率時，振幅很小;Kelvin和Maxwell模型并聯(lián)慣容后振幅放大因子β趨于δ/(1+δ)。

圖6 支撐運動引起的強迫振動下6種模型的幅頻曲線

4 偏心質(zhì)量引起的強迫振動

在高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激振來源之一。如圖4(c)所示，假設(shè)旋轉(zhuǎn)機械的總質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為m1，偏心距為e，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度是ω。偏心質(zhì)量引起的激勵為m1eω2sinωt，根據(jù)牛頓第二定律，得到動力學(xué)方程如表3。設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=D sin(ωt－φ)，其中D=meβ/M，φ是相位差。寫成無量綱形式β=MD/me，定義β為系統(tǒng)的無量綱放大因子。不同模型的幅頻曲線如圖7所示。

表3 偏心質(zhì)量引起的強迫振動

圖7 偏心質(zhì)量引起的強迫振動下6種模型的幅頻曲線

從表3和圖7中可以得出:

(1)在λ=1即ω=ωn時，Kelvin模型串聯(lián)慣容后，振幅放大因子由β≈0變?yōu)棣隆?/(δ－1)，所以當δ=1時，振幅趨近于無窮大;Maxwell模型串聯(lián)慣容后振幅放大因子由β≈0變?yōu)棣隆?/(δ+1);Kelvin和Maxwell模型并聯(lián)慣容后振幅放大因子β沒有變化，說明激振頻率遠遠小于固有頻率時，振幅和靜位移大小相當。

(3)在λ≥1即ω≥ωn時，Kelvin和Maxwell模型串聯(lián)慣容后振幅放大因子β趨于1，但趨近方式與原模型遠不相同;Kelvin和Maxwell模型并聯(lián)慣容后振幅放大因子由β≈1變?yōu)棣隆枝?(1+δ)，有效地降低了系統(tǒng)的振幅，說明并聯(lián)慣容對減振有很好的效果。

5 結(jié)論

通過比較在3種不同激勵下慣容分別串聯(lián)和并聯(lián)在Kelvin和Maxwell模型的振幅放大因子和頻響曲線，得到以下結(jié)論。

(1)Kelvin和Maxwell模型并聯(lián)慣容后，可以在不減小彈簧剛度和增大質(zhì)量的情況下減小系統(tǒng)的固有頻率，使共振區(qū)提前。且慣容值越大，共振的峰值就越小，減振隔振效果就越好。

(3)Kelvin和Maxwell模型串聯(lián)慣容后，在簡諧激勵下可以增大振幅放大因子的衰減速度;在支撐運動引起的強迫振動中，可以有效地降低振幅放大因子。

(4)相比于彈簧阻尼結(jié)構(gòu)的Kelvin和Maxwell模型，ISD系統(tǒng)具有更好的減振隔振效果。

(5)彈簧、阻尼、慣容的組合方式還有很多，三元件拓撲結(jié)構(gòu)的其它模型有待進一步研究。