量綱方法與彈簧振子周期的二級(jí)質(zhì)量修正

周國(guó)全 祁 寧

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

關(guān)于彈簧質(zhì)量對(duì)諧振周期的影響, 其研究結(jié)論已散見(jiàn)于各種文獻(xiàn)[1-4]，一般是根據(jù)彈性理論建立振動(dòng)微分方程加以解決。本文介紹一種簡(jiǎn)便而實(shí)用的方法——量綱方法[5-9]，配合實(shí)驗(yàn)研究，可以在不求解彈簧諧振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的情況下同樣得出正確的諧振周期一、二級(jí)修正公式

(1)

及

(2)

其中，M，m分別為彈簧振子及彈簧本身的質(zhì)量；k為彈簧的勁度系數(shù)。通過(guò)這一實(shí)例，可以體會(huì)到量綱理論在物理教學(xué)研究中的輔助作用。

1 量綱和諧原理與Π定理的應(yīng)用

量綱和諧原理要求：支配物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程的等號(hào)兩側(cè)的量綱表達(dá)式必須是相同的，亦即所涉及的各基本單位的量綱指數(shù)必須是獨(dú)立而唯一的。這是量綱理論的基本要求。

具體研究思路如下：首先根據(jù)量綱和諧原理的要求，用量綱方法確定(M，m，k)振動(dòng)系統(tǒng)周期T的基本形式，求出基本形式中各未知指數(shù)；尋找和構(gòu)造若干獨(dú)立的無(wú)量綱量，再根據(jù)Π定理，建立各無(wú)量綱量之間的函數(shù)關(guān)系，其中某些待定系數(shù)(或參量)可以通過(guò)理想情況或極限、特例情形的泰勒級(jí)數(shù)展開、精確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、巧妙的線性擬合技術(shù)加以確定。

以均勻直螺旋彈簧振子系統(tǒng)(M，m，k)為例，決定其周期T的因素如下：

① 彈簧勁度系數(shù)k；

② 振子質(zhì)量M;

③ 彈簧的質(zhì)量m。

量綱理論指出，周期T作為這一振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)特征物理量, 必然滿足

T=CMαkβ

(3)

其中,α,β為待定常數(shù)指數(shù)；C是與一些無(wú)量綱量有關(guān)的因子。

設(shè)基本量綱為[L]=L,[T]=T；[M]=M；則[k]=牛頓/米=MT-2，量綱和諧原理要求[4，5]：等式(3)兩側(cè)的量綱表達(dá)式必須相同，故有

L0M0T1=Mα·(MT-2)β=L0Mα+β·T-2β

根據(jù)基本物理量(質(zhì)量M與時(shí)間T)的量綱獨(dú)立性，必有如下待定指數(shù)方程組

于是

(4)

作為范例之一，為了運(yùn)用Π定理以分析這一振動(dòng)過(guò)程的周期關(guān)于勻質(zhì)彈簧質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系，我們要尋找和構(gòu)造若干與問(wèn)題相關(guān)的無(wú)量綱量。這在量綱分析理論中有一定程序化的手續(xù)[5-9]，比較繁復(fù)。為了避免復(fù)雜的代數(shù)(如矩陣)運(yùn)算，我們憑經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造如下兩個(gè)無(wú)量綱量。將有質(zhì)量彈簧振子系統(tǒng)(M，m，k)的周期T與理想振子系統(tǒng)(M，0，k)的周期T0的公式

(5)

相比較，很明顯我們可以構(gòu)造一個(gè)有理化的獨(dú)立的無(wú)量綱量μ

μ≡(T/T0)2

(6)

彈簧質(zhì)量m與振子質(zhì)量M之比，構(gòu)成了另一獨(dú)立的無(wú)量綱量ν

ν≡m/M

(7)

必須指出，我們憑觀察和經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造了兩個(gè)無(wú)量綱量，當(dāng)然可能遺漏其他獨(dú)立的無(wú)量綱量，根據(jù)量綱分析方法中著名的Π定理，對(duì)于一個(gè)受到確定物理規(guī)律支配的、具有決定論性質(zhì)的系統(tǒng)，這些無(wú)量綱量之間必定存在著某種確定的函數(shù)關(guān)系[5-9]：

Π(μ,ν,…)=0

(8a)

式(8a)等價(jià)于如下隱函數(shù)關(guān)系

μ=F(ν,…)

(8b)

相應(yīng)于一個(gè)平穩(wěn)連續(xù)的物理過(guò)程，除了物理狀態(tài)的突變臨界點(diǎn)之外，這個(gè)函數(shù)一定是光滑、連續(xù)而可微的。在此我們只關(guān)心無(wú)量綱參量μ隨ν而變化的規(guī)律，在無(wú)量綱參量ν?1，而其他無(wú)量綱量不變的情況下，我們對(duì)函數(shù)F(ν)在ν=0+附近作泰勒級(jí)數(shù)展開：

(9)

其中ci，(i=0，1，2，…，n，…)，是待定常系數(shù)。

2 理想情形與周期修正公式

由此可得c0=1。當(dāng)ν=m/M?1時(shí)，僅保留式(9)中ν的一次方項(xiàng)，而略去ν的高階無(wú)窮小項(xiàng)，可得

μ?1+c1ν

(10)

代入式(6)、式(7)，可得彈簧諧振周期的一級(jí)修正公式

(11)

這里c1為待定系數(shù)。式(11)表明，彈簧質(zhì)量m對(duì)于諧振周期T的影響，即相當(dāng)于以一定的折合質(zhì)量c1m加入到振子質(zhì)量M中去。在平面直角坐標(biāo)系(μ,ν)中, 式(10)表示的μ與ν關(guān)系為一條斜率為c1，縱截距為1的射線(ν≥0)。當(dāng)ν<1但不太小時(shí)，還可保留式(9)中的二次項(xiàng)，則有

μ=1+c1ν+c2ν2

(12)

代入式(6)，式(7)，可得彈簧諧振周期的二級(jí)修正公式

(13)

其中c1,c2也可通過(guò)精確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與巧妙的線性擬合技術(shù)求出。式(12)可化為

λ≡(μ-1)/ν=[(T/T0)2-1]/ν=c1+c2ν

(14)

其中λ與ν是一線性關(guān)系，c2為直線的斜率。

3 修正系數(shù)c1及c2的實(shí)驗(yàn)測(cè)定

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

值得提醒的是，實(shí)際上式(16)中的c2之值通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的誤差很大，因?yàn)橛蒫2帶來(lái)的二階修正值實(shí)際上已淹沒(méi)在實(shí)驗(yàn)的偶然誤差之下。姑且將它用如下理論修正值代替。基于彈簧的彈性理論, 建立起受載彈簧的振動(dòng)的微分方程, 我們同樣可求出彈簧質(zhì)量對(duì)于振動(dòng)周期的修正公式。理論上可導(dǎo)出[1]：

c1=1/3;c2=-1/9

(17)

于是彈簧諧振的周期的一級(jí)、二級(jí)修正公式分別為

這與我們用量綱方法及實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)果正相吻合, 充分地證明了用量綱方法指導(dǎo)物理研究的方法論意義，其有效性與重要性毋庸低估。

4 結(jié)論

量綱方法之能有效地應(yīng)用于科學(xué)研究，有其深刻的理論依據(jù)和厚實(shí)的實(shí)踐基礎(chǔ)。由于研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)多樣性與運(yùn)動(dòng)復(fù)雜性，一些情況下我們無(wú)法建立嚴(yán)格有效的數(shù)理方程。所幸盡管存在困難，我們?nèi)阅芙柚烤V理論而得到一些富有啟發(fā)意義的東西，在一些情形能夠?qū)С銎湮锢硪?guī)律的基本函數(shù)關(guān)系，在某些情形甚至能精確到僅差一個(gè)待定常數(shù)因子[9,11,12](如流體力學(xué)中的某些問(wèn)題)。這給進(jìn)一步的理論與實(shí)驗(yàn)研究提供了極有指導(dǎo)或參考意義的初始結(jié)論，正如前述范例所述。

量綱方法所得到的初步結(jié)論可以通過(guò)如下4種方法加以驗(yàn)證：(1)必須遵守量綱和諧原理，假定的函數(shù)方程的表達(dá)式中，各基本單位所要求滿足的指數(shù)待定方程組必須是自治的。(2)用極限情形或理想情況下的已知結(jié)論去加以檢驗(yàn)，或確定其中的某些參數(shù)。(3)用系統(tǒng)可能具有的對(duì)稱性或周期性等特點(diǎn)去加以驗(yàn)證，或確定某些參數(shù)。(4)用實(shí)驗(yàn)結(jié)果加以直接檢驗(yàn)，這是最根本、也是最終的檢驗(yàn)方法。

總之，量綱理論與量綱方法不僅在科學(xué)研究中具有不可忽視的指導(dǎo)作用，而且在現(xiàn)代工程技術(shù)中也有重要的應(yīng)用。工程上常用的相似模擬手段就直接來(lái)源于量綱理論，模擬的相似性判據(jù)更是量綱理論的直接結(jié)論。本文表明，量綱理論與量綱方法作為方法論的應(yīng)用價(jià)值不容忽視。