二軸列車行經(jīng)序列等跨橋時車輛共振響應(yīng)分析

時 瑾， 姚忠達， 王英杰

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044;2.淡江大學 建筑學系，中國 臺北 25137)

列車運行過程中車橋動力作用及共振問題影響著行車安全性和結(jié)構(gòu)服役性能，是鐵路工程領(lǐng)域關(guān)注的熱點。

對于車橋共振問題，Yang等[1-3]針對高速鐵路橋梁受高速列車周期性輪載作用，推導(dǎo)得到橋梁共振車速為橋梁自振頻率與車長乘積，通常這一共振速度會發(fā)生在高速情況，一旦發(fā)生，則橋梁影響將會隨車輛通過數(shù)增加而逐步放大，位在列車后段的車輛振動將會因橋梁振動加劇而放大。另一方面，Yang等[4]針對列車依次通過等跨橋梁時的動力作用，從理論上推導(dǎo)出了車輛共振速度為車輛頻率與橋跨乘積，這一共振速度常發(fā)生于中低速狀況。王英杰等[5]則進一步研討了彈性車體過橋時共振和消振情況。有別于前述高速列車受列車作用出現(xiàn)共振情況，當這一共振響應(yīng)發(fā)生時，列車所有車廂均可能同時出現(xiàn)(假設(shè)各節(jié)車輛頻率相同)。對于較低速度運行鐵路系統(tǒng)應(yīng)避免這一共振現(xiàn)象。

盡管過去二十余年以來對車橋共振問題的研究已非常深入，但研究仍集中在列車高速運行引起的橋梁共振問題方面，對列車低速運行在序列等跨梁上引起的車輛共振問題關(guān)注較少。當前我國貨運鐵路已邁入30 t軸重時代，軸重提高后車橋動力作用將愈加顯著，尤其是當列車行經(jīng)序列等跨橋時，可能發(fā)生的低速共振問題更是不容輕視，本文將重點探討這一問題。首先建立列車與橋梁動力分析數(shù)值模型，同時采用解析方法推導(dǎo)二軸車通過等跨橋梁時車輛共振條件，進而探討共振機理，以此作為車橋動力分析數(shù)值模型驗證的參考依據(jù)。然后以重載鐵路常用跨度橋梁為對象，研究車輛低速共振對車橋共振影響規(guī)律，并提出若干參考建議。

1 計算模型

1.1 車橋動力分析模型

在車橋動力分析模型研究中廣大學者提出了多種模型，如二維車橋垂向動力分析模型、三維車橋空間動力分析模型等[6-8]。事實上，根據(jù)應(yīng)用條件及研究問題的特性差異，對分析模型的簡化程度也會有所不同。

本文研究重點針對列車出現(xiàn)車體點頭或沉浮引起的車橋垂向共振問題，模型中重點考慮了梁彈性特性和車輛剛體振動等關(guān)鍵因素，對其它因素做了適當簡化，以滿足解析推導(dǎo)。對本文研究問題而言，以具點頭及沉浮運動特性的二軸車列與橋梁動力作用模型作為研究基礎(chǔ)。

二軸車模型是將前后轉(zhuǎn)向架質(zhì)量凝聚到輪對上，而剛性車體由等效懸掛系統(tǒng)來支撐(如圖1)，以突出輪軸距和車體運動等影響車橋共振的關(guān)鍵要素。

圖1 列車-簡支梁動力分析模型

二軸車模型中僅考慮車體沉浮及點頭，如圖1所示。運動方程列寫如下

橋梁采用模態(tài)綜合法，梁體任意截面運動可由振型函數(shù)疊加來表示，即：

(3)

式中，qbn橋梁第n階廣義坐標，φn(x)為橋梁第n階振型，Nb為橋梁模態(tài)數(shù)。

振型規(guī)格化后，橋梁第n階模態(tài)方程為

(4)

式中:ξn、ωn為梁第n階阻尼比和頻率，N為作用在該梁跨上輪對數(shù)，F(xiàn)ni為第i個輪對對梁產(chǎn)生的廣義力

Fni=φn(xi)Fi

(5)

Fi為通過第i個輪對傳遞到橋梁上的力，可表示為

(6)

式中，車輛前輪取負號，后輪取正號

根據(jù)輪對與橋梁密貼假定，則式(1)和(2)第i個輪對在簡支梁上xwi位置的位移可表示為[9]

(7)

對于等截面簡支梁，第n階振型函數(shù)可假定為三角函數(shù)，即：

式中，L為梁跨度。

將式(5)～(7)代入式(4)，并與式(1)和式(2)式聯(lián)立，得到二軸車橋動力相互作用方程，該方程可用Nermark逐步積分法求解。

1.2 車輛共振條件解析推導(dǎo)

為易于說明，針對式(4)，忽略輪對慣性力和懸掛力，考慮橋梁為輕阻尼條件，則在圖2所示單一移動軸重作用下，梁變形可采用Duhamel積分求得，可表示為

(8)

式中，

(9a)

(9b)

式中，p為軸重荷載，E橋梁彈性模量，I為梁截面慣性矩。

圖2 單一移動軸重通過序列梁示意圖

由于假定梁體為小變形，移動荷載列下梁位移為各軸重荷載引起位移疊加(如圖3所示)，即：

(10)

式中，zi(x,t)表示第i個移動荷載引起的位移。

圖3 通過橋跨車輛荷載列示意圖

對于單節(jié)車輛而言，考慮前后兩個輪對位置位移，并略去式(8)和式(1)中阻尼項，則式(1)可變化為

(11)

式中，tc為前輪與后輪間時間間隔。

式(11)可通過非齊次線性微分方程疊加原理求解，右端第n個函數(shù)對應(yīng)的微分方程為

(12)

其中

(13)

式(12)為常系數(shù)線性微分方程，可求得解析解為

(14)

式中,車頻ωv及車行無因次參數(shù)Sv,n可表示成

(15a)

(15b)

由式(14)及(15b)可見，當無因次參數(shù)Sv,n趨近于1時，則式(14)動力響應(yīng)將趨向不定型，此時為車輛沉浮共振條件，則車輛沉浮共振條件可表示為

(16)

根據(jù)式(16)，當n= 1時，對應(yīng)的車輛沉浮主共振速度定義為v1=fvL；當n≥ 2時，則定義為車輛沉浮次共振速度，即vn=fvL/n。這一次共振現(xiàn)象代表著當車輛以此車速通過序列橋梁某一跨時，其沉浮運動在此梁振動模態(tài)下，將出現(xiàn)來回振動n次的共振現(xiàn)象。就目前運營列車而言，此類共振車速常發(fā)生在低速情況，再加上車輛懸掛系統(tǒng)阻尼耗散影響，不易被觀察出來。

因式(2)和式(1)屬于同一類型之微分方程，其對共振條件推導(dǎo)與車輛沉浮共振類似，限于篇幅，在此不再贅述，即：

(17)

式中，車輛點頭頻率可表達為

上述分析可見，車輛通過等跨橋梁時，車輛共振由車輪下規(guī)則的等跨梁重復(fù)性振動激發(fā)造成。另外，當單一車輛行駛于序列等跨橋中某一跨橋梁時，一旦車輛發(fā)生共振時，可能使橋梁出現(xiàn)n次的循環(huán)振蕩，這時出現(xiàn)所謂的次共振現(xiàn)象，而其次共振速度為主共振速度的(1/n)倍。要強調(diào)的是，就當前運營的重載列車而言，主共振車速常在正常運營速度之上，而次共振車速會落在列車運行速度范圍之內(nèi)。

1.3 橋梁共振條件

橋梁共振條件在文獻[10]中進行了詳細推導(dǎo)，這里給出結(jié)論。

當具有等車長(lv)之列車通過具自振頻率fb之橋梁時，當移動荷載列加載頻率與橋梁自振頻率或其i倍諧波頻率相等時，橋梁即出現(xiàn)共振，此時共振速度(vres)可表示為

(18)

式中，共振速度vres單位為km/h，fb為橋梁自振頻率(Hz)，車長(lv)單位為m。

當i= 1時，定義橋梁主共振速度，即：

vres1=3.6fblv

當i≥ 2時，定義橋梁的次共振速度，即：

上述所述橋梁受列車引起的次共振現(xiàn)象就是在相鄰兩輪通過橋上某一特定點時，該特定點在此間隔時間內(nèi)，將會出現(xiàn)來回完整振動i次。

2 計算結(jié)果與分析

2.1 計算工況

根據(jù)1.2節(jié)推導(dǎo)可以看出，采用解析方法推導(dǎo)車輛和橋梁共振條件時對車橋動力模型進行了簡化，因而共振條件是否正確還需進一步驗證。本部分采用1.1節(jié)車橋動力相互模型計算不同速度、不同跨度橋梁條件下車橋動力響應(yīng)，通過對計算結(jié)果統(tǒng)計分析來實現(xiàn)對1.2和1.3節(jié)提出的共振條件的驗證。

綜合考慮我國鐵路貨車主要特征，得到車輛模型計算參數(shù),如表1所示。

我國貨運鐵路常用16 m、24 m和32 m跨度雙T型梁[11]，本文以三種跨度單線梁截面為基礎(chǔ)[12]，采用有限元軟件計算得到基頻及相關(guān)參數(shù)，如表2所示，結(jié)合1.2節(jié)推導(dǎo)，表中還給出了三種跨度梁對應(yīng)的沉浮、點頭及橋梁主共振、次共振車速。

在共振響應(yīng)分析中，選取車體沉浮加速度、點頭加速度、輪軌力及橋梁振動加速度作為評價指標。為利于比較分析，將點頭加速度換算為沉浮加速度，換算關(guān)系為

(19)

車體端部加速度為車體沉浮加速度和點頭加速度合成，車體端部加速度最大值可表達為

表2 不同跨度橋梁參數(shù)及共振速度

(20)

輪軌力指標評價采用輪軌力放大系數(shù)，定義為

(21)

式中，F(xiàn)dyn為列車運行過程中輪軌動態(tài)力，由式(6)計算得到，F(xiàn)sta為靜輪載，取625.14 kN。

2.2 車橋共振響應(yīng)分析

以24 m跨度單線T型梁為研究對象，計算了完全平順條件下列車連續(xù)通過梁跨時車輛動力響應(yīng)，圖4(a)為車體振動加速度峰值與運行速度之間關(guān)系，圖4(b)為輪軌力放大系數(shù)與運行速度之間的關(guān)系。由圖可見，車體加速度在沉浮、點頭主共振、次共振車速下均有明顯峰值出現(xiàn)，點頭共振速度下(v=128 km/h)放大效應(yīng)最為顯著，而點頭次共振速度下(v=64 km/h)共振響應(yīng)遠小于點頭主共振響應(yīng)；在沉浮主共振(v=156 km/h)和次共振速度(v=78 km/h)下出現(xiàn)了較為顯著的放大現(xiàn)象，盡管沉浮次共振小于主共振響應(yīng)，但次共振現(xiàn)象也十分顯著；輪軌力在點頭共振速度和沉浮次共振速度上出現(xiàn)明顯峰值，輪軌作用力被顯著放大。圖5進一步給出了沉浮次共振速度(78 km/h)和點頭共振速度(v=128 km/h)下車輛動力響應(yīng)時程曲線，由圖可見，在共振速度下，隨著車輛序列通過梁跨，動力響應(yīng)被逐漸放大，沉浮次共振條件下動力響應(yīng)放大程度可達1倍～2倍，點頭共振速度下動力響應(yīng)放大程度可達3倍～4倍。由于車輛阻尼的耗散作用，共振響應(yīng)放大到一定程度后趨于穩(wěn)定?？傮w來看，車輛共振速度落在貨運鐵路正常運營速度范圍內(nèi)，應(yīng)在實際工程中充分考慮這一共振效應(yīng)。

(a) 車體加速度峰值與運行速度之間關(guān)系曲線

(b) 輪軌力放大系數(shù)與運行速度之間關(guān)系曲線

(a) 車體沉浮加速度時程曲線

(b) 車體點頭加速度時程曲線

選取列車第1節(jié)、第5節(jié)及第8節(jié)車輛車體合成加速度響應(yīng)，得到不同位置車體端部加速度與運行速度之間關(guān)系，如圖6所示。列車通過時橋梁跨中加速度峰值與速度之間關(guān)系，如圖7所示。由圖可見，隨著車輛逐次通過，橋梁被充分激振，車輛響應(yīng)被放大，在橋梁共振速度下(v=332 km/h)編組靠后車輛動力響應(yīng)放大效果更明顯；在車體沉浮和點頭共振速度下橋梁振動加速度呈現(xiàn)小的尖峰，橋梁振動響應(yīng)有一定的放大，但車輛共振對橋梁動力響應(yīng)的影響要比橋梁共振對車輛響應(yīng)的影響要小。

圖6 車體端部加速度峰值與運行速度之間關(guān)系曲線

圖7 橋梁跨中加速度峰值與運行速度之間關(guān)系曲線

2.3 不同跨度橋梁共振響應(yīng)分析

以16 m、24 m及32 m三種常用跨度橋梁為研究背景，計算了車輛共振響應(yīng)，圖8(a)為車體端部加速度峰值與運行速度關(guān)系曲線，圖8(b)為速度與輪軌力放大系數(shù)關(guān)系曲線，由圖可見，車體加速度和輪軌力在對應(yīng)表2所示的沉浮和點頭共振車速上呈現(xiàn)了較為顯著的尖峰，車體點頭主共振最為明顯；列車通過32 m跨度梁時點頭次共振速度(85 km/h)、24 m跨度梁時車體沉浮次共振速度(78 km/h)和16 m跨度梁時車體主共振速度(85 km/h、104 km/h)均落在正常運營速度范圍內(nèi)，且不同跨度梁車體共振響應(yīng)基本相當。

(a) 車體端部加速度峰值與運行速度之間關(guān)系曲線

(b) 輪軌力放大系數(shù)與運行速度之間關(guān)系曲線

圖9給出了三種跨度橋梁跨中加速度峰值與運行速度之間關(guān)系，24 m跨度和32 m跨度梁在車輛共振速度點上的放大效應(yīng)并不十分顯著，16 m跨度梁在車輛沉浮主共振速度(104 km/h)附近加速度有明顯放大。圖10給出了列車在104 km/h的沉浮主共振速度通過16 m跨度和32 m跨度梁時跨中加速度時程曲線，可見16 m跨度梁跨中加速度明顯高于32 m跨度梁，較高的橋梁加速度加劇道砟粉化，降低道床嚙合作用，實際中應(yīng)注意車輛共振引起的橋梁病害。

圖9 不同跨度橋梁跨中加速度與運行速度之間關(guān)系曲線

圖10 列車104 km/h通過時橋梁跨中加速度時程曲線

3 結(jié) 論

為說明重載列車行經(jīng)序列橋梁時的車橋共振機理，本研究以二軸車為基礎(chǔ)，通過理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬分析了重載車橋共振問題，研究得到：

(1) 列車通過序列等跨橋梁時，車輛共振由車輪下規(guī)則的等跨梁重復(fù)性激振頻率與車輛頻率(車體點頭或沉浮頻率)重合所引起。就當前運營的重載列車而言，主共振車速常在正常運營速度之上，而次共振車速會落在列車運行速度范圍之內(nèi)。

(2) 在車輛發(fā)生沉浮和點頭共振時，車輛動力響應(yīng)和輪軌力均被明顯地放大，這一共振現(xiàn)象將直接對線路結(jié)構(gòu)帶來不利影響。

(3) 盡管車輛共振對橋梁動力響應(yīng)的影響要比橋梁共振對車輛響應(yīng)的影響要小[13]，但在短跨度橋梁情況下，車輛共振將顯著加劇橋梁振動，進而會對道床嚙合作用有影響。

(4) 列車一旦達到單一車輛通過序列等跨橋時共振速度，則整列各節(jié)車輛均可能同時出現(xiàn)共振現(xiàn)象而影響車輛連接，這是貨運列車在營運過程中不容忽視的問題。