翻轉動能對基礎隔震剪力墻結構高寬比限值的影響分析

賴正聰， 潘 文， 白 羽， 葉燎原

(1. 昆明理工大學，建筑工程學院， 昆明 650500；2. 云南省抗震工程技術研究中心， 昆明 650500； 3. 云南師范大學， 昆明 650500)

基礎隔震技術通過在建筑底部與基礎之間曾設柔軟隔震層，延長結構周期、降低地震力、減小結構地震反應。文獻[1-3]根據(jù)歷次震害調查結果指出，隔震結構地震反應可降低至非隔震結構的1/8～1/2,遭受設防烈度及其以上強度地震后，非隔震結構多數(shù)進入塑性甚至破壞、倒塌，而隔震結構基本保持彈性。相比較非隔震結構而言，基礎隔震結構在抵抗可能遭遇的超罕遇烈度地震作用方面，具有更高的安全儲備，優(yōu)勢更為顯著。目前在世界范圍內對隔震技術的研究、應用正逐漸由多層建筑向高寬比較大的高層建筑延伸。相對于已普遍應用的多層隔震技術，高層建筑隔震尚需針對抗地震傾覆等問題作進一步探索及研究。

文獻[4]基于反應譜理論給出結構平動方向上的動力加速度響應及由此引起的水平地震作用傾覆力矩，通過傾覆翻轉靜態(tài)力矩平衡計算隔震層翻轉角，給出了不考慮轉動慣性力所引起的動力效應情況下的基礎隔震結構對應不同阻尼比及場地條件的高寬比限值。

文獻[5]對高寬比分別為2.5和5的兩個隔震結構進行了地震模擬振動臺對比試驗研究，發(fā)現(xiàn)大高寬比結構較小高寬比結構的傾角反應更為劇烈，意味著上部結構將發(fā)生翻轉運動，并具有相應轉動動能。文獻[6]對簡化的隔震結構三質點模型進行分析，得出高階振型影響可不考慮的結論。文獻[7]則通過建立高層框剪隔震結構有限元模型，對高層隔震結構減震機理進行探討，并得出隔震后高階振型將顯著衰減的結論。

剪力墻結構作為我國高層建筑廣泛采用的結構型式，其自身抗側移剛度較大，相對側移變形較小?；A隔震剪力墻結構在地震作用下，上部結構水平向將呈現(xiàn)出近似整體剛性平移、翻轉的動力響應特征[8]。在對其進行動力響應分析時，考慮隔震層翻轉角影響的情況下，在單一方向上取前兩階振型計算所得振型參與質量系數(shù)便可達95%以上[9]。

本文針對抗側剛度相對較大、質量沿高度分布相對均勻的基礎隔震剪力墻結構，建立了同時考慮平動及翻轉動能的兩自由度簡化分析模型。并結合我國加速度反應譜，以隔震支座不受拉為傾覆控制條件，闡述了考慮轉動動能影響的高寬比限值動力分析方法。通過與靜力法作比較，揭示翻轉動能對基礎隔震剪力墻結構高寬比限值的影響。

1 靜力傾覆分析

首先，針對圖1所示的基礎隔震高層剪力墻結構作如下基本假定：① 上部結構質量及抗側移剛度沿高度分布較為均勻，所受到的水平地震力近似呈矩形分布；② 隔震層頂部梁板剛度較大，忽略彈性變形影響；③ 隔震層同規(guī)格支座對稱布置；④ 以隔震支座不受拉為傾覆控制條件。

上部結構在水平地震力(僅考慮單一水平方向)作用下，對隔震層產生的傾覆力矩MEh將使隔震層產生翻轉角θ，若將其簡化為單自由度模型，僅考慮水平向的振動，則隔震層邊緣支座由此引起的最大軸向力NBEh為

(1)

式中：B為隔震層寬度，KVB為邊緣隔震支座豎向剛度，Kθ為隔震層整體等效抗翻轉剛度。

圖1 基礎隔震高層剪力墻結構簡化分析模型

根據(jù)基本假定，傾覆力矩MEh可按下式計算

MEh=FEKlc

(2)

式中：lc為隔震層距離上部結構質心的高度，F(xiàn)EK為上部結構所受到的最大水平地震作用標準值，且有

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)可得

(4)

顯然，以上分析實質上僅考慮了水平向的動力過程，而將傾覆翻轉方向視為靜力過程，通過靜態(tài)力矩平衡計算翻轉角，不考慮轉動慣性力的影響。本文將該方法稱為等效靜力傾覆分析法。對于剛度較大的剪力墻結構，隨著高寬比的增大，由其整體翻轉運動所產生的轉動動能趨于顯著，其影響需作進一步的研究。

2 考慮翻轉動能影響的動力傾覆分析

2.1 動力微分方程

假設上部結構質量為m，總高度為H，分析方向上結構寬度為B，整體繞質心C的等效轉動慣量為Jc，隔震層整體水平等效剛度為Kh，阻尼系數(shù)為Ch。由隔震支座豎向阻尼產生的隔震層整體等效翻轉阻尼系數(shù)為Cθ，Kθ意義同上。

以上部結構質心C為原點建立坐標系，以質心水平位移xc和結構轉角θ為廣義坐標，則系統(tǒng)總動能T包含整體平動及翻轉動能兩部分，可表達為

(5)

系統(tǒng)勢能為

(6)

將式(5)、(6)代入Lagrange方程，得到振動微分方程

(7)

其中

將式(7)展開便得

(8)

式(8)第1式等號兩邊同乘lc，移項整理后得

(9)

代入式(8)第2式整理后得到轉動動力方程

(10)

由式(10)可見，等效靜力傾覆分析方法實質上僅考慮了翻轉恢復力項，而忽略轉動慣性力和阻尼力項，將翻轉動力問題簡化為靜力問題。本文將式(10)考慮傾覆動力效應的方法稱為動力傾覆分析法。

2.2 復模態(tài)分析方法

由于地震動記錄往往具有較寬的頻譜，能量分布較復雜，在此，首先針對圖1所示的基礎隔震剪力墻結構體系進行復頻響分析。

對于具有非經(jīng)典阻尼的振動系統(tǒng)，可采用復模態(tài)方法對其進行討論。在式(7)基礎上補充以下方程

(11)

則由式(7)、(11)可得狀態(tài)方程

(12)

其中，

對于自由振動情況f′=0，于是有

(13)

求解該方程可得2對共軛復特征值及對應的共軛復特征向量，分別以矩陣形式表示為

*1λ*2]

(14)

(15)

式中，“*”表示共軛。

為進行由物理坐標到模態(tài)坐標的變換，令

y=Uq

(16)

其中，q=[q1q2q3q4]T，稱為復模態(tài)坐標向量。

根據(jù)復模態(tài)理論，對應于狀態(tài)方程的模態(tài)振型關于矩陣A、B有加權正交特性[10-11]。于是，可得由狀態(tài)方程變換到復模態(tài)空間后的振動微分方程

*2])-1UTf′

(17)

其中，diag[a1…a*2]=UTAU。

若f′為頻域激振力

(18)

則可設q的解為

q=Qejωt

(19)

代入式(17)，整理后得

*])-1UTF′

(20)

其中，E為4×4階的單位陣。進而可得

*])-1UTF′

(21)

根據(jù)式(16)得

(22)

顯然，{X}即為與前述微分方程式(7)中位移列向量對應的2×1復振幅列向量，且其表達式可寫為

(23)

2.3 算例復頻響分析

假設圖1所示簡化結構總質量m=22.845 t、寬度A=2.024 m、B=1.824 m、高度H=7.576 m，在結構底部四個角部位置分別布置一個LRB200鉛芯支座，各支座屈服前剛度Ku=1.16×106N/m，屈服后剛度Kd=1.2×105N/m，水平等效剛度Keq=1.8×105N/m，豎向剛度KV=2.985×107N/m。參照以往試驗結果，支座水平、豎向等效黏滯阻尼比分別取0.15、0.06。

為分析不同高寬比的情況，首先對高寬比的改變原則作如下說明：① 固定結構寬度A和B，改變結構高度H。結構質量隨高寬比的變化同比例改變；② 隔震支座水平及豎向剛度隨質量同比例改變。

利用式 (23)，針對高寬比為3和6的兩個結構計算復振幅的模，所得歸一化的幅值頻響曲線如圖2所示?？梢姡瑑煞N高寬比結構對應頻響曲線總體規(guī)律基本相同，保持激勵力Fejωt幅值不變的情況下，隨著激勵頻率ω的增大結構先后出現(xiàn)平動和轉動共振，對應頻率分別為ω1、ω2。平動共振時，平動位移及隔震層翻轉角復頻響幅值同步達到最大，轉動共振引起的轉角幅值遠小于平動共振時的值。

(a) H/B=3

(b) H/B=6

針對地震波中蘊含復雜頻率分量的問題，對特定激勵頻率ω，給出從1到10遞增的10個不同激勵力幅值，進一步分析得到圖3所示三維復頻響曲面圖?？梢姡瑢τ谄絼雍娃D動共振，其響應幅值均隨著激勵幅值的增大而增大；激勵幅值增大到10的時候，轉動共振引起的轉角幅值才接近于激勵幅值為1時平動共振所引起的值。

以上分析表明，結構在頻率同于平動自振頻率的地震波分量激勵下，引起系統(tǒng)產生平動共振、出現(xiàn)最大平動位移幅值的同時，也使得隔震層翻轉角幅值達到最大?？梢?，基礎隔震剪力墻結構隔震層最大翻轉角主要受平動共振頻率對應的分量控制。

現(xiàn)對由支座豎向阻尼引起的隔震層整體轉動阻尼的影響進行分析。保持激勵力幅值及隔震支座水平等效阻尼比ζh=0.15不變，改變支座豎向等效阻尼比ζV，分析不同高寬比隔震結構復頻響曲線平動共振峰對應的平動及翻轉角位移幅值，所得曲線如圖4所示。

(a) 隔震層轉角三維幅頻圖(H/B=3)

(b) 隔震層轉角三維幅頻圖(H/B=6)

(a) 水平相對位移

(b) 隔震層翻轉角

由圖4可見，隔震支座豎向阻尼比從0.01增大到0.2，不同高寬比結構水平位移及隔震層翻轉角頻響峰值幾乎不會發(fā)生變化。由此表明，支座豎向阻尼，即隔震層轉動阻尼對結構位移復頻響幅值幾乎沒有影響，意味著可以不考慮式(15)中的Cθ項。

需要說明的是，上述分析中激勵力幅值為任意特定值，因此，圖4所示縱坐標的數(shù)值不具有一般性，但這不影響所討論問題的一般規(guī)律。

3 考慮豎向地震作用及重力的高寬比限值

3.1 考慮翻轉動能影響的高寬比限值公式

根據(jù)以上復頻響分析結果，忽略式(15)中的Cθ項便得

(24)

θ=θ0eiωh0t

(25a)

(25b)

其中，θ0為翻轉角幅值。

將式(25)代入式(24)，移項整理后可得

(26)

于是，水平地震作用下，隔震層邊緣支座軸力NBEh為

(27)

結構所受到的豎向地震作用標準值FEVK為[12]

FEVK=αVmaxGeq

(28)

式中，αVmax為豎向地震影響系數(shù)最大值，其數(shù)值取水平地震影響系數(shù)αmax的65%，Geq為上部結構等效總重力荷載，取重力荷載代表值的75%。則式(28)可重寫為

FEVK=0.487 5αmaxG

(29)

于是，由豎向地震力產生的隔震層邊緣支座豎向軸力NBEV可表達為下式

(30)

式中，KV為隔震層支座總豎向剛度。

對于隔震結構，重力二階效應所產生的底部傾覆力矩可忽略[13-14]，那么，上部結構重力所引起的隔震層邊緣支座軸力NBG可表達為下式

(31)

采用荷載基本組合計算邊緣支座軸力

NB=γEhNBEh+γEVNBEV+γGNBG

(32)

式中，γEh、γEV、γG分別為水平、豎向地震作用、重力荷載分項系數(shù)。γEh、γEV分別取1.3、0.5，由于重力對結構傾覆是有利的，因此，γG取1。

以邊緣支座不出現(xiàn)拉應力為上部結構傾覆的控制條件，則有

1.3NBEh+0.5FEVK≤NBG

(33)

將式(27)、(30)、(31)代入式(33)得

(34)

將隔震層整體轉動剛度寫為

(35)

其中，Ri=2li/B，KVi為第i排支座的豎向剛度，li為第i排支座中心到隔震層質心的距離(圖5)，n為支座總排數(shù)。

圖5 隔震層

對于上部結構剛度較大、質量沿高度分布較為均勻(不同于樓層質量集中的框架結構)的剪力墻結構，其繞質心的轉動慣量Jc可近似表達為

(36)

將式(35)、(36)代入式(34)，移項整理后可得

(37a)

其中，

(37b)

可見，式(37a)中“≤”號左邊為關于高寬比H/B的二次函數(shù)。由于系數(shù)a在αmax可能的取值范圍內都大于零，因此，該二次函數(shù)圖像為開口向上的拋物線，如圖6所示，其中NB為邊緣支座軸力。

圖6 隔震層邊緣支座軸力隨高寬比變化曲線(陰影部分)

令該二次函數(shù)等于零，求解方程所得正值解即為考慮轉動動能影響的高寬比限值計算公式

(38)

式(38)中，隔震結構基本周期T=2π/ωh0，α1的值可根據(jù)反應譜確定，其為周期T、場地卓越周期Tg以及阻尼比ζ的函數(shù)。

3.2 上部結構質量及支座總豎向剛度的影響

然而，盡管支座總豎向剛度與上部結構質量同比例變化的過程中，計算所得高寬比限值不發(fā)生變化，但計算結果大小卻與二者比值有關。為闡述該比值的影響規(guī)律，現(xiàn)基于前述算例，支座總豎向剛度KV固定不變，而上部結構質量m依次由0.2m0增大到2m0(m0為算例上部結構質量)，則上述比值亦必然得到不同的值，以此分析高寬比限值的變化情況(其中，αmax=0.9，Tg=0.55)。圖7為高寬比限值相對變化量(定義為不同質量比與m/m0=1時對應高寬比限值之間的相對變化量)隨上部結構質量比的變化曲線。

圖7 (H/B)max隨m/m0的變化曲線

由圖7可見，支座總豎向剛度KV不變的情況下，高寬比限值隨著上部結構質量比的增大而稍有減小，意味著KV/m比值越大、高寬比限值越大。特定場地周期Tg下，隔震結構周期越小，該比值的影響越顯著。盡管總體變化幅度不太大，但也表明了，在其他設計條件不變的情況下，減輕上部結構質量、增大隔震支座總豎向剛度，對基礎隔震剪力墻結構高寬比限值的提高是有利的。

3.3 結構周期的影響

采用前述算例分析7～9度罕遇地震作用下、不同場地卓越周期Tg對應的高寬比限值(H/B)max隨周期比T/Tg的變化規(guī)律，可得圖8所示的曲線，其中，7、8、9度對應αmax分別取0.5、0.9、1.4。

圖8 (H/B)max隨T/Tg的變化曲線

可以看出，不同烈度地震作用下，基礎隔震剪力墻結構高寬比限值均隨著周期的增大而增大。特定結構周期比下，烈度越大、高寬比限值越小。場地卓越周期越小、特定周期比對應的高寬比限值越小。各曲線在T=5Tg處均會出現(xiàn)明顯的拐點，該拐點之前的曲線隨周期增大快速上升，之后，顯著趨于平緩。這是由于該拐點前后分別對應于我國加速度反應譜的曲線和直線下降段，而曲線段地震影響系數(shù)α隨周期增大而快速減小，直線段則減小得相對較慢。

3.4 隔震層水平等效阻尼比的影響

改變算例中隔震層水平等效阻尼比ζh，使其在0.05～0.3內取不同的值，計算對應高寬比限值(αmax=0.9，Tg=0.55)。定義βn為不同阻尼比與ζh=0.15(0.15為算例阻尼比取值)時對應高寬比限值的比值，可得圖9所示的曲線。

由圖9可見，不同周期比T/Tg對應βn均隨隔震層水平等效阻尼比的增大而增大。不同周期比對應的曲線基本重合，即隨阻尼比變化的比例基本相同。

4 等效動力與靜力傾覆分析法的比較

由前所述可知，等效動力與靜力傾覆分析法的本質區(qū)別在于，計算水平地震作用所引起隔震層邊緣支座軸力NBEh時，考慮轉動慣性力與否。

為更為直觀地對比兩種方法的差異，現(xiàn)采用5條天然波El Centro、Holly、TR1、TRZ59、TRC64，2條人工波REN1、REN2共7條地震波作為激勵(見圖10)，加速度峰值為0.5 g，利用Newmark-β法，結合算例參數(shù)對圖1所示不同高寬比(改變原則見2.3)的簡化模型進行時程分析，隔震支座水平恢復力模型采用Bouc-Wen非線性滯回模型。具體如下：

圖9 βn隨ζh的變化曲線

(1) 首先計算僅考慮平動的單自由度模型最大水平絕對加速度，并由此計算最大水平地震傾覆力矩；

(2) 將所得最大傾覆力矩分別代入靜力法及動力法公式，計算NBEh的值；

(3) 對同時考慮平動及翻轉的2自由度模型進行時程分析，直接計算隔震層翻轉角，并根據(jù)該轉角及支座豎向剛度計算相應NBEh值；

(4) 以第3步計算所得NBEh值為相對精確值，分析動力法及靜力法計算結果相對于該值的相對偏差。

(a) El Centro波

(b) Holly波

(c) TR1波

(d) TRZ59波

(e) TRC64波

(f) REN1波

(g) REN2波

圖11所示為各條波作用下，兩種方法分析所得邊緣支座最大軸力NBEh的平均值與相對精確值之間的相對偏差?？梢?，靜力法和動力法計算結果平均偏差均為負偏差，計算結果均偏小。隨著高寬比的增大，靜力法計算結果偏差顯著增大，高寬比為6時，該偏差已超過20%，計算結果偏小得多，不利于結構安全。動力法計算結果偏差明顯小于靜力法，且隨著高寬比的增大，該偏差值有所減小。以上結果表明，考慮轉動動能影響的動力法計算結果準確性顯著高于靜力法，且計算結果較靜力法更偏于安全。

若式(33)中的NBEh按式(4)計算，則無需求解一元二次方程，直接經(jīng)簡單移項、整理后求解可得文獻[4]所給出的高寬比限值等效靜力計算式對比式(38)、(39)可見，相比較動力法而言，靜力法并未考慮上部結構質量的影響。

圖11 邊緣支座軸力NBEh平均相對偏差

(39)

現(xiàn)根據(jù)算例所給支座布置方式以及相關參數(shù)，分別利用式(38)、(39)計算基礎隔震剪力墻結構以支座不受拉為控制條件的高寬比限值，以對比兩種方法的差異。圖12表示不同阻尼比、場地周期和烈度對應兩種方法計算高寬比限值相對偏差err與隔震后結構基本周期比的關系曲線。其中err=(靜力法結果-動力法結果)×100/動力法結果。

由圖12可見，采用靜力法計算所得以支座不受拉為控制條件的高寬比限值，相對于動力法結果均為正偏差，說明忽略上部結構轉動動能將導致高寬比限值偏大。同時也可看出，阻尼比越大，兩種方法計算結果偏差越大。隨著結構周期的增大(隔震層水平剛度減小)，系統(tǒng)趨于以平動為主，翻轉動能的影響也隨之減小，因而，該偏差值逐漸減小。

(a) αmax=0.5、Tg=0.3 s

(b) αmax=0.5、Tg=0.45 s

(c) αmax=0.5、Tg=0.65 s

(d) αmax=0.9、Tg=0.3 s

(e) αmax=0.9、Tg=0.45 s

(f) αmax=0.9、Tg=0.65 s

(g) αmax=1.4、Tg=0.3 s

(h) αmax=1.4、Tg=0.45 s

(i) αmax=1.4、Tg=0.65 s

烈度越低(αmax越小)，偏差越大，反之則反。對應同樣的場地周期Tg=0.3 s，當αmax=0.5(7度罕遇地震)、ζ=0.1、T/Tg=3時，偏差達70%，而當αmax=1.4(9度罕遇地震)時，對應偏差不到14%。這意味著，烈度越低，忽略翻轉動能所造成的影響越發(fā)顯著。特定烈度地震作用下，隨著場地周期Tg的增大，相同周期比T/Tg對應的偏差趨于減小。這是由于地震動周期越長，周期比不變也即意味著隔震結構周期將會更長，則結構越是以平動為主，假設周期無限制地增大到一定程度時，結構將不再翻轉，那么，翻轉動能的影響幾乎不存在。

綜上所述，基礎隔震高層剪力墻結構的上部結構翻轉動能對高寬比限值具有顯著的影響。同時，以上分析也表明，分析隔震結構高寬比限值時，應當充分考慮場地條件、地震分組、結構周期、阻尼比等因素的影響。

需要進一步補充說明的是，由前述對周期、阻尼比的影響分析可以看到，增大周期和阻尼比均有利于高寬比限值的提高。然而，周期太大必然導致隔震層側移過大，而增大隔震層等效阻尼比勢必降低隔震效能[15]。實際隔震結構高寬比限值的確定尚需綜合考慮上述問題。本文旨在對比分析上部剪力墻結構整體翻轉動能的影響，所給高寬比限值均以支座不受拉為控制條件而確定。

5 結 論

通過以上分析，可得出如下結論：

(1) 上部結構翻轉動能對基礎隔震剪力墻結構以支座不受拉為控制條件的高寬比限值的影響不容忽視。本文提出的考慮翻轉動能影響的動力傾覆分析法較僅考慮平動動能的等效靜力法更為準確，且更偏于安全。

(2) 等效靜力法相對于動力法計算結果偏差，隨著地震烈度、隔震后結構周期、場地卓越周期的增大而減小，隨隔震層水平等效阻尼比的增大而增大。

(3) 在其他設計條件不變的情況下，減輕上部結構質量、增大隔震支座總豎向剛度，有利于基礎隔震剪力墻結構高寬比限值的提高。

(4) 分析基礎隔震剪力墻結構高寬比限值時，應當充分考慮場地條件、地震分組、結構周期、阻尼比等因素的影響。