基于上限分析原理的巖溶樁基破壞模式與極限承載力計(jì)算

汪婧

基于上限分析原理的巖溶樁基破壞模式與極限承載力計(jì)算

汪婧

(中鐵十一局集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430061)

針對(duì)下伏溶洞頂板極限承載力問題，提出等截面樁與階梯型變截面樁的頂板極限承載力計(jì)算方法?；跇O限上限法引入摩爾庫倫準(zhǔn)則，構(gòu)建圓臺(tái)狀頂板破壞滑裂面，提出巖溶等截面樁的樁頂荷載與頂板厚度的關(guān)系式并分析式中參數(shù)對(duì)樁頂荷載與頂板厚度曲線的影響規(guī)律，同時(shí)結(jié)合算例對(duì)比數(shù)值解和解析算法的結(jié)果，論證該算法的可靠性。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合極限分析法推導(dǎo)階梯型變截面樁各變階處滑裂面的上限解，并尋找最先滿足上限解的滑裂面，提出該溶洞頂板破壞模式并推導(dǎo)出樁頂荷載與頂板厚度的關(guān)系式，通過模型試驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證計(jì)算方法的有效性。該計(jì)算方法對(duì)于上述2類截面樁的極限承載力計(jì)算均較適用，對(duì)巖溶區(qū)樁基設(shè)計(jì)有一定參考價(jià)值。

巖溶樁基；極限上限定理；極限承載力；階梯型變截面樁

隨著我國西部大開發(fā)戰(zhàn)略的實(shí)施，西部地區(qū)的交通事業(yè)快速發(fā)展。但西部部分地區(qū)地質(zhì)地貌的特殊性，溶洞、采空區(qū)等特殊地質(zhì)的存在給工程設(shè)計(jì)和施工帶來了很大的影響。由于工程選址時(shí)不可能完全避開巖溶區(qū)，所以對(duì)巖溶的形成和承載力的研究顯得十分必要[1?3]。極限分析理論最早由Fellenius等人在20世紀(jì)20年代提出，從50年代以來得到了較大的發(fā)展。近年來，部分學(xué)者將極限分析理論應(yīng)用于下伏空洞的樁基承載力計(jì)算研究中，劉輝等[4]利用極限分析上限法推導(dǎo)出了圓形空洞上方條形基礎(chǔ)的地基極限承載力解析公式。趙明華等[5]還利用上限有限元法計(jì)算出多種工況下的地基極限承載力上限解。雷勇等[6]引入格里菲斯非線性巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，采用極限分析方法對(duì)頂板沖切破壞模式極限承載力計(jì)算方法進(jìn)行了分析。目前對(duì)于巖溶樁基的承載穩(wěn)定性問題研究主要以數(shù)值模擬[7]以及模型試驗(yàn)為主[8]，理論解析方面的研究相對(duì)較少?；诟窭锓扑箿?zhǔn)則的極限分析方法在進(jìn)行巖溶樁基極限承載力的確定時(shí)主要考慮脆性完整巖石材料，但實(shí)際工程中的巖層并不完全發(fā)生脆性破壞，該準(zhǔn)則存在一定的局限性，而且目前的研究對(duì)象主要以等截面樁為主，而針對(duì)階梯型變截面樁的研究則少有涉及。隨著巖溶地層階梯型變截面樁應(yīng)用的逐漸興起[9]，對(duì)其極限承載力的研究就顯得極為重要?；谏鲜鲅芯康牟蛔?，本文將極限分析法與摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則相結(jié)合，首先考慮巖溶地層等截面樁基破壞模式，對(duì)其樁基破壞問題進(jìn)行上限分析，得到巖溶等截面樁的溶洞頂板破壞模式及頂板厚度的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，將該計(jì)算方法推廣到階梯型變截面樁的溶洞破壞模式的上限分析之中，從而得到巖溶階梯型變截面樁的溶洞頂板破壞模式及頂板厚度的關(guān)系式。

1 等截面樁下伏溶洞頂板破壞模式上限分析

1.1 基于摩爾庫倫準(zhǔn)則的極限分析上限定理

將式(2)和(3)代入式(1)有：

由式(4)可以說明，在任意一個(gè)滿足運(yùn)動(dòng)容許的速度場(chǎng)內(nèi)，物體所處的真實(shí)荷載小于等于由虛功原理所解出的荷載。

1.2 巖溶頂板破壞模型

溶洞頂板破壞近似形成由圓臺(tái)體母線發(fā)展的破壞面[10]。當(dāng)溶洞較小時(shí)，頂板范圍內(nèi)滑裂面無法自由發(fā)展，破壞邊界從樁端延伸至溶洞邊界，如圖1(a)?？紤]下伏溶洞極為復(fù)雜且在地層中分布范圍大，樁徑往往會(huì)遠(yuǎn)小于溶洞大小，因此本文統(tǒng)一假定為相對(duì)樁徑大得多的空溶洞，將模型進(jìn)行簡化，忽略溶洞邊界對(duì)破壞的影響，簡化成如圖1(b)所示。

(a) 模型1；(b) 模型2

根據(jù)極限上限法假定破壞模式，并考慮對(duì)稱性構(gòu)建一種由剛性塊體構(gòu)成的破壞機(jī)制，考慮一簡單均質(zhì)溶洞頂板的巖溶樁基破壞模式，取對(duì)稱的半樁進(jìn)行分析，如圖2(a)所示。樁端上部荷載為/2，樁端距溶洞頂板高度為，樁端下巖溶頂板臨界滑裂面與豎直方向的夾角為，巖層內(nèi)摩擦角為，黏聚力為，并做出以下假設(shè)：

1) 巖溶樁基頂板發(fā)生沖切破壞，分析屬于平面問題；

2) 樁為嵌巖樁，樁端下方為均質(zhì)巖體，且允許向下移動(dòng)，破壞范圍在溶洞頂板范圍以內(nèi)；

3) 巖層破壞服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，且假定溶洞相對(duì)于樁徑大得多，忽略溶洞邊界對(duì)破壞的影響。

圖2 極限平衡破壞模式和速度模式

如圖2(a)所示，頂板破壞區(qū)分為2塊，一塊是樁端下方矩形巖層，跟隨樁基一起沉降，另一塊是滑裂面邊三角形區(qū)域。將2塊區(qū)域看做剛體，那么相互之間就會(huì)產(chǎn)生相對(duì)速度及塑性流動(dòng)區(qū)。假定樁體的初速度為0，方向豎直向下，則樁端下方巖層速度也為0，1表示三角形區(qū)域巖層的向溶洞移動(dòng)的速度，其相對(duì)速度可用0, 1表示，在相鄰剛性塊之間，存在著速度躍變線，表示躍變線與速度方向之間的夾角，幾個(gè)速度之間的關(guān)系用矢量三角形表示，如圖2(b)所示。

由速度矢量圖可以得到1和0,1與樁端下巖溶頂板臨界滑裂面與豎直方向的夾角，巖層內(nèi)摩擦角為以及初速度0之間的關(guān)系：

1.3 巖溶頂板破壞模式

考慮溶洞頂板自重，外功率包括外部荷載/2所做的功率、矩形巖層以及靠近滑裂面三角形巖層重力所做的功率。

外部荷載/2所做的功率，為樁端上部荷載/2與初速度0的乘積：

巖層的外功率為其重力與沿重力方向的分速度的乘積，矩形巖層與靠近滑裂面三角形巖層產(chǎn)生的外功率分別為：

總的外功率為三者之和，其表達(dá)式如下：

內(nèi)部損耗功率為2剛性塊之間滑裂面的損耗功率，滑裂面上的能量損耗表示為：

滑裂面上的能量損耗可通過建立如圖3所示的坐標(biāo)系，并通過對(duì)進(jìn)行積分得到：

其中()為的直線方程：

則總的內(nèi)部損耗功率為滑裂面和上的能量損耗之和，表達(dá)式如下：

根據(jù)極限上限定理，外部功率等于內(nèi)部損耗功率，即

對(duì)上式進(jìn)行整理化簡，可得上部荷載關(guān)于溶洞頂板厚度的目標(biāo)函數(shù)：

當(dāng)樁端的上部荷載遠(yuǎn)大于巖層重力時(shí)，可忽略巖層自重對(duì)溶洞頂板破壞的影響。在不考慮土的自重時(shí)，外功率只有外部荷載/2所做的功率，推理過程與考慮荷載的情況相似，此處不再贅述，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為：

1.4 模型參數(shù)的影響分析

采用MATLAB軟件編寫相應(yīng)的計(jì)算程序進(jìn)行分析。選取巖溶區(qū)常見的石灰?guī)r為研究基礎(chǔ)，其巖層容重=25 kN/m3，泊松比=0.2，保持二者在研究參數(shù)過程中不變。圖4為樁徑對(duì)上部荷載與頂板厚度曲線的影響。保持研究參數(shù)和不變，改變樁徑(分別取為1，2，3和4 m)。如圖所示，相同溶洞頂板安全厚度的條件下，隨著樁徑的增大，承載能力增大，能承受的上部極限荷載也隨之增大；相同的上部荷載的條件下，隨著樁徑的增大，承載能力也相應(yīng)增大，所需要的溶洞頂板安全厚度隨之減小。

圖4 不同樁徑下溶洞頂板安全厚度與上部極限荷載的關(guān)系曲線

圖5為摩擦因數(shù)對(duì)上部荷載與頂板厚度曲線的影響。保持研究參數(shù)和不變，改變摩擦因數(shù) (分別取為10°，20°，30°，40°和50°)。由圖可知，相同溶洞頂板安全厚度的條件下，隨著內(nèi)摩擦角的增大，極限承載能力也隨之提高；相同的上部荷載的條件下，隨著內(nèi)摩擦角的增大，所需要的溶洞頂板安全厚度隨之減小。并且隨著溶洞頂板安全厚度增大，上部荷載的極限值增加幅度也越高，內(nèi)摩擦角越小其曲線的增幅趨勢(shì)越平緩，可見，隨著巖層的增大，破壞時(shí)的剪切破壞面也會(huì)隨著增大，內(nèi)摩擦角的抗破壞作用也會(huì)隨之展現(xiàn)出來。

圖5 不同內(nèi)摩擦角下溶洞頂板安全厚度與上部極限荷載的關(guān)系曲線

圖6 不同黏聚力下溶洞頂板安全厚度與上部極限荷載的關(guān)系曲線

圖6為黏聚力對(duì)上部荷載與頂板厚度曲線的影響。保持研究參數(shù)和不變，改變黏聚力(分別取為10，20，30和40 MPa)。由圖可知，相同溶洞頂板安全厚度的條件下，隨著巖體的黏聚力的增大，承載能力增大，能承受的上部極限荷載也隨之增大；相同的上部荷載的條件下，隨著巖層的黏聚力的增大，承載能力也相應(yīng)增大，所需要的溶洞頂板安全厚度隨之減小。

表1 計(jì)算參數(shù)

1.5 算例驗(yàn)證

利用式(16)和(17)分別求出各對(duì)應(yīng)溶洞頂板安全厚度下的上部荷載，同時(shí)引入文獻(xiàn)[8]中的計(jì)算方法，計(jì)算圍巖及樁體參數(shù)取值如表1所示。各對(duì)比曲線如圖7所示。由圖可見，溶洞頂板安全厚度在0~2 m范圍內(nèi)，本文采用的方法與文獻(xiàn)[8]中的方法有較好的相似性。當(dāng)增大時(shí)，與文獻(xiàn)[8]方法之間就有了較為明顯的偏差，相較于文獻(xiàn)[8]，由于考慮了嵌巖深度的因素，在較小時(shí)，相同厚度的溶洞頂板安全下，能夠承受的上部荷載極限值會(huì)較大，而隨著的增大，其計(jì)算結(jié)果卻相較于其他幾種方法較低，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[8]中的安全系數(shù)考慮較高，安全儲(chǔ)備預(yù)留較多。然而通過數(shù)值模擬的結(jié)果顯示，本文的方法較為接近，相較于文獻(xiàn)中的方法既不會(huì)偏于保守，也不會(huì)過分考慮溶洞邊界對(duì)其的影響。

圖7 不同計(jì)算方法的溶洞頂板安全厚度H與上部極限荷載P的關(guān)系曲線

2 階梯型截面樁下伏溶洞頂板破壞模式上限分析

2.1 階梯型截面樁下伏溶洞頂板的破壞模式

參考等截面巖溶樁基的溶洞頂板破壞模式，構(gòu)建如圖8所示的階梯型變截面樁溶洞頂板破壞 模式。

圖8 階梯型變截面樁溶洞頂板潛在破壞模式

類比普通等截面樁在樁端樁周處發(fā)展滑裂面，假定存在3個(gè)潛在滑裂面Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ，分別是從每級(jí)變階邊緣以及樁端邊緣開始破壞并發(fā)展至溶洞頂板的臨空面，則變截面空心樁的巖溶頂板破壞模式可能由滑裂面Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ中其中1條構(gòu)成。

根據(jù)式(18)可得到各滑裂面的上限分析方程，以滑裂面Ⅱ和Ⅲ為例：

為研究階梯型變截面樁最有可能的溶洞頂板滑裂面，將式(19)和(20)相除，得

則將式(20)改寫為

同理可以獲得任意2滑裂面上限解的比值，根據(jù)實(shí)際工程中的相應(yīng)位置的上部荷載比值來推斷先發(fā)生破壞的滑裂面，最終尋找出最先發(fā)生破壞的滑裂面，即為階梯型變截面樁溶洞頂板的破壞 模式。

2.2 階梯型變截面樁下伏溶洞頂板破壞模型

當(dāng)階梯型變截面空心樁的巖溶頂板破壞發(fā)生在樁端底面，最后一階的底端，即可構(gòu)建如圖9所示的破壞模式，虛線表示溶洞頂板因上部荷載產(chǎn)生的滑裂面，計(jì)算假定同等截面樁。

圖9 階梯型變截面溶洞頂板破壞模式

根據(jù)極限上限法假定破壞模式，取對(duì)稱的半樁進(jìn)行分析，如圖10(a)所示。樁端上部荷載為/2，樁端距溶洞頂板高度為，樁端下巖溶頂板臨界滑裂面與豎直方向的夾角為，土體內(nèi)摩擦角為，黏聚力為。

由于存在變階面的關(guān)系，部分荷載從變階處傳遞到周邊土體，實(shí)際引起溶洞頂板破壞的荷載為傳至樁端的豎向荷載。結(jié)合如圖10(b)所示的速度矢量分析圖，通過極限上限定理，使得外部功率等于內(nèi)部損耗功率，可得

2.3 樁端荷載的計(jì)算方法

從而樁端荷載可表示為：

圖10 極限平衡破壞模式與速度模式

圖11 2次變截面樁計(jì)算模型圖

圖11所示為2次階梯型變截面樁的細(xì)部尺寸圖，則根據(jù)樁基極限承載力的計(jì)算公式，樁側(cè)摩阻力可表示為：

其中：q為樁側(cè)土層的極限側(cè)阻力標(biāo)準(zhǔn)值。

變階處阻力可表示為：

其中：q極限端阻力標(biāo)準(zhǔn)值。

2.4 n階變截面樁P(H)函數(shù)構(gòu)建

通過上述推導(dǎo)，將其推廣到階變截面樁的情況，如圖12所示，由于變截面樁的特殊性和下伏溶洞地層的影響下，樁周土體會(huì)存在松動(dòng)現(xiàn)象，無法完全發(fā)揮極限側(cè)摩阻力及變階處端阻力，因此引入折減系數(shù)1和2，其值可由數(shù)值模擬或模型試驗(yàn)確定。

根據(jù)上述的推導(dǎo)過程，樁側(cè)摩阻力和變階處阻力可表示為：

圖12 n階變截面樁計(jì)算模型圖

2.5 算例驗(yàn)證

針對(duì)階梯型變截面樁的溶洞頂板破壞模式的研究，開展了多組模型試驗(yàn)，將試驗(yàn)樁的幾何參數(shù)及試驗(yàn)參數(shù)代入式(32)進(jìn)行極限荷載的計(jì)算。圖13為試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算曲線。由圖中曲線可知，理論與試驗(yàn)結(jié)果較為相近，總體趨勢(shì)較為吻合。

圖13 試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算對(duì)比曲線

3 結(jié)論

1) 針對(duì)基于極限上限法推導(dǎo)的上部荷載關(guān)于溶洞頂板厚度的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)分析，溶洞巖層黏聚力，內(nèi)摩擦角和樁的直徑對(duì)上部極限荷載均為正相關(guān)，有利于提高巖溶樁基的極限承載力。

2) 本文提出的方法所需參數(shù)較少，并且忽略溶洞邊界對(duì)破壞的影響，提供了一定的安全儲(chǔ)備，對(duì)工程設(shè)計(jì)有很大的便利之處，能對(duì)初步設(shè)計(jì)提供較好的參考。

3) 通過對(duì)巖溶等截面樁基溶洞頂板破壞的研究分析，類比推理階梯型變截面空心樁溶洞頂板潛在滑裂面，提出以樁端處延伸至溶洞的階梯型變截面樁的溶洞頂板破壞模式，并得到了巖溶等截面樁以及階梯型截面樁的頂板極限承載力計(jì)算方法。

[1] Waltham A C, Swift G M. Bearing capacity of rock over mined cavities in Nottingham[J]. Engineering Geology, 2004, 75(1):15?31.

[2] Hatzor Y H, Wainshtein I, Mazor D B. Stability of shallow karstic caverns in blocky rock masses[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2010, 47(8):1289?1303.

[3] JIANG C, LIU L, WU J P. A new method determining safe thickness of karst cave roof under pile tip[J]. Journal of Central South University, 2014, 21(3):1190?1196.

[4] 劉輝, 楊峰, 陽軍生. 空洞上方淺基礎(chǔ)地基破壞模式與極限承載力分析[J]. 巖土力學(xué), 2010, 31(11): 3373? 3378.LIU Hui, YANG Feng, YANG Junsheng. Failure mechanism and ultimate bearing capacity of strip footing above void[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(11): 3373?3378.

[5] 趙明華, 盧曉明, 張銳. 下伏空洞地基極限承載力與破壞模式上限有限元法[J]. 巖土力學(xué), 2017, 38(1): 229?236, 246.ZHAO Minghua, LU Xingming, ZHANG Rui. Upper bound finite element method for ultimate bearing capacity and failure mechanism of subgrade above void[J]. Rock and Soil Mechanics, 2017, 38(1): 229?236, 246.

[6] 雷勇, 尹君凡, 陳秋南, 等. 基于極限分析法的溶洞頂板極限承載力研究[J]. 巖土力學(xué), 2017, 38(7): 1926? 1932.LEI Yong, YIN Junfan, CHEN Qiunan, et al. Study on the ultimate bearing capacity of karst roof based on limit analysis[J]. Geotechnical Mechanics, 2013, 38(7): 1926? 1932.

[7] 王華牢, 張鵬, 李寧. 巖溶洞穴對(duì)嵌巖單樁承載力的影響研究[J]. 西安理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 26(1): 31?36.WANG Hualao, ZHANG Peng, LI Ning. Research on the single rock-socketed pile bearing capacity influenced by karst caves[J]. Journal of Xi’an University of Technology, 2010, 26(1): 31?36.

[8] 黃明, 付俊杰, 陳福全, 等. 樁端巖溶頂板的破壞特征試驗(yàn)與理論計(jì)算模型研究[J]. 工程力學(xué), 2018, 35(10): 172?182.HUANG Ming, FU Junjie, CHEN Fuquan, et al. Theoretical calculation model and model test on the failure characteristic of karst roof under rock-socketed pile[J]. Rock and Soil Mechanics, 2018, 35(10): 172? 182.

[9] 黃明, 江松, 許德祥, 等. 超大直徑變截面空心樁的荷載傳遞特征與理論模型[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2018, 37(10): 2370?2383.HUANG Ming, JIANG Song, XU Dexiang, et al. Load transfer mechanism and theoretical model of step tapered hollow pile with huge diameter[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2018, 37(10): 2370? 2383.

[10] 雷勇, 劉一新, 鄧加政, 等. 沖切破壞模式下溶洞頂板極限承載力計(jì)算[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2018, 37(9): 2162?2169. LEI Yong, LIU Yixin, DENG Jiazheng, et al. Calculation of ultimate bearing capacity of cave roof under punching failure mode[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2018, 37(9): 2162?2169.

Failure mode and ultimate bearing capacity of karst pile foundation based on upper-bound theorem

WANG Jing

(China Railway 11 Bureau Group Co. Ltd., Wuhan 430061, China)

In view of the problem of the ultimate bearing capacity of the roof of the underlying karst cave, the calculation method of the ultimate bearing capacity of the roof of the equal section pile and the stepped variable section pile was put forward. Mohr coulomb criterion, introduced based on the upper-bound theorem, build the frustum of a cone shaped roof damage critical slip surface, put forward such as karst section pile top load and the relation between the thickness of roof and analytical parameters on pile top load and the influence law of roof thickness curve, at the same time, combined with the numerical solution of examples and the result of the parsing algorithm, proved the reliability of the algorithm. On this basis, combined with the limit analysis method, the upper limit solution of sliding surface at each variable order of stepped type variable section pile was deduced, and the first sliding surface that meets the upper limit solution was found, the failure mode of roof of karst cave was put forward, and the relationship between pile top load and roof thickness was derived. The calculation method was suitable for the calculation of the ultimate bearing capacity of the above two kinds of cross-section piles and has certain reference value for the design of karst area pile foundation.

karst pile foundation; upper-bound theorem; ultimate bearing capacity; stepped variable section pile

TU473

A

1672 ? 7029(2019)09? 2207 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.09.011

2018?11?14

國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2018YFC0808704)

汪婧(1982?)，女，江西景德鎮(zhèn)人，高級(jí)工程師，從事工程技術(shù)與管理相關(guān)工作；E?mail：8295161@qq.com

(編輯 涂鵬)