水下橢圓形隧道穩(wěn)定滲流的近似解

賀志軍，莫海強(qiáng)，鄒金鋒，李超

水下橢圓形隧道穩(wěn)定滲流的近似解

賀志軍1，莫海強(qiáng)2，鄒金鋒2，李超2

(1. 中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

利用復(fù)變函數(shù)數(shù)值保角映射結(jié)合最優(yōu)化技術(shù)，推導(dǎo)在完全飽和、均勻和各向同性半無限含水層中水平地下橢圓形隧道二維穩(wěn)定滲流的近似解析解。在考慮水下隧道周邊恒定水頭和水壓邊界條件下，通過近似解可以計(jì)算隧道周圍水頭和孔隙水壓的分布。此外，對(duì)基于本文求出的近似解與有限差分FLAC3D分別計(jì)算在恒定水壓邊界條件下隧道周圍的孔隙水壓作對(duì)比。研究結(jié)果表明：近似解求得隧道周圍孔隙水壓與有限差分?jǐn)?shù)值模擬的解吻合度高，對(duì)于水下橢圓形隧道初步設(shè)計(jì)來預(yù)測(cè)隧道周圍水壓分布是有意義的。

數(shù)值保角映射；最優(yōu)化技術(shù)；穩(wěn)定滲流；橢圓形隧道；近似解析解；水下隧道

隧道作為一種重要的交通基礎(chǔ)設(shè)施，廣泛應(yīng)用于工程建設(shè)中。對(duì)于水下隧道，由于處于高水壓且水源充足，其滲水問題遠(yuǎn)比陸地隧道嚴(yán)重，且滲流對(duì)水下隧道的設(shè)計(jì)和建設(shè)影響較大。對(duì)于水下非圓形隧道，其隧道周邊的滲流場(chǎng)會(huì)受到隧道形狀影響。在隧道形狀研究方面，范廣勤等[1]應(yīng)用六角形去逼近天幕線拱形直墻洞室，適用性較差；呂愛鐘等[2?3]采用最優(yōu)化技術(shù)確定任意截面形狀巷道的映射函數(shù)，同時(shí)給出非圓整體式支護(hù)保角映射成圓環(huán)域，克服了以往按單連通域方法計(jì)算雙連通域問題的缺陷；陸文超等[4]在Verruijt[5]成果的基礎(chǔ)上，利用復(fù)變函數(shù)法研究了地面荷載下淺埋隧道圍巖的應(yīng)力問題。在隧道滲流場(chǎng)研究方面，Harr等[6?8]根據(jù)鏡像法獲得隧道周圍地層的孔隙水壓力分布；Joo等[9]研究了襯砌外水頭和隧道涌水量的關(guān)系；王秀英等[10]獲得山區(qū)高水位隧道注漿圈外水頭的表達(dá)式；Tani[11]提出了基于Mobius變換和傅里葉級(jí)數(shù)的滲流方程；Kolymbas等[12?13]用保角變換獲得不同邊界條件對(duì)應(yīng)的解析解；HUANGFU等[14]研究一種圓形水下隧道在恒定水頭和隧道周邊恒定水壓邊界條件下的穩(wěn)定滲流場(chǎng)的解析解，并用FLAC3D進(jìn)行了驗(yàn)證。綜上所述，對(duì)于隧道滲流場(chǎng)的研究，大部分學(xué)者側(cè)重于對(duì)圓形隧道的分析，對(duì)于許多有工程意義的孔口問題，不能像圓孔那樣僅由有限項(xiàng)組成的準(zhǔn)確的映射函數(shù)，本文運(yùn)用最優(yōu)化技術(shù)復(fù)合形法，經(jīng)過多次保角變換，基于HUANGFU等[14]研究擴(kuò)展，在像平面中根據(jù)達(dá)西定律，求解拉普拉斯方程得出水下任意孔形隧道穩(wěn)定滲流的近似解，并用FLAC3D驗(yàn)證解的正確性。

1 基本假設(shè)

為了求解這個(gè)問題，做出如下假設(shè)：1) 地表水平，隧道橫截面為橢圓形，位于含水層中；2) 滲流為無旋穩(wěn)定；3) 流體不可壓縮；4) 隧道周邊地層為各向同性的多孔連續(xù)介質(zhì)。建立模型如圖1所示。隧道中心距地面的深度用表示，橢圓隧道長(zhǎng)軸和短軸分別用和表示，地面以上的水深為h。

2 保角變換

根據(jù)達(dá)西定律和質(zhì)量守恒定律，隧道周邊二維穩(wěn)定滲流遵循拉普拉斯方程：

其中：

圖1 水下隧道的幾何模型

Fig. 1 Model of seepage around underwater tunnel

保角變換的變換函數(shù)一般分為解析法和數(shù)值方法。對(duì)于解析法，變換函數(shù)只有在極少數(shù)的情況下能用初等函數(shù)表示，所以很多情況下只能指出變換函數(shù)的存在，而不能完全解出變換函數(shù)，由于在實(shí)際工程問題的復(fù)雜性，很多情況下必須利用數(shù)值方法求解滿足給定條件下的保角變換問題。由于本文討論的是半空間下橢圓孔問題，其變換函數(shù)不能直接用初等函數(shù)表示，所以只能用數(shù)值方法構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來逼近變換函數(shù)。根據(jù)對(duì)稱性，取一半結(jié)構(gòu)分析，將原平面(平面)滲流區(qū)域映射到像平面(平面)的矩形區(qū)域分3步，變換模型如圖2所示，其中相鄰的連線表示各個(gè)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的邊界，P，P分別指邊和邊的勢(shì)函數(shù)，但是其中(b)變換到(c)時(shí)利用了數(shù)值保角變換，變換函數(shù)存在一定的誤差。

2.1 第1次變換

Verruijt[5]運(yùn)用分式線性變換，把原平面含圓形孔洞的半平面體映射成像平面單位圓環(huán)域，對(duì)于任意孔形的半平面只能將外表面也就是地表邊界變換成單位圓，隧道邊界變換為一個(gè)非圓圖形。分式線性變換公式如下；

式中：z=x+iy，為滲流區(qū)域中的點(diǎn)集；d為隧道中心的在y方向的高度的一半；h為隧道高度中心距地面的深度。通過輸入隧道邊界點(diǎn)位，可以明確的觀察到變換后內(nèi)邊界非圓圖形，如圖2(a)和2(b)。

2.2 第2次變換

式中：為正實(shí)數(shù)；C一般為復(fù)數(shù)，因?yàn)閷?duì)稱性，所以C必為實(shí)數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)?。?/p>

2.3 第3次變換

將半圓環(huán)區(qū)域單葉保形變換為矩形區(qū)域，如圖2(c)~2(d)，變換函數(shù)為

通過3次保角變換，可以將半無限空間下橢圓孔問題近似轉(zhuǎn)化為矩形問題。

由于第2部數(shù)值保角變換函數(shù)精度隨著C值個(gè)數(shù)的增加，不過也導(dǎo)致式(4)的逆函數(shù)非常復(fù)雜，但是保角變換函數(shù)是單葉函數(shù)，即不同域中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以通過式(3)和式(4)得：

式(8)為隱函數(shù)方程，可以求出平面與平面之間的關(guān)系，再將式(8)代入式(7)就可以得到平面變換為平面的變換函數(shù)，即：

3 問題的求解

3.1 考慮隧道周邊恒定水頭

返回原平面(平面)：

將式(2)代入上式(12)，可得

3.2 考慮隧道周邊恒定水壓

假設(shè)滲流區(qū)域流體是不可壓縮且是各向同性，均勻的?？傻茫?/p>

返回原平面，上式為：

然而上述壓力解推導(dǎo)是在忽略重力的影響下。實(shí)際上壓力跟容重和深度有關(guān)，因此對(duì)壓力進(jìn)行修正：

將式(19)代入(18)得：

4 近似解驗(yàn)證

通過第1次變換，將地表映射為單位圓，內(nèi)邊界為非圓圖形，變換函數(shù)如下：

第2次變換，分別在內(nèi)邊界和外邊界上取一定坐標(biāo)點(diǎn)，通過上述以勞倫級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)的復(fù)合形法求出水下橢圓隧道的數(shù)值保角變換函數(shù)，此時(shí)式(4)表示如下：

當(dāng)=6時(shí)：1=6.084 5

將所求變換函數(shù)返回原平面的映射圖像和原模型圖像相比較，黑線為原圖形，藍(lán)色虛線表示映射圖形，如圖3。在橢圓隧道邊界最大誤差為0.233 m，在地表邊界(沿軸方向80 m內(nèi))最大誤差為0.188 m。整體映射誤差很小，符合工程要求。

圖3 原圖形與映射圖形比較

將式(22)和(23)代入式(8)中就可以得到隱函數(shù)方程，然后可以確定通過保角變換后，原、像平面點(diǎn)位之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后通過上節(jié)所述的方法求得隧道周邊的水壓值。

利用FLAC3D建立此算例下的隧道模型，隧道埋深20 m，為了消除邊界條件影響，故在數(shù)值模型方面，取計(jì)算寬度共160 m，計(jì)算深度為100 m。根據(jù)假設(shè)，地下水補(bǔ)給充足，所以數(shù)值模型邊界處水壓恒定且沿深度分布。采用單步穩(wěn)定滲流模式，計(jì)算其孔隙水壓場(chǎng)，因?yàn)楦飨蛲?，取滲透系數(shù)=10?5m/s，孔隙率為0.5，流體體積模量為=2 GPa，流體密度為=103kg/m3，數(shù)值計(jì)算模型見 圖4。

圖4 數(shù)值模型

然后由本文所推導(dǎo)的近似解求得水下橢圓隧道周圍孔隙水壓分布的計(jì)算結(jié)果，并和有限差分FLAC3D計(jì)算作比較，如圖5~6所示。

圖5 比較隧道周邊水壓分布FLAD3D(左邊)與本文解(右邊)

圖6 本文解與FLAC3D解相比較

在圖5中，從2種方法得到的孔隙水壓的等壓線可知，其中越靠近隧道，兩者結(jié)果幾乎相同，但是離隧道越遠(yuǎn)，其結(jié)果差值慢慢變大。圖6中(a)圖表示地表以下隧道中心線以上的水壓分布，即(d)中的(1-2)，除了因?yàn)閿?shù)值保角變換誤差使映射橢圓邊界向上偏移0.233 m，導(dǎo)致近似解只能在地表下14.767 m時(shí)才能計(jì)算其壓力，在大約地表下14 m上產(chǎn)生的誤差最大，近似解計(jì)算值為23.49 kPa，數(shù)值解為29.34 kPa，誤差為19.9%，但是隨著高度增加，變換函數(shù)更加精確，近似解與數(shù)值解誤差大大減小，在地表以下12 m范圍內(nèi)，最大孔隙水壓出現(xiàn)在地表，孔隙水壓值為302.25 kPa，與數(shù)值計(jì)算值300 kPa，誤差為0.75%，最大誤差為1.825%，出現(xiàn)在大約地表下8 m處，近似解計(jì)算值為170.07 kPa，數(shù)值解為167.03 kPa，本文解和有限差分解基本吻合。(b)圖表示隧道中心線以下的水壓分布，即(d)中的(3-4)，其中最大誤差是靠近在隧道附近，在地表以下26 m附近，近似解得36.72 kPa，數(shù)值解為39.73 kPa，誤差為7.56%，隨著深度增加，孔隙水壓基數(shù)變大，其誤差將越來越小。(c)圖表示地表以下20 m，過隧道中心水平線上的水壓分布，即(d)中的(5-6)，在距中心50 m范圍之內(nèi)，最大誤差為6.37%，超過50 m外，兩者結(jié)果逐漸偏離。從整體上看，誤差都比較小，說明在隧道周圍本文解與FLAC3D解幾乎匹配，驗(yàn)證本文所推導(dǎo)公式的正確性和可靠性。

5 結(jié)論

1) 運(yùn)用勞倫級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)的的復(fù)合形法求出水下橢圓隧道形狀的變換函數(shù)，由變換函數(shù)為單葉函數(shù)說明本文解收斂，當(dāng)變換函數(shù)足夠精確時(shí)，此時(shí)推導(dǎo)的解可以視為解析解。

2) 推導(dǎo)了水下橢圓隧道滲流場(chǎng)的近似解析解，并利用解出的隧道周圍水壓分布與FLAC3D解相比較，匹配度很高，證明本文解的正確性。所以在給定的假設(shè)條件下，本文解對(duì)于水下任意孔形隧道初步設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)隧道周邊水壓分布具有一定意義。

[1] 范廣勤, 湯澄波. 應(yīng)用三個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)相乘法解非圓形洞室的外域映射函數(shù)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 1993, 12(3): 255?255. FAN Guangqin, TANG Chengbo. Determination of the mapping function for the exterior domain of a non-circular opening by means of the multiplication of three absolutely convergent series[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1993, 12(3): 255?255.

[2] 呂愛鐘, 張路青. 地下隧洞力學(xué)分析的復(fù)變函數(shù)方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2007. LU Aizhong, ZHANG Luqing. Complex variable function method for mechanics analysis of underground tunnels[M]. Beijing: Science Press, 2007.

[3] 呂愛鐘. 非圓形硐室封閉整體式支護(hù)映射函數(shù)確定的新方法[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 1995, 17(4): 38?44. LU Aizhong. A new method of determination of the mapping function for a non-circle tunnel with full support [J].Geotechnical Engineering, 1995, 17(4): 38?44.

[4] 陸文超, 仲政, 王旭. 淺埋隧道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的解析解[J]. 力學(xué)季刊, 2003, 24(1): 50?54. LU Wenchao, ZHONG Zheng, WANG Xu. Analytical solution for stress field in surrounding rocks of shallow tunnel[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2003, 24(1): 50?54.

[5] Verruijt A. A complex variable solution for a deforming circular tunnel in an elastic half-plane[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2015, 21(2): 77?89.

[6] Harr M E. Groundwater and seepage[M]. McGraw-Hill, 1962.

[7] Fernandez G, Alvarez J T A. Seepage-induced effective stresses and water pressures around pressure tunnels[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1994, 120(1): 108? 128.

[8] LEI S. An analytical solution for steady flow into a tunnel[J]. Ground Water, 1999, 37(1): 23?26.

[9] Joo E J, Shin J H. Relationship between water pressure and inflow rate in underwater tunnels and buried pipes[J]. Geotechnique, 2014, 64(3): 226.

[10] 王秀英, 王夢(mèng)恕, 張彌. 計(jì)算隧道排水量及襯砌外水壓力的一種簡(jiǎn)化方法[J]. 北京交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 28(1): 8?10. WANG Xiuying, WANG Mengshu, ZHANG Mi. A simple method to calculate tunnel discharge and external water pressure on lining[J]. Journal of Northern Jiaotong University, 2004, 28(1): 8?10.

[11] Tani M E. Circular tunnel in a semi-infinite aquifer[J]. Tunnelling and Underground Space Technology Incorporating Trenchless Technology Research, 2003, 18(1): 49?55.

[12] Kolymbas D, Wagner P. Groundwater ingress to tunnels– The exact analytical solution[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2007, 22(1): 23?27.

[13] Park K H, Owatsirwong A, Lee J G. Analytical solution for steady-state groundwater inflow into a drained circular tunnel in a semi-infinite aquifer: a revisit[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2008, 23(2): 206?209.

[14] HUANGFU Ming, WANG Mengshu, TAN Zongsheng. Analytical solutions for steady seepage into an underwater circular tunnel[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2010, 25(4): 391?396.

[15] 劉惟信. 機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1997.LIU Weixin. Mechanical optimization design[M].Beijing: Tsinghua University Press, 1997.

Approximate analytical solutions for steady seepage into an underwater elliptical tunnel

HE Zhijun1, MO Haiqiang2, ZOU Jinfeng2, LI Chao2

(1. School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Based on the numerical conformal mapping of complex variable methods and the optimization techniques, the approximate analytical solutions were derived for two-dimensional, steady ground water flow into a horizontal elliptical tunnel in a fully saturated, homogeneous, isotropic, and semi-infinite aquifer. Under the conditions of constant hydraulic head and constant water pressure boundary surrounding the underwater tunnel, the distribution of hydraulic head and the pore water pressure around the tunnel can be calculated by the approximate analytical solutions. Moreover, a comparison of the approximate solutions and the finite difference FLAC3Dwas made for calculating the pore water pressure around the tunnel under constant water pressure boundary. The result shows that the solutions match well for points around the tunnel and it appears to be useful for a preliminary design of underwater tunnels to predict the water pressure distribution around the tunnel.

numerical conformal mapping; optimization techniques; steady seepage; elliptical tunnel; the approximate analytical solutions; underwater tunnel

U45

A

1672 ? 7029(2019)09? 2265 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.09.018

2018?11?17

國(guó)家重大專項(xiàng)項(xiàng)目(2017YFB1201204)

鄒金鋒(1978?)，男，河南新縣人，教授，從事巖土與地下工程研究；E?mail：zoujinfeng_csu@163.com

(編輯 涂鵬)