基于高階剪切變形理論梁的熱屈曲和后屈曲分析

于旭光，申幸幸，鄭 宏

(1．唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑化工系，河北 唐山 063299;2．長安大學(xué) 建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710061)

0 引言

梁、板、殼體是工程中最常用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，它們在熱荷載或軸向荷載作用下的屈曲分析問題長期受到國內(nèi)外學(xué)者的密切關(guān)注。盡管對于各向同性及層合梁結(jié)構(gòu)的非線性問題研究已經(jīng)十分豐富［1-3］，但是對于該領(lǐng)域的研究卻一直沒有間斷。國外學(xué)者Aydogdu［4］分析了基于Reddy位移模型下層合梁在各種邊界條件下的熱屈曲分析。Kiani et al［5］分析了功能梯度材料梁的熱屈曲問題。Emam［6-7］分析了層合梁在濕熱環(huán)境中的屈曲和后屈曲問題。馬連生等［8-9］給出了經(jīng)典梁及剪切變形梁的熱過屈曲問題的解析解，但未采用高階剪切變形理論來對梁的屈曲和后屈曲問題進(jìn)行分析。

1 模型

考慮一個高度為h、寬度為b、長度為l的矩形截面梁:x軸沿梁軸線方向;z軸和y軸分別沿梁的厚度和寬度方向;xoy面置于梁的幾何中面上;原點(diǎn)位于梁軸線的左端［8］。

1．1 位移場

文獻(xiàn)［10］給出了高階剪切變形理論下的位移場為

式中，u和w分別為梁中面上點(diǎn)的軸向和橫向位移;為梁中面上橫截面由于彎曲產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角;f(z)為形狀函數(shù)，表達(dá)式見表1。

表1 不同梁理論的剪切應(yīng)變形狀函數(shù)

1．2 應(yīng)變場

基于上述位移場的正應(yīng)變和剪應(yīng)變?yōu)?/p>

1．3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

考慮溫度的變化，梁的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表達(dá)如下

式中，E為彈性模量;G為剪切模量;v為泊松比;α為熱膨脹系數(shù);ΔT為溫度改變量?，F(xiàn)令

式中，N和M為經(jīng)典理論下的軸力和彎矩;Ms和Qs為由于剪切變形產(chǎn)生的彎矩和剪力;NT、MT和MTs為熱內(nèi)力和熱彎矩，它們是由于溫度變化所引起。

將式(3)代入式(4)中可得到上述合力與應(yīng)變的關(guān)系可以表達(dá)為

2 平衡方程及求解

根據(jù)最小勢能原理，總勢能的一階變分為0，即δ∏=0，由此可得梁的平衡方程為

邊界條件為:

固支端

簡支端

將式(5)代入式(6)、式(7)、式(8)可得到

將式(11)對x積分一次得到

從式(14)可得出

根據(jù)式(5)中知B11=E11=0，由固支端和簡支端的邊界條件u(0)=u(l)=0，得到

將式(16)代入式(14)得到

對式(17)兩邊對x求導(dǎo)一次得到

對式(18)兩邊再對x求導(dǎo)一次整理后得到

將式(17)、式(18)、式(19)代入式(7)、式(8)得到

式(20)、式(21)便是關(guān)于橫向撓度和轉(zhuǎn)角的非線性積分—微分方程。

對于兩端簡支梁:

根據(jù)式(5)中可知B11=E11=0，由式(5)得到

由式(5)中可知D11，F(xiàn)11，H11都不為0，由式(10)給出的兩端簡支梁的邊界條件

目標(biāo)要求：理解誠實正直三原則及其重要性；學(xué)習(xí)重要詞匯和習(xí)慣表達(dá)法；把握文章各部分的重要信息；分析文章結(jié)構(gòu)和邏輯組織方法，完成相關(guān)詞匯、語法和翻譯練習(xí)。

可以將兩端簡支梁的邊界條件可以轉(zhuǎn)化為

由文獻(xiàn)［15］知，第一階屈曲模態(tài)是結(jié)構(gòu)唯一穩(wěn)定的平衡位置。假設(shè)兩端簡支梁下的位移函數(shù)為

將式(22)代入式(20)、式(21)可以得到如下的表達(dá)式

可以看出，式(23)有3個解，第一解:a=0反映梁前屈曲的直線平衡狀態(tài);剩下兩個解:a≠0，反映梁后屈曲的穩(wěn)定平衡位置狀態(tài)?？梢郧蟪隽旱暮笄?即跨中撓度)為

舍去式(23)中非線性項也可以得到臨界屈曲荷載為

對于兩端固支梁:

由邊界條件w(0)=w(l)=w'(0)=w'(l)=(0)=(l)=0，假設(shè)兩端固支梁下的位移函數(shù)為

同樣可以求出后屈曲幅值(即跨中撓度)為

舍去非線性項可以得到臨界屈曲荷載為

對應(yīng)于經(jīng)典的歐拉梁理論，當(dāng)不考慮熱內(nèi)力時，由式(25)和式(29)可得到

這和材料力學(xué)中的公式是一致的。

對應(yīng)于Timoshenko梁理論，當(dāng)不考慮軸心壓力時，由式(25)和式(29)可得到兩端簡支和兩端固支的熱屈曲荷載值。

兩端簡支

兩端固定

式中，κs為剪切修正系數(shù)，經(jīng)比較式(30)和式(31)的表達(dá)式和文獻(xiàn)［9］結(jié)果相同。

3 理論結(jié)果分析

通過上述分析，得到了兩端簡支梁和兩端固支梁的臨界屈曲荷載值和后屈曲幅值(梁的橫向撓度最大值)，并與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了對比分析，可以看出此理論可以包含經(jīng)典的歐拉梁理論和Timoshenko理論，還能包含各種高階剪切變形理論。

3．1 長細(xì)比對臨界屈曲荷載的影響

圖1和圖2分別給出了不考慮熱荷載作用下的兩端簡支梁和固支梁下不同梁理論下得出的臨界屈曲載荷與歐拉梁理論得出的臨界屈曲載荷之比隨長細(xì)比的變化曲線，從圖中可以看出，比值隨著長細(xì)比的增大而增大，各種高階剪切變形理論計算出的臨界屈曲荷載基本相同。而對于兩端簡支梁:當(dāng)l/h＞20，計算結(jié)果接近歐拉梁理論;兩端固支梁:當(dāng)l/h＞40，計算結(jié)果接近歐拉梁理論。

圖1 臨界屈曲載荷與歐拉梁理論之比隨長細(xì)比的變化(兩端簡支梁)

圖1 臨界屈曲載荷與歐拉梁理論之比隨長細(xì)比的變化(兩端固支梁)

3．2 溫度和軸向荷載下對梁后屈曲幅值的影響

為了分析溫度和軸向荷載下對梁后屈曲幅值的影響，假定泊松比v=0．3，熱膨脹系數(shù)a=10－6/℃。為便于分析，以無量綱軸向荷載Pl2/Ebh3為橫坐標(biāo)，梁跨中撓度(a/h)或(2a/h)為縱坐標(biāo)，得出兩端簡支梁和兩端固支梁分別在不同溫度變化下梁的中點(diǎn)撓度與無量綱軸向荷載的變化曲線，圖3～圖6表明:隨著溫度升高，梁的屈曲荷載值下降但是梁中點(diǎn)撓度值升高，這是由于梁的剛度削減造成的。

圖3 兩端簡支梁(l/h=10)

圖4 兩端簡支梁(l/h=30)

圖5 兩端固支梁(l/h=10)

圖6 兩端固支梁(l/h=20)

4 結(jié)論

采用非線性高階剪切變形理論，分析了兩端簡支和兩端固支邊界條件下的梁在不同長細(xì)比下的臨界屈曲荷載以及溫度和荷載下梁的后屈曲幅值。研究表明:①長細(xì)比較小時，剪切變形對臨界屈曲載荷值的影響很大;隨著長細(xì)比增大，逐漸接近歐拉梁理論得出的臨界屈曲荷載值。②在溫度和軸向荷載共同作用下，隨著溫度升高，梁的臨界屈曲荷載值下降，梁中點(diǎn)撓度值逐漸變大。