基于空間模型面向化學(xué)工科專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)例證研究

左路

[摘 要]針對化學(xué)工科專業(yè)的線性代數(shù)課程教學(xué)，教師可以以化學(xué)化工領(lǐng)域的動力系統(tǒng)模型為應(yīng)用背景，探討基于空間及矩陣幾何模型的教學(xué)模式，并提出以幾何直觀性為寬基礎(chǔ)的金字塔式教學(xué)模式，及定位于培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀思維方式的教學(xué)目標(biāo)，從而增強(qiáng)學(xué)生對科學(xué)研究的興趣，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并實(shí)現(xiàn)為專業(yè)研究與應(yīng)用服務(wù)的目的。

[關(guān)鍵詞]化學(xué)工科專業(yè); 教學(xué)研究;線性代數(shù)課程; 教學(xué)模型;幾何直觀

[中圖分類號] G642.0 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）02-0086-04

對于本科階段學(xué)生而言，在校四年的學(xué)習(xí)過程應(yīng)以真正欣賞和熱愛科學(xué)研究，理解研究工作的價(jià)值，并且最終全身心投入研究工作為目標(biāo)，因此有效的科學(xué)思維方法的訓(xùn)練必不可少. 而數(shù)學(xué)類課程的學(xué)習(xí)正是促進(jìn)科學(xué)思維方法形成的必經(jīng)過程，線性代數(shù)就是其中的必要一環(huán).線性代數(shù)的重要性從瑞典數(shù)學(xué)家Lars G?rding的著作Encounter with Mathematics中可窺見一斑：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多.”[1]但是“線性代數(shù)是通過公理化來表述的，……，這就帶來了教學(xué)上的困難”[1].自然界現(xiàn)象在人們思維中以幾何形象呈現(xiàn)，但是數(shù)學(xué)知識體系經(jīng)過幾千年的發(fā)展演變，至今形成了嚴(yán)謹(jǐn)且抽象的公理化體系. 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某橄笮跃拖褚槐p刃劍，當(dāng)新知識的教與學(xué)過程喪失直覺性后，將不易被學(xué)習(xí)者理解，更不用說得心應(yīng)手的應(yīng)用. 如果線性代數(shù)的學(xué)習(xí)建立在幾何直覺基礎(chǔ)上，將學(xué)習(xí)者帶來極大的便捷. 笛卡爾、A. R. 費(fèi)歇爾和C. R. 勞均非常重視幾何直觀作用，其中費(fèi)歇爾正是因?yàn)榫邆溥@種非凡的幾何直觀思維，才能夠在極短的時(shí)間內(nèi)解決他人需耗費(fèi)很久時(shí)間才能解決的問題[2].

不同專業(yè)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)不能一概而論。身為教育者大家都有共同認(rèn)識，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教與學(xué)應(yīng)重視數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，以專業(yè)應(yīng)用為導(dǎo)向，許多一線基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教師已經(jīng)對此展開了深入的探討與研究[3-4].對于化工專業(yè)而言，其數(shù)學(xué)訓(xùn)練更不同于一般工科數(shù)學(xué)[5].從計(jì)算機(jī)誕生以來，傳統(tǒng)的化學(xué)工程學(xué)科與計(jì)算機(jī)科學(xué)的結(jié)合，衍生出了高度模型化與數(shù)學(xué)化的新學(xué)科，如化學(xué)反應(yīng)工程、過程系統(tǒng)工程等. 化學(xué)工程領(lǐng)域需要在化工實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析、對化學(xué)問題進(jìn)行建模與分析，以及對化工過程進(jìn)行模擬與優(yōu)化，而這些應(yīng)用都需要數(shù)學(xué)分析技術(shù)，線性代數(shù)知識正貫穿于此三方面需求中. 為了在保證數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性的同時(shí)保證針對性，教學(xué)內(nèi)容與過程就需要適量、適度. 為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，教學(xué)模式應(yīng)輔助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)層層遞進(jìn)、兼顧應(yīng)用、基礎(chǔ)寬厚的知識體系，同時(shí)也應(yīng)考慮到學(xué)科發(fā)展趨勢，并數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練與直覺培養(yǎng)融入其中.過去我們一直將線性代數(shù)教學(xué)建立在數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)上，然而如何準(zhǔn)確選擇工具、解釋計(jì)算結(jié)果，并產(chǎn)生方法的創(chuàng)新需要未來的研究者對于線性代數(shù)有更多的本質(zhì)認(rèn)識，那么幾何直觀性便成為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).因此，本文作者針對化學(xué)工科線性代數(shù)課程教學(xué)，采用金字塔式教學(xué)目標(biāo)模式（參見圖1），以動力系統(tǒng)為為例，探討如何利用空間與矩陣為輔助工具建立幾何直觀模型實(shí)施教學(xué).

一、空間的構(gòu)成

學(xué)習(xí)任何新知識的第一步，都應(yīng)為認(rèn)識其研究對象，學(xué)習(xí)線性代數(shù)的第一步便從認(rèn)識空間及其構(gòu)成開始.代數(shù)研究中，常抽象地將具有某種共同“行為方式”的元素納入空間這個(gè)“容器”. 粗略而言空間就是滿足同類行為方式的元素構(gòu)成的集合. 在線性代數(shù)中，“行為方式”可以理解為空間內(nèi)的運(yùn)動或者變換. 盡管在各類研究領(lǐng)域中出現(xiàn)的空間類型繁多，但是都有共性，即與實(shí)數(shù)域的線性空間同構(gòu)，因此我們立足于最基礎(chǔ)的空間上，以線性空間為核心建立幾何直觀模型，依此可以推廣至所有的同構(gòu)空間. 接下來需要解決第二個(gè)問題，即線性代數(shù)的構(gòu)成元素應(yīng)具備何種共同的行為方式？線性變換就是線性空間元素的共同行為方式.那么何為“線性”？這是理解線性代數(shù)的關(guān)鍵一環(huán)，線性運(yùn)算即為滿足可加性和比例性的運(yùn)算.以二維向量空間為例，其自然基為[e1=（1，0）T]，[e2=（0，1）T]，則其中任何元素[x=（x1.x2）T=x1e1+x2e2]均可以由[e1，e2]“創(chuàng)造”，如5（1，0）T+（0，1）T=（5，1）T. 此時(shí)線性運(yùn)算的系數(shù)5和1構(gòu)成向量在基[e1，e2]下的坐標(biāo). 實(shí)際上用于創(chuàng)造元素的基并非唯一. 若[e1，e2]由先構(gòu)造出線性無關(guān)的向量[ζ1=3e1+5e][2]，[ζ2=e1-e][2]，則[ζ1]，[ζ2]可以替代[e1，e2]作為空間的基從而生成具有“新”坐標(biāo)[34]和[114]的空間元素[34]（3，5）T+[114（1，-1）]T=（5，1）T.至此空間有了描述方式，也具備了結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 線性代數(shù)的研究實(shí)體便立體的呈現(xiàn)于學(xué)生思維中.

采用矩陣符號將上式簡記為[L（x）=Ax=y]，即線性變換[L]：[Rn][→R][n]，那么空間元素之間的關(guān)聯(lián)可以通過矩陣運(yùn)算進(jìn)行描述. 由于容納運(yùn)動，空間將不再是一個(gè)“靜態(tài)的容器”，從而可以采用動態(tài)的方式研究空間元素.實(shí)際上由于線性變換遵循規(guī)則[L（x+y）]=[L][（x）]+[L][（y）]與[L][（kx）]=[kL][（x）]，空間元素將保持可加性與比例性，這便是該變換被稱為線性運(yùn)算的本質(zhì)原因. 若直觀地解釋線性變換，其是指空間中的直線經(jīng)變換后仍保持直線狀態(tài)不會被彎曲，且原點(diǎn)保持不變. 若采用抽象描述方式，線性變換也可以被解釋為一種函數(shù)映射規(guī)則，即將空間元素（向量）x映射（運(yùn)動）到另一個(gè)元素（向量）y的規(guī)則. 如果目標(biāo)向量y固定為b，于是得到線性方程組Ax=b. 可見線性方程組的解即為空間中所有可以在變換規(guī)則矩陣A下運(yùn)動至目標(biāo)b的原像. 不過我們更傾向于解釋L為線性變換，因?yàn)椤昂瘮?shù)”一詞更側(cè)重抽象的邏輯關(guān)系，而“變換”則傾向于從幾何角度解釋線性變換對應(yīng)于空間元素的運(yùn)動. 在教學(xué)實(shí)踐中，從運(yùn)動的視角建立直觀解釋更容易讓學(xué)生理解線性代數(shù)運(yùn)算的本質(zhì).

借助矩陣，我們可以擴(kuò)展看待空間的視角. 由于（2.1）式的線性變換矩陣的列向量組即為基向量，記基[e1，e2]構(gòu)成的矩陣記為[e]，基[ζ1]，[ζ2]構(gòu)成的矩陣記為[ζ]，令[[x]]表示在基*下的坐標(biāo)向量. 如果另有基矩陣[η]，使得[[x]]e=[η][[x]][η]=[ζ][[x]][ζ]，則不同基下的坐標(biāo)之間通過線性變換關(guān)聯(lián)起來，即[[x]η][η-1][ζ[x]][ζ]，且不同基之間滿足[ζ]=[ηη-1][ζ][ηP].因此我們便擁有了在不同的基下看待空間的不同“視野”（如圖2所示），這也給研究者提供了在不同視野下切換以尋求最便捷研究方法的途徑.

二、空間與離散動力系統(tǒng)

由于空間的最基本特征是包含元素的運(yùn)動，在線性空間中我們通過線性變換描述運(yùn)動，即通過矩陣乘法將運(yùn)動對象、運(yùn)動目標(biāo)和運(yùn)動方式合成為線性函數(shù)[L（x）=y]. 但是現(xiàn)實(shí)世界的運(yùn)動常常附加一個(gè)新維度-時(shí)間，于是附加上時(shí)間維度的線性變換便成為動力系統(tǒng)的分析工具.化學(xué)化工領(lǐng)域存在的各種系統(tǒng)，例如復(fù)雜反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)、反應(yīng)系統(tǒng)的動態(tài)模擬、化工合成過程，以及多單元多因素系統(tǒng)的耦合分析等均可以視為動力學(xué)系統(tǒng).如果在離散時(shí)間節(jié)點(diǎn)測量動力系統(tǒng)的狀態(tài)，線性變換就形成了離散時(shí)間點(diǎn)上的“躍遷”運(yùn)動. 將系統(tǒng)狀態(tài)由向量序列[x0，x1，]…，[xn]，…表示，[xn]為第n個(gè)時(shí)間離散節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)狀態(tài)，其滿足離散動力方程[xn+1=Anxn]，其中[An]為描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的轉(zhuǎn)移矩陣. 根據(jù)線性變換結(jié)果，可以在相空間繪制出動力系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡，預(yù)測未來時(shí)間節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)狀態(tài)趨勢.可見矩陣承擔(dān)著動力系統(tǒng)行為分析核心工具的重任.

例如，對（2.1）式實(shí)施若干次線性變換[3? ? ? ?1 5? ? ? -1][n][n0]，其中n=1，2，…， 便可以得到空間元素的運(yùn)動軌跡，即向量序列[xn=c1λn1v1+c2λn2v2]，[n=]0，1，2，…，其中[λ1]，[λ2]為線性變換矩陣[A=][3? ? ? ?1 5? ? ? -1]的特征值，[v1]，[v2]為A分別對應(yīng)[λ1]，[λ2]的特征向量，系數(shù)[c1]，[c2]由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定.因此得到動力系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡（如圖3所示），初始點(diǎn)在[v2]所在直線以外的位置的軌跡均隨著時(shí)間演變，最初趨近于[v1]所在直線，然后遠(yuǎn)離[v1]并向無窮方向延伸. 而落在[v2]所在直線上初始點(diǎn)的軌跡，將以震蕩方式趨近于無窮（如圖4所示），且震蕩幅度隨著時(shí)間遞增，可見系統(tǒng)（2.1）是不穩(wěn)定的體系.對于動力系統(tǒng)而言，變換系數(shù)矩陣的特征體系描繪出了系統(tǒng)的行為方式與運(yùn)動趨勢，特征值的符號預(yù)示著系統(tǒng)趨于穩(wěn)定抑或趨于發(fā)散，而作為子空間的特征空間則指示出系統(tǒng)運(yùn)動的方向與速度.

三、空間與微分動力系統(tǒng)

若系統(tǒng)狀態(tài)隨著時(shí)間連續(xù)變化，則離散差分方程推廣至微分方程組. 復(fù)雜反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)正是依賴于微分動力系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)行為分析. 盡管反應(yīng)體系因反應(yīng)級數(shù)的差異通常與非線性微分方程組相關(guān)聯(lián)，但是實(shí)際中非線性微分方程組可以經(jīng)過線性近似化為線性微分方程組[5]. 因此微分動力系統(tǒng)常采用線性分析方法，從而可以借助相空間和矩陣的特征體系分析微分方程組的動力學(xué)行為. 此種方法便是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析中的特征向量法，該方法由Wei和Prater[6]在1962年針對復(fù)雜一級可逆反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)分析而提出，Silvestri、Prater和Wei在1967至1970年間將其推廣至含不可逆一級反應(yīng)系統(tǒng)[7，8，9]，此后Christoffel將此方法與Gavalas法和曲線擬合方法加以比較后得出結(jié)論，盡管實(shí)驗(yàn)工作量較大，特征向量法在數(shù)據(jù)處理量和結(jié)果精度上還是具有很大優(yōu)勢[10-11].

上式中，xi為組分[Ai]的摩爾分?jǐn)?shù)，kij為反應(yīng)[Aj] [→][Ai]的速率常數(shù). 乘積項(xiàng)kijxj表示由組分[Aj]生成[Ai]的速率，而項(xiàng)[-j≠i3kji]xi表示由組分[Ai]生成[Aj]的速率.采用矩陣乘法可以將系統(tǒng)（4.1）記為[dxdt]=[K][x]，令x表示系統(tǒng)狀態(tài)向量，[K]為速率常數(shù)矩陣.由于遵循質(zhì)量守恒性與反應(yīng)量的非負(fù)性，系統(tǒng)（4.1）還應(yīng)滿足兩個(gè)約束，[j-13xi=1]與[xi?0（i=1，2，3）].因此系統(tǒng)狀態(tài)向量[x]處于經(jīng)過點(diǎn)（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）的反應(yīng)平面上（如圖6所示）. 當(dāng)系統(tǒng)從初始狀態(tài)[x（0）]反應(yīng)至[x（t）]，在反應(yīng)平面上經(jīng)過的曲線即為動力系統(tǒng)的反應(yīng)路徑（即圖6中[x（0）]至[x（t）]間虛線所示曲線路徑）.

由系統(tǒng)（4.1）速率常數(shù)矩陣k的元素構(gòu)成特征可見，k必有零特征值（記為[λ][0]）與負(fù)特征值，零特征值意味著此反應(yīng)存在反應(yīng)平衡點(diǎn)，即[λ][0]對應(yīng)的特征向量v[0]在相空間中的位置.系統(tǒng)（4.1）的通解為[x（t）=i=13civieλit]，[ci?R]. 同樣，此處[λ][i]為（4.1）式系數(shù)矩陣k的特征值，[v][i]為k對應(yīng)[λ][i]的特征向量，系數(shù)[c][i]由系統(tǒng)的初始狀態(tài)[x（0）]決定. 由解形式可見，系統(tǒng)（4.1）的解軌跡隨著時(shí)間演變呈指數(shù)函數(shù)規(guī)律變化，并趨于反應(yīng)平衡點(diǎn)，其運(yùn)動方式與速度由所有特征向量共同決定，因此系數(shù)矩陣特征值與特征向量成為分析系統(tǒng)解軌跡性態(tài)的關(guān)鍵[12]（參見表1）.系統(tǒng)（4.1）反應(yīng)路徑如圖7所示，不同初始狀態(tài)下反應(yīng)路徑最終均匯至平衡點(diǎn)，且在平衡點(diǎn)處具有共同切線. 由圖7可見當(dāng)反應(yīng)沿著特征向量的所在直線路徑進(jìn)行，反應(yīng)衰減最快.如果通過實(shí)驗(yàn)尋找到這兩條直線路徑，則可以在直線反應(yīng)路徑上可以單獨(dú)地解耦求解系統(tǒng)（4.1），這便是特征向量法給反應(yīng)動力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理帶來的便捷之處.以上僅是微分系統(tǒng)系數(shù)矩陣的特征體系在動力分析實(shí)驗(yàn)中的貢獻(xiàn)的一方面.

另一方面，如果實(shí)驗(yàn)是用于確定反應(yīng)系統(tǒng)的速率常數(shù)[kij]，即此時(shí)系數(shù)矩陣k是未知的，那么需要通過實(shí)驗(yàn)路徑反過來確定反應(yīng)速率常數(shù)[kij].由于（4.1）式是強(qiáng)耦合系統(tǒng)，狀態(tài)向量x的各分量不能分別求解，那么由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)需要同時(shí)確定[n（n-1）]個(gè)動力學(xué)參數(shù)（假設(shè)n為不同組分?jǐn)?shù)量）. 如果將（4.1）式先進(jìn)行解耦處理，即將系數(shù)矩陣k對角化為矩陣[Λ=diag（λ0，λ1，k，λn-1）]，引入虛擬組分[y=（y1，y2，k，yn）T]，得到[dydt=Λy].則[y（t）=diag（eλ0t，eλ1t，k，] [eλ2t）（a0，a1，k，an-1）T]，[ci][?]R，[t?0].可見此時(shí)虛擬組分各分量可以實(shí)現(xiàn)單獨(dú)求解，并且通過選擇特征向量方向上的直線反應(yīng)路徑，可以將需要確定的動力學(xué)參數(shù)個(gè)數(shù)降低為n[6，13].因此利用矩陣特征體系可以帶來簡化數(shù)據(jù)處理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.

實(shí)際上，化工系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解往往受到強(qiáng)耦合性的約束，造成計(jì)算和數(shù)據(jù)處理的高度復(fù)雜性. 利用矩陣與線性變換的概念在線性空間中可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的解耦，將n個(gè)強(qiáng)耦合的線性方程解耦為一系列彼此獨(dú)立的方程，實(shí)現(xiàn)單獨(dú)求解從而簡化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理. 正是基于此類應(yīng)用性，線性代數(shù)的基于空間幾何觀點(diǎn)的教與學(xué)旨在給學(xué)生在專業(yè)領(lǐng)域的研究帶來便捷.

四、結(jié)語

綜前所述可見，盡管化學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為核心的科學(xué)，但是它與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)緊密. 一方面，因受到了近代物理學(xué)（主要來自量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)力學(xué)）的極大影響，現(xiàn)代化學(xué)采用逐步數(shù)學(xué)化的語言從微觀層面探討物質(zhì)的組成、構(gòu)造及反應(yīng)機(jī)理. 另一方面，實(shí)驗(yàn)需要更嚴(yán)格的定量方法，自然就涉及數(shù)學(xué)更多技術(shù)層面的應(yīng)用. 這兩方面的原因決定了化學(xué)學(xué)科必定需要數(shù)學(xué)在語言、技術(shù)層面上更加強(qiáng)有力的支持. 但是無論從語言還是技術(shù)層面來說，歸根結(jié)底數(shù)學(xué)對于化學(xué)工作者而言只是一種工具而已，不能取代化學(xué)本身.但也不能因此將數(shù)學(xué)的“工具性”理解過窄. 不可否認(rèn)，一個(gè)化學(xué)工作者的數(shù)學(xué)能力越強(qiáng)，他所能處理的問題也越多. 在強(qiáng)調(diào)科學(xué)間融科合交叉的今天，數(shù)學(xué)無疑是一項(xiàng)有助于科研工作的利器. 作為教育者，我們要避免將知識孤立化，否則這種教育模式下培養(yǎng)出來的學(xué)生知識面窄，無法勝任交叉學(xué)科的研究工作.因此對于線性代數(shù)的初學(xué)者，尤其是其中需要具體領(lǐng)域背景的學(xué)習(xí)者而言，在學(xué)習(xí)過程中如果能夠借助專業(yè)背景模型在思維中構(gòu)建各種數(shù)學(xué)概念和方法的幾何背景，并描繪出清晰的物理圖像，將有助于他們在未來的研究工作中從知識體系中選擇合適的觀點(diǎn)形成新的思想和概念，從而形成創(chuàng)新. 我們在此提出的以空間幾何直覺為基礎(chǔ)的教學(xué)模式正是以此為目標(biāo). 不過，應(yīng)明確的一點(diǎn)是，基于空間觀點(diǎn)的教學(xué)模式并非單純強(qiáng)調(diào)幾何性，其終極目標(biāo)仍然要回到培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S上.

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[責(zé)任編輯：林志恒]