初中數(shù)學解題課型教學課例分析

陳錦喜

【摘要】? 現(xiàn)行初中數(shù)學人教版課本中的例題習題都具有實際意義，具有挑戰(zhàn)性，開放性，因此積極有效地引導學生學好課本上的例習題，通過剖析數(shù)學例題，能使學生將課堂上所學的知識轉(zhuǎn)化為技能、技巧，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，掌握有效的數(shù)學學習方法，提高數(shù)學解題能力。本文擬以人教版九年級數(shù)學課本的一道例題教學為例，進行解題課的課例分析。

【關鍵詞】? 初中數(shù)學 教學課例

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2019）02-219-03

一、注重解題課的引用例題的甄選

【教學設計片段1】

教師引入例題：人教版數(shù)學九年級上冊課本87頁例4：已知⊙O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長。

【分析】

教師在展示例題后向?qū)W生提出以下一系列的問題：（1）本題應用了圓的哪些知識點？（2）在圓中計算線段長度過程中遇到有直徑問題通常需要使用哪些知識？（3）本題圖形中還有哪些特殊的圖形？（4）這些圖形可以提供什么解題條件？設計這個教學活動旨在使學生會用圓的基本知識點進行簡單的計算推理，同時使學生觀察圖形中的特殊條件，加強幾何直觀能力的養(yǎng)成。老師應該首先就題目原有的條件背景充分挖掘更多的問題出來，通常來說即需要不斷反復問還能求什么，怎么求，讓學生形成在解決了一道例題之后還會進一步思考的習慣，真正把一道例題所涉及到的各個知識點隨問題串的解決而聯(lián)系起來。

此例題中已知了2條線段長度，未知線段有4條，例題提問求出其中三條，即BC、AD、BD的長度，教師可以引導學生提出問題，即CD這條線段能求嗎？怎么求呢？需要用到其他3條嗎？教師引導學生合作討論，可以通過作垂線將CD分成兩條線段分別求出來。具體解答思路過程為：過A作垂線AE，證得△AEC為等腰直角三角形，求得CE=AE=3，再根據(jù)勾股定理求得DE=4，即CD=7.本環(huán)節(jié)通過解決例題中圓的各條未知線段，鞏固學生利用圓的有關性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的應用知識。有效地激活學生剛學的知識，現(xiàn)代建構(gòu)主義理論認為：數(shù)學學習是學習者利用經(jīng)驗和已有的知識主動建構(gòu)的過程，考慮到學生已經(jīng)具備圓的性質(zhì)和勾股定理等必備的知識，學生有能力參與知識的發(fā)生發(fā)展的全過程。

【效果】

對課本的例題提出的問題學生能夠比較迅速進入演算過程，而且學生的參與率和結(jié)果的正確率都比較高，但是對于“額外”提出的問題，學生雖然能積極思考，但是顯然得出結(jié)論的速度慢，能比較快講出思路的學生少。

【不足】

問題的提出沒有做出適當?shù)匿亯|，學生一下難以找到突破口，所以適當給出啟發(fā)提示，既能解決當前問題，有可以發(fā)展解決更多問題的思維。

二、注重啟發(fā)課本例題多種解教學

課堂教學過程中鍛煉學生積極思考的一種有效途徑就是一題多解，鼓勵學生一題多解可以充分調(diào)動學生參與課堂的討論的積極性，激發(fā)學生的學習興趣，通過營造一個活躍的課堂氣氛，一題多解的本質(zhì)就是通過讓學生探究發(fā)現(xiàn)解題方法，進而掌握解題的關鍵，一題多解，有利提高數(shù)學的能力與數(shù)學思維，隨著教育改革的步伐不斷的深入，一題多解的模式成為很多教師進入解題課課堂，初中教師可以通過適當?shù)脑O置一些一題多解的題目，要學生進行自主探討，然后選擇最適合自己掌握，而且簡單的方法解題。教師的數(shù)學教學應該建立在學生自身的經(jīng)驗，興趣動機，上，而不是老師，一味的講，學生一味的模仿，接受某人，要讓學生們自己來發(fā)現(xiàn)問題，認識問題，探索并有效的解決問題，并為他們提供相互交流的平臺，讓他們在做中學學生做的過程中不斷的成長，讓我們教室換一種姿態(tài)來與我們的學生交流，用一種全新的授課方式走進我們的數(shù)學課堂，讓我們的學生真正提到了濃濃的數(shù)學味。

【教學設計片段2】

教師在引導學生求出CD的長度過程中一定會有學生提出不同的方法，特別是思維活躍的學生，可能從不同的角度嘗試著、探討著，教師可以啟發(fā)學生提出更多種方法求CD的長度。以下是學生在老師的點撥下寫出的各種解題方法。

學生a的方法（方法2）：過B作CD的垂線，解法類似于上面方法1。

學生b的方法（方法3）：再次變動作垂線的位置，過D作BC的垂線，根據(jù)勾股定理來列方程解決。具體過程為：作DF垂直于BC，證得△CDF為等腰直角三角形，設CF=DF=x，BF=8-x，通過Rt△DBF列方程x2+（8-x）2=（5）2求得x的值，進一步求得CD的長度。

在幾何圖形中根據(jù)勾股定理列方程是勾股定理的一個重要的應用方式，通過此題的研究，加深了對此方式的應用認識。

學生c的方法（方法4）：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過D作CA，CB的垂線，將CD轉(zhuǎn)化為一個正方形的一條對角線，使用正方形的性質(zhì)來解決問題。

學生d的方法（方法5）：在前一章知識《圖形的旋轉(zhuǎn)》的基礎上，根據(jù)特殊圖形（等腰直角三角形）可以通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造線段和差以及新的特殊圖形（等腰直角三角形）解決問題。將△DAC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DBH，同時證明△DCH為等腰直角三角形，CD為其直角邊，CH=CB+BH=CB+CA=14，∴CD=7.

【分析】

本課堂的教材內(nèi)容是比較簡單，背景知識比較豐富，學生不難自主選擇自己解題的方法，課堂氣氛空前高漲，幾位同學的思維很敏捷，介紹方法也很有條理，學生學的效果很好，教師以學生的中心展開的教學，學生共同探討學習內(nèi)容，建構(gòu)知識的過程，實際上，數(shù)學解題課更應該是開發(fā)創(chuàng)造課程的過程，只有這樣才能使師生的主體性與生命力的張揚發(fā)展成為一個統(tǒng)一的過程中，學生在老師的啟發(fā)點撥下解答的過程應該是充滿著生命活力的，充滿著濃厚趣味性和挑戰(zhàn)性的。從方法1到方法2，3實際上是“數(shù)與式”由單純的數(shù)字計算到方程等式建立的具體到稍微抽象的提升，方法4與方法5對學生的綜合能力由較高的要求。進一步還可以對從學生d的方法（方法5）進行一般化的提煉，將條件“CA=6，CB=8”改動為“CA=4，CB=6”再求CD的長度，學生可以求得此時CD=5，然后，將兩次條件與所得的結(jié)論進行一個對比，即當CA=6，CB=8時CD=7，當CA=4，CB=6時CD=5，讓學生猜測CA、CB、CD這三者是否有某種固定關系，試著讓學生寫出來，并進行證明。那么本題就演變成了證明CA、CB、CD這三條線段之間的關系了，學生可根據(jù)方法五的提示通過旋轉(zhuǎn)來證明此結(jié)論，即CA+CB=CD。教學過程當中應該倡導學生獨立思考，要尊重學生在教學過程當中表現(xiàn)出來的不同的水平，需要對不同的層次問題解決方法進行鋪墊設置，教學過程的展開，練習的安排等，都要盡可能的讓所有的學生主動參與，提出自己的解決問題的策略，并引導學生在與他人交流當中，選擇適合的策略，豐富問題解決的經(jīng)驗，提高思維水平。

【效果】

注重學生在課堂40分鐘內(nèi)有效的鍛煉思維的過程，數(shù)學學習過程當中，學生的個體差異表現(xiàn)在認識方式和思維策略的不同，以及認知水平和學習能力的差異，就是要理解學生，并尊重學生個體差異，滿足學生都想上進的要求，尊重學生的個體差異，盡可能滿足學生的多樣化學習需求，通過一題多解，不同的學生獲得不同的啟發(fā)。

【不足】

數(shù)學解題課應該是充滿“探究”數(shù)學味，對時間、效率的要求很高，有限的課堂時間里，如果教師過于開放，唯恐時間不夠用，過于收緊又會“越俎代庖”代替學生思考、書寫過程，不能充分展示學生的書寫，點撥思維的差異，啟示不同方法的優(yōu)缺。

三、注重精心設置課本例題變式層層遞進教學

從課本中的例題習題進行變形變換式引申推廣，并通過一些相關的練習，使學生在解題時能夠時常變換，舉一反三，真正提高解題能力，再次加強對課本例題習題的教學，對減輕學生負擔十分有益，在一個題引導學生比較權(quán)衡和各種解法法的利弊優(yōu)劣，選擇解決問題的簡潔思路，這對拓寬學生的思維有幫助。變式教學是初中數(shù)學教學的一種常用教學策略，它有利于學生數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)，有利于學生多角度全方位的理解和應用新的知識和方法;同時，變式教學可以體現(xiàn)新課程的教學理念，減輕學生負擔，提高教學質(zhì)量?！皵?shù)學素養(yǎng)是人們通過數(shù)學教育以及自身的實踐和認識活動，所獲得的數(shù)學基礎知識、基本技能、數(shù)學思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學思維品質(zhì)和解決問題能力的總和。數(shù)學課程及其教學，不僅要關注學生對數(shù)學知識、技能、思想方法的掌握，關注其數(shù)學能力的發(fā)展，而且要有助于學生理解數(shù)學的社會價值，領略數(shù)學文化的內(nèi)涵，體驗數(shù)學的思維方式和方法，形成良好的數(shù)學思維品質(zhì)，促使學生的數(shù)學素養(yǎng)得到全面提高?！笨梢?，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維是新課程理念下的重要目標。變式訓練是提高學生的發(fā)散思維能力，化歸、遷移思維能力和思維靈活性的有效方法之一，不僅能使學生全方位、多層次的的認識問題的本質(zhì)，而且能使學生親自參與的實踐中去，提高學習興趣，從而獲得問題更深層次的理解，拓展學生的思維能力，為促進學生智力和能力的提高，獲得高效課堂的教學效果做好鋪墊。

【教學設計片段3】

教師在引導學生發(fā)現(xiàn)CA、CB、CD這三條線段之間的關系之后，嘗試設置一系列的變式練習，例如把C點看成是動點，那么這三條線段之間的關系是否會發(fā)生變化呢？

變式一：已知點C是圓O的一個動點，AB是圓O的直徑，D為弧ADB的中點，C在圓上運動且不與A、B、D重合，連接CA、CB、CD，探索CA、CB、CD三條弦的數(shù)量關系是什么？

學生在教師的啟示下，通過合作討論，根據(jù)C點的運動位置分類討論，分別有以下三種情況：點C分別在的三段弧上。第一種情況是在前面已經(jīng)解決，即CA+CB=■CD.第二種情況與第三種情況看起來是類似的，但與第一種情況的結(jié)論有區(qū)別，如果學生充分理解和掌握第一種情況的證明方法，這種解題思路就可能會“自覺”遷移到這兩種情況中。結(jié)論為：當C在弧AD上時，三者關系為CB-CA=■CD;當C在弧BD上時，三者關系為CA-CB=■CD.通過這樣的變式練習，學生再次熟悉了根據(jù)旋轉(zhuǎn)解決問題的幾何證明方法，同時又滲透了分類討論的思想。

變式二、P在圓周上運動時，探究PA，PB，PC之間的數(shù)量關系？

變式三、已知：圓O的內(nèi)接等腰三角形ABC，AB=AC，D是弧AC上一動點，連接BD，做AE⊥BD于E，探究DC，DE，DB三者之間的數(shù)量關系？

變式四、（廣州中考壓軸題），點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在BAD^上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°.

（1）求證：BD是該外接圓的直徑。

（2）連結(jié)CD，求證：■AC=BC+CD。

（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關系，并證明你的結(jié)論。

【分析】

教學過程當中，通過變更概念非本質(zhì)的特征，改變問題的條件或者結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或者內(nèi)容，有意識有目的地引導學生從變的現(xiàn)象當中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)當中得出變的規(guī)律。一個擁有很強的邏輯思維能力的人，能夠很快地根據(jù)一道題的前因后果，分析出這道題目所描述的內(nèi)涵，同時它也能夠分清楚題目的主次關系。教師可以進行針對性的變式教學，針對課本講解類型的教學，通過對一個問題的變式來達到解決一類問題的目的，對引導學生主動學習，掌握“四基”，領會數(shù)學思想，發(fā)展應用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學素養(yǎng)，積極的形成，情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，提高數(shù)學學習的能力，都有具有很重要的，很積極的作用。

【效果】

變式教學可以加強知識的記憶，鞏固知識，拓展思維，教學過程中有意識的堅持使用變式教學模式，為學生搭建好進步的階梯，使教與學達到最大化的效果。但是，變式教學，只是作為數(shù)學課的一部分，不可以將變式教學整個課堂完全引用，否則會浪費課堂的時間。

【不足】

教師讓學生分組討論解決辦法，讓學生自己拓展變式，由于學生的層次不一，尖子生容易適應教學變式，但是基礎薄弱的就可能需要更多的時間消化，因變式的題目應該遵循適合性的原則，學生要聽得懂，變式教學才有意義。

綜上，一節(jié)課從課本例題出發(fā)，老師根據(jù)題目設置一系列腦力和思維鍛煉的過程，培養(yǎng)教師和學生的創(chuàng)新能力，教師要鼓勵學生從多角度去分析，用不同的方法去解決問題，并且要對比各種方法的優(yōu)缺點，通過對比使學生掌握各種方法的核心所在，方便以后選取最優(yōu)的方法去解決問題。同時，要重視對一些重要的方法的總結(jié)和推廣，有效的滲透重難點知識和方法，使學生逐漸形成由特殊到一般的解題策略。不斷的總結(jié)經(jīng)驗，這種解題課的教學模式可以高效的運用到初中的教學方法當中去。值得一提的是教師在對學生解題時需要關注不同成績的學生各方面的情況和特征，從心理和數(shù)學思想、方法等角度來準備解題課內(nèi)容，關注課堂內(nèi)容是否對基礎知識的有效鞏固、學生會不會產(chǎn)生定勢思維、學生會不會缺乏對解題發(fā)散思維的歸納反思。另外數(shù)學解題課對老師的要求也比較高，目前教師在課堂上存在對數(shù)學解題反思不夠，教師對解題的歸納反思可以使課堂教學效率提高，幫助學生形成優(yōu)秀的學習品質(zhì)。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]莫任明初中數(shù)學中一題多解的能力培養(yǎng)分析《教育界.上旬》2015年第01期.

[2]張育鳳淺談初中數(shù)學課上的變式教學《理科考試研究.初中》2014年第10期.

[3]張娟.淺談如何深挖例題變式題型，有效提高課堂效率[J].神州·理化空間.

[4]李正軍.變式教學在初中數(shù)學中的運用研究[J].中學生報（教研周刊）2017年2月17日第282版.

[5]潘世陽.淺談“一題多變”在初中數(shù)學中的應用.百度文庫.

[6]冉祥華.淺析初中數(shù)學變式教學之“習題變式”.百度文庫.

[7]劉艷杰.數(shù)學變式訓練激活學生思維.百度文庫.