基于Lorenz混沌同步系統(tǒng)的未知頻率微弱信號(hào)檢測(cè)

李國正， 譚南林， 蘇樹強(qiáng)， 張 馳

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院, 北京 100044)

微弱信號(hào)是指深埋在背景噪聲中的極其微弱的有用信號(hào)，如弱光、微溫差、微振動(dòng)、弱磁、微電流等。檢測(cè)微弱信號(hào)在航空航天[1]、故障診斷[2]、生物醫(yī)學(xué)[3]、通信傳輸[4]、系統(tǒng)辨識(shí)[5]等領(lǐng)域有著及其廣泛的應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)，越來越受到重視，需求量日益增加。該項(xiàng)技術(shù)的進(jìn)步對(duì)相關(guān)行業(yè)的發(fā)展會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，具有重要意義。將淹沒在強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)快速、準(zhǔn)確的檢測(cè)出來是信號(hào)處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

傳統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)方法多基于線性系統(tǒng)，這使得有用信號(hào)被放大的同時(shí)，背景噪聲也隨之放大，而采用濾波器濾去噪聲的同時(shí)，信號(hào)會(huì)有所損失?；煦珙愇⑷跣盘?hào)檢測(cè)方法基于非線性系統(tǒng)，充分利用了混沌系統(tǒng)具有的初值敏感性、噪聲免疫性和非線性放大特性來實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)，可以檢出信噪比低至的微弱信號(hào)。此類方法自20世紀(jì)90年代提出后，很多學(xué)者對(duì)此展開了深入的研究[6]，該方向成為了混沌理論應(yīng)用于實(shí)際工程的研究熱點(diǎn)之一。

現(xiàn)階段的研究主要集中在以下四個(gè)方面：一是對(duì)混沌系統(tǒng)檢測(cè)機(jī)理的分析和探討。代表性的研究有：王永生等[7]研究了數(shù)值解算時(shí)計(jì)算步長(zhǎng)和驅(qū)動(dòng)輸入白噪聲對(duì)弱信號(hào)檢測(cè)中Duffing振子運(yùn)動(dòng)特征的影響。吳彥華等[8]研究了待檢信號(hào)與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)頻差和相差對(duì)系統(tǒng)相圖的影響，提出了微弱信號(hào)盲檢測(cè)識(shí)別算法，建立了檢測(cè)模型。孫文軍等[9]研究了Van der Pol振子相態(tài)躍遷模型，從理論上證明了其用于弱信號(hào)檢測(cè)的可行性，并與Duffing振子進(jìn)行了對(duì)比分析。二是對(duì)混沌系統(tǒng)相空間運(yùn)行軌跡計(jì)算和運(yùn)行狀態(tài)判定方法的研究。其中，Rashtchi等[10]提出通過計(jì)算相空間軌跡自相關(guān)系數(shù)判斷狀態(tài)轉(zhuǎn)變的方法，并與最大Lyapunov指數(shù)法進(jìn)行了比較。Awrejcewicz等[11]利用Melnikov法預(yù)測(cè)了非線性系統(tǒng)振子在微作用力下系統(tǒng)自由度的改變，并通過數(shù)值仿真證明了該結(jié)論；三是對(duì)構(gòu)建檢測(cè)系統(tǒng)應(yīng)用于工程實(shí)際方面的研究。其中，溫宇立通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究,驗(yàn)證了Duffing混沌系統(tǒng)的相軌跡識(shí)別多裂紋管道超聲導(dǎo)波信號(hào)的有效性。Zhao等[12]結(jié)合混沌和倒譜分析的方法對(duì)液壓試驗(yàn)機(jī)梭閥的早期故障進(jìn)行診斷。張偉偉等[13]提出一種基于改進(jìn)型Duffing混沌振子系統(tǒng)的強(qiáng)噪聲下超聲導(dǎo)波的識(shí)別和定位方法，并利用導(dǎo)波信號(hào)對(duì)系統(tǒng)相軌圖的顯著變化識(shí)別導(dǎo)波信號(hào)。陳志光等[14]研究了強(qiáng)海洋背景噪聲下微弱周期信號(hào)的檢測(cè)，提出利用希爾伯特變換實(shí)現(xiàn)對(duì)間歇混沌的包絡(luò)檢測(cè)的新方法。四是對(duì)頻率未知微弱信號(hào)檢測(cè)方法的研究。其中，李國正等[15]提出了構(gòu)建Duffing振子陣列，結(jié)合遺傳算法尋找輸入信號(hào)后相空間方差最大值所對(duì)應(yīng)的頻率量，以實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)的方法，以及基于蔡氏電路構(gòu)建的混沌同步系統(tǒng)進(jìn)行待測(cè)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的方法[16]。孫自強(qiáng)等[17]采用取樣積分技術(shù)提高混沌振子對(duì)增速箱振動(dòng)故障信號(hào)的檢測(cè)門限,利用混沌振子相圖變化實(shí)現(xiàn)齒輪早期故障診斷。

上述研究表明，利用混沌系統(tǒng)的相關(guān)特性進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)可以極大消除背景噪聲的影響，進(jìn)而提升被測(cè)信號(hào)的信噪比，降低檢測(cè)門限，是很有潛力的微弱信號(hào)處理技術(shù)。但上述方法受參數(shù)設(shè)定、相空間軌跡求解、運(yùn)行狀態(tài)判定等因素的影響，仍存在檢測(cè)效率偏低、狀態(tài)轉(zhuǎn)換易誤判等不足。尤其對(duì)未知頻率的周期信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，基于間歇混沌現(xiàn)象或基于優(yōu)化算法的檢測(cè)方法所采用的混沌系統(tǒng)陣列結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，需要在整個(gè)頻域區(qū)間內(nèi)掃描估計(jì)，且難以處理含有多個(gè)周期信號(hào)的被測(cè)對(duì)象，這大大影響了它的適用性。

為此，本文首先從典型Lorenz系統(tǒng)的信號(hào)檢測(cè)機(jī)理展開研究，采用驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)法構(gòu)建基于混沌同步方式的微弱信號(hào)頻率檢測(cè)系統(tǒng)。再結(jié)合MUSIC(Multiple Signal Classification)算法處理降噪后得到的同步誤差，實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)。最后，采用建立的模型進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，驗(yàn)證其可行性。新方法綜合利用了混沌系統(tǒng)的初值敏感性、抗噪性、非線性放大性和同步性，從而簡(jiǎn)化系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定，避免相空間軌跡復(fù)雜求解，提高了檢測(cè)效率。

1 系統(tǒng)模型與頻率估計(jì)

1.1 頻率檢測(cè)系統(tǒng)模型和工作機(jī)理

本文提出的新方法所檢測(cè)的對(duì)象是強(qiáng)噪聲背景下微弱周期信號(hào)的頻率值，其表達(dá)式為：

r(t)=s(t)+n(t)

(1)

式中，s(t)是微弱正弦信號(hào)Asin (ωt+θ)，n(t)是白噪聲信號(hào)N(0,σ2)。該信號(hào)信噪比小于-20 dB，對(duì)頻率值ω進(jìn)行估計(jì)。

考慮到現(xiàn)有混沌類檢測(cè)方法基于單一混沌系統(tǒng)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)仍未解決的諸多難點(diǎn)問題，本文提出引入一個(gè)新的具有相同結(jié)構(gòu)和參數(shù)的混沌系統(tǒng)，利用兩個(gè)混沌系統(tǒng)之間可以同步運(yùn)行這一特性，結(jié)合MUSIC算法，來實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的頻率檢測(cè)。該頻率檢測(cè)系統(tǒng)的原理性框圖，如圖1所示。

圖1 混沌同步頻率檢測(cè)系統(tǒng)原理圖

圖1中，混沌子系統(tǒng)I作為同步系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)端，混沌子系統(tǒng)II作為響應(yīng)端，二者之間采用驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)法實(shí)現(xiàn)同步。當(dāng)待測(cè)信號(hào)接入驅(qū)動(dòng)端后，引發(fā)其相空間運(yùn)行軌跡發(fā)生了巨大改變。受混沌系統(tǒng)的初值敏感性和噪聲免疫性的影響，驅(qū)動(dòng)端放大周期信號(hào)的同時(shí)，對(duì)背景噪聲產(chǎn)生抑制作用。而響應(yīng)端的相空間軌跡作為對(duì)比，可得到同步誤差e(t)，以此評(píng)估輸入信號(hào)后相空間軌跡產(chǎn)生的變化。MUSIC算法作為空間譜估計(jì)測(cè)向理論的重要算法，進(jìn)一步消除噪聲所產(chǎn)生的影響。用其處理同步誤差，查找空間譜峰值，最終實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)。

1.2 Lorenz系統(tǒng)及參數(shù)設(shè)定

現(xiàn)有混沌類檢測(cè)方法大多基于單個(gè)Duffing振子搭建系統(tǒng)。該系統(tǒng)內(nèi)包含一個(gè)周期策動(dòng)力。測(cè)量不同頻率的周期信號(hào)時(shí)，需要對(duì)其策動(dòng)力參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，或是采用陣列結(jié)構(gòu)覆蓋整個(gè)需要檢測(cè)的頻率區(qū)間，這大大增加了構(gòu)建難度。Lorenz系統(tǒng)由麻省理工大學(xué)教授Lorenz首次提出，是一個(gè)常微分方程組，在某些參數(shù)值和初始條件有混沌解[18]。其數(shù)學(xué)模型如下

(2)

式中，r(t)是接入的被測(cè)信號(hào)，它在典型的Lorenz系統(tǒng)中并不存在，此時(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成為一個(gè)更高維的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。對(duì)該模型的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究，取結(jié)構(gòu)參數(shù)為：σ=10,β=2.6。改變參數(shù)ρ的取值，得到系統(tǒng)的分岔圖，如圖2所示。

圖2 參數(shù)ρ的分岔圖

圖2中，參數(shù)ρ的取值范圍為[0,250]。隨著參數(shù)值增加，系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)在多周期態(tài)和混沌態(tài)之間變換。狀態(tài)轉(zhuǎn)化的臨界點(diǎn)有24、98、150、169、215，可以據(jù)此劃分成6個(gè)子區(qū)間。其中，區(qū)間I、IV和VI內(nèi)，系統(tǒng)運(yùn)行在多周期態(tài)；區(qū)間II內(nèi)，運(yùn)行在混沌態(tài)；區(qū)間III內(nèi)，主要為混沌態(tài)，特定數(shù)值出現(xiàn)多周期態(tài)。進(jìn)一步分析系統(tǒng)處于不同狀態(tài)時(shí)，輸入信號(hào)對(duì)相空間運(yùn)行軌跡的影響。取ρ=169和ρ=50，并輸入不同類型的待測(cè)信號(hào)，得到的相空間軌跡如圖3所示。

圖3的相空間軌跡包含有四條曲線，曲線a是輸入信號(hào)r(t)=0時(shí)得到，曲線b是r(t)=0.001sin(t)時(shí)得到，曲線c是r(t)為方差等于0.001白噪聲時(shí)得到，曲線d是由曲線b中的正弦信號(hào)疊加曲線c中的白噪聲信號(hào)得到。圖3(a)中，系統(tǒng)運(yùn)行在三周期態(tài)，四條曲線的運(yùn)行軌跡在相空間內(nèi)幾乎完全重合，難以區(qū)分，無法應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)。圖3(b)中，系統(tǒng)運(yùn)行在混沌態(tài)時(shí)可以看出，在非線性系統(tǒng)的作用下，曲線a和曲線c非常接近，而曲線b和曲線d也保持基本一致，而曲線a和c與曲線b和d相比，系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡則發(fā)生了巨大的偏移。

為了進(jìn)一步分析不同參數(shù)條件下輸入信號(hào)對(duì)相空間運(yùn)行軌跡產(chǎn)生的影響，逐步增加Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)ρ，同時(shí)獲取上述四種信號(hào)輸入時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡。以此計(jì)算正弦信號(hào)輸入、白噪聲輸入、正弦信號(hào)疊加白噪聲輸入時(shí)空間軌跡相對(duì)于無測(cè)試信號(hào)輸入時(shí)運(yùn)行軌跡的偏移量，繪制其與參數(shù)值ρ之間的關(guān)系曲線，分別對(duì)應(yīng)于曲線a、b和c，如圖4所示。

圖4 參數(shù)ρ與軌跡偏移量之間的關(guān)系曲線

結(jié)合圖4、與參數(shù)ρ的分岔圖可以看出，不同信號(hào)輸入時(shí)，軌跡偏移量的大小除了與信號(hào)種類相關(guān)外，還與ρ的取值使系統(tǒng)所處的運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)ρ的取值在圖2中對(duì)應(yīng)的區(qū)間I和IV內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行在多周期態(tài)，三種輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的偏移量?。蝗≈翟趨^(qū)間III內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在混沌態(tài)和多周期態(tài)之間切換，三種輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的偏移量波動(dòng)劇烈；取值在區(qū)間II內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行在混沌態(tài)，輸入信號(hào)中的白噪聲使系統(tǒng)的相空間軌跡在原有運(yùn)行軌跡的周圍發(fā)生小幅抖動(dòng)，而周期信號(hào)則使得空間軌跡產(chǎn)生了很大的偏移，且該偏移量遠(yuǎn)大于輸入信號(hào)的幅值。當(dāng)參數(shù)ρ在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，適用于信號(hào)檢測(cè)中的降噪處理。如果能夠獲取輸入信號(hào)前后相空間軌跡發(fā)生的變化，則可以從其偏移量對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

1.3 Lorenz混沌同步系統(tǒng)

參照?qǐng)D1的系統(tǒng)框架，基于Lorenz系統(tǒng)，采用驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)法構(gòu)建同步系統(tǒng)。驅(qū)動(dòng)端混沌子系統(tǒng)I的狀態(tài)方程是

(3)

響應(yīng)端混沌子系統(tǒng)II的狀態(tài)方程是

(4)

可以證明，當(dāng)混沌系統(tǒng)中的參數(shù)滿足條件σ>0和β>0，且輸入信號(hào)r(t)=0，子系統(tǒng)I和II可以實(shí)現(xiàn)同步。

為了證明上述結(jié)論，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)如下式

(5)

對(duì)其求導(dǎo)可以得到

(6)

結(jié)合假定條件r(t)=0，并用式(3)減去式(4)，可以得到下式

(7)

代入式(6)，可以得到

(8)

顯然，結(jié)構(gòu)參數(shù)σ>0,β>0，時(shí)，上式小于0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可知所建立的系統(tǒng)的同步誤差在零點(diǎn)位置漸進(jìn)穩(wěn)定，上文子系統(tǒng)I和II同步的相關(guān)結(jié)論成立[19]。

1.4 MUSIC算法與頻率估計(jì)

當(dāng)輸入信號(hào)r(t)作為擾動(dòng)項(xiàng)接入所建立的同步系統(tǒng)后，會(huì)出現(xiàn)同步誤差。根據(jù)上文分析可知，同步誤差主要受到輸入信號(hào)中周期信號(hào)成分的影響而產(chǎn)生，由此推斷同步誤差的信噪比與被測(cè)信號(hào)相比會(huì)有極大改善。MUSIC算法是Schmidt提出的一種基于矩陣特征空間分解的方法[20]，是空間譜估計(jì)測(cè)向理論的重要基石。很多學(xué)者對(duì)該算法的效率、敏感度等方面展開了研究和分析，結(jié)果表明該算法可以有效減少噪聲的影響，準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)頻率。我們采用該算法對(duì)同步誤差進(jìn)行處理，基本流程如下：

步驟1將同步誤差e(t)作為變量X，取延時(shí)變量為T，獲取新的同步誤差序列e(t+T)作為變量Y。變量X和Y包含有L個(gè)數(shù)據(jù)。

步驟3對(duì)矩陣R(XY)進(jìn)行特征分解，得到其特征值λ1,λ2,…,λM以及特征向量υ1,υ2,…,υM。將特征值由大到小排列，取前d個(gè)對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)建信號(hào)特征矩陣US=[υ1,υ2,…,υd]。剩下的特征向量構(gòu)建噪聲特征矩陣UN=[υd+1,υd+2,…,υM]。

步驟5查找空間譜的峰值，其對(duì)應(yīng)的頻率值即為被測(cè)信號(hào)頻率的估計(jì)值。

為了檢驗(yàn)該方法的有效性，進(jìn)行了兩組試驗(yàn)。取Lorenz系統(tǒng)參數(shù)為σ=10,β=2.6和ρ=50，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌態(tài)。將正弦信號(hào)0.001sin(2πt)與白噪聲(N(0,0.05))疊加，作為輸入信號(hào)接入該系統(tǒng)，其信噪比為

SNRr(t)=10lgPs(t)/Pn(t))=-50 dB

(9)

再將正弦信號(hào)的頻率變?yōu)?0 Hz，保持信噪比不變并接入該系統(tǒng)。兩次同步誤差計(jì)算得到的空間譜，如圖5所示。

由圖5可知，淹沒在強(qiáng)噪聲背景中的正弦信號(hào)的頻率值可以從同步誤差的空間譜中準(zhǔn)確得到。圖中的多條曲線是以被測(cè)信號(hào)的周期長(zhǎng)度為基本單位，取其1倍～10倍長(zhǎng)度的同步誤差數(shù)據(jù)，用MUSIC算法計(jì)算得到?？梢钥闯鲭S著數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加，頻率估計(jì)值不斷逼近實(shí)際值。當(dāng)長(zhǎng)度為被測(cè)信號(hào)周期長(zhǎng)度的4倍時(shí)，得到的頻率值分別為0.99 Hz和49 Hz，與實(shí)際值基本一致。

2 系統(tǒng)檢測(cè)特性分析

2.1 幅值與頻率的檢測(cè)范圍

接入的被測(cè)信號(hào)使Lorenz系統(tǒng)的相空間軌跡出現(xiàn)擾動(dòng)，進(jìn)而對(duì)其運(yùn)行狀態(tài)產(chǎn)生影響。為此，需要對(duì)被測(cè)信號(hào)幅值與頻率的有效檢測(cè)區(qū)間進(jìn)行分析。我們采用維持Lorenz系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，獲取輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的分岔圖，以及維持被測(cè)信號(hào)信噪比不變，獲取同步誤差信噪比的變化曲線的方法分別進(jìn)行研究。結(jié)果如圖6所示。

圖6(a)可以看出，引入的待測(cè)信號(hào)改變了Lorenz系統(tǒng)的原有動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)幅值為45、104和167時(shí)，系統(tǒng)處于狀態(tài)轉(zhuǎn)化的臨界點(diǎn)。根據(jù)前文的分析可知，頻率檢測(cè)要求系統(tǒng)運(yùn)行在混沌態(tài)。通常來說被測(cè)微弱信號(hào)的幅值較小，大多處于0

2.2 方法對(duì)比

基于Lorenz混沌同步系統(tǒng)的未知頻率檢測(cè)方法與現(xiàn)有的混沌類檢測(cè)方法在檢測(cè)原理和實(shí)現(xiàn)方法上并不相同。分析新方法與現(xiàn)有混沌類檢測(cè)方法在構(gòu)建模型、測(cè)量范圍、檢測(cè)參數(shù)、檢測(cè)效率四個(gè)方面的區(qū)別，其結(jié)果如表1所示。

其中，方法1是基于單一Duffing振子，檢測(cè)被測(cè)信號(hào)的幅值；方法2和3采用多個(gè)Duffing振子組成陣列，分別基于間歇混沌現(xiàn)象和優(yōu)化算法匹配被測(cè)信號(hào)的頻率；方法4基于Chua電路和自適應(yīng)控制算法檢測(cè)信號(hào)的頻率；新方法基于Lorenz系統(tǒng)和MUSIC算法獲取信號(hào)頻率。

根據(jù)上述方法的檢測(cè)機(jī)理可知，方法1,2,3是需要將系統(tǒng)設(shè)定在Duffing振子狀態(tài)轉(zhuǎn)換的臨界點(diǎn)，并通過狀態(tài)轉(zhuǎn)換情況進(jìn)行判定。若輸入信號(hào)疊加Duffing振子系統(tǒng)內(nèi)原有策動(dòng)力后所產(chǎn)生信號(hào)的幅值超過系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換的下一臨界點(diǎn)，將無法引發(fā)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)改變，從而引發(fā)誤判。因此，輸入信號(hào)的幅值大小不能超過兩個(gè)臨界點(diǎn)之間的區(qū)間長(zhǎng)度。當(dāng)使用方法1,2,3中Duffing振子的結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)，輸入信號(hào)的有效幅值輸入?yún)^(qū)間為[0,0.5]。方法4基于Chua電路，進(jìn)行檢測(cè)時(shí)要求信后輸入前后系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行在混沌態(tài)，避免進(jìn)入周期態(tài)和發(fā)散態(tài)。當(dāng)Chua電路采用方法4中結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)，輸入信號(hào)的有效幅值區(qū)間為[0,0.014]。根據(jù)上文的研究可知，新方法基于Lorenz系統(tǒng)構(gòu)建，輸入信號(hào)的幅值在區(qū)間[0,45]內(nèi)時(shí)，均可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)。因此，對(duì)比上述方法的可測(cè)量幅值區(qū)間可以得出：S?S1=S2=S3?S4。

方法1無法測(cè)量信號(hào)的頻率值，方法2和方法3的頻率檢測(cè)范圍理論上可以通過增加振子個(gè)數(shù)或動(dòng)態(tài)調(diào)整策動(dòng)力參數(shù)的方式來滿足任意頻率區(qū)間的檢測(cè)需求。但增加振子個(gè)數(shù)會(huì)使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，大大增加系統(tǒng)成本。在相同構(gòu)建成本的約束條件下有：F≈F4?F3≈F2?F1。

方法2需要按照掃頻方式逐步匹配的頻率值，方法3則需要不斷迭代求解信號(hào)頻率，這都會(huì)大大增加檢測(cè)時(shí)間，進(jìn)而影響檢測(cè)效率。根據(jù)相關(guān)實(shí)驗(yàn)有：T≈T4?T1?T3?T2。

由此可見，基于Lorenz系統(tǒng)構(gòu)建的混沌同步系統(tǒng)與現(xiàn)有混沌類檢測(cè)方法相比，在有效幅值、頻率檢測(cè)區(qū)間和檢測(cè)效率上均具有優(yōu)勢(shì)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了對(duì)上述方法的有效性進(jìn)一步進(jìn)行檢驗(yàn)，采用電容、電阻、運(yùn)算放大器(LM741)和模擬乘法器(AD633)，搭建實(shí)際Lorenz系統(tǒng)混沌同步檢測(cè)電路，如圖7所示。

圖中左側(cè)電路為同步電路的驅(qū)動(dòng)端，右側(cè)電路為響應(yīng)端。運(yùn)算放大器和模擬乘法器的供電電壓分別為±18 V和±10 V。列出驅(qū)動(dòng)端電路的狀態(tài)方程有

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式中，A，B，C處的電壓值VA，VB，VC與Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量xd，yd，zd相對(duì)應(yīng)。r(t)為輸入的被測(cè)信號(hào)，由正弦信號(hào)和白噪聲疊加而成。參照上文仿真的Lorenz系統(tǒng)參數(shù)值，C1=C2=C3=0.1 μf，R1，R2，R3，R4，R6，R7，R8，R10，R11，R12，R14為10 kΩ，R5=2 kΩ，R9=100 kΩ，R13=38 kΩ。而響應(yīng)端電路的狀態(tài)方程與上式類似，所用元件的參數(shù)值與驅(qū)動(dòng)端同一位置處的元件保持一致。此時(shí)同步電路的狀態(tài)方程與上文Lorenz同步系統(tǒng)的狀態(tài)方程(3)和(4)完全一致。

圖7 Lorenz系統(tǒng)混沌同步檢測(cè)電路圖

采用信號(hào)發(fā)生器疊加幅值為0.001，頻率為30 Hz的正弦信號(hào)和白噪聲接入該電路，同時(shí)記錄上述各點(diǎn)處的電壓值，采樣率取100 kHz，記錄時(shí)長(zhǎng)為0.2 s。繪制系統(tǒng)的相空間軌跡圖和同步誤差空間譜，如圖8所示。

上圖可見，所設(shè)計(jì)的Lorenz同步檢測(cè)電路運(yùn)行在混沌態(tài)，計(jì)算接入被測(cè)信號(hào)后同步誤差的空間譜，通過峰值可以觀察到此時(shí)被測(cè)信號(hào)的頻率值為30 Hz，與實(shí)際輸入的被測(cè)信號(hào)完全一致。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于混沌同步系統(tǒng)測(cè)量強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)頻率值的新方法，采用Lorenz系統(tǒng)構(gòu)建了相應(yīng)的檢測(cè)模型，研究了系統(tǒng)的檢測(cè)機(jī)理、參數(shù)設(shè)定準(zhǔn)則和有效檢測(cè)范圍，對(duì)比分析了新方法與現(xiàn)有混沌類檢測(cè)方法在模型結(jié)構(gòu)、可測(cè)量參數(shù)和檢測(cè)效率等方面的區(qū)別，并搭建檢測(cè)電路進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。新方法利用了混沌系統(tǒng)的可同步性，采用MUSIC算法直接從同步誤差獲取待測(cè)信號(hào)的頻率值，在保留混沌系統(tǒng)優(yōu)良檢測(cè)特性的同時(shí)，解決了現(xiàn)有方法參數(shù)設(shè)定復(fù)雜和系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)判定困難的問題，大大提升了檢測(cè)效率和適用性，有利于應(yīng)用于實(shí)際工程，還可與傳統(tǒng)時(shí)頻域信號(hào)處理方法進(jìn)行結(jié)合，形成新的微弱信號(hào)檢測(cè)方法，為檢測(cè)低信噪比條件下的微弱信號(hào)提供新的途徑。