把握數(shù)學(xué)本質(zhì)促進(jìn)有效建模

林迎陶

摘 要：簡(jiǎn)便計(jì)算是學(xué)生需要掌握的一項(xiàng)基本計(jì)算技能，而乘法分配律又是小學(xué)階段學(xué)生比較難理解與敘述的簡(jiǎn)便運(yùn)算定律，因此在簡(jiǎn)便計(jì)算的教學(xué)中應(yīng)該增強(qiáng)他們的對(duì)比辨析、從整體把握簡(jiǎn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力，幫助他們有效建模，以提升簡(jiǎn)便運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：有效建模；乘法分配律；簡(jiǎn)算意識(shí)

一、乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算錯(cuò)誤成因剖析

為了了解學(xué)生的錯(cuò)誤原因，本文對(duì)福建省泉州市鯉城區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年1班60名學(xué)生展開了一次運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算的專項(xiàng)調(diào)查。經(jīng)過整理，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生典型錯(cuò)誤主要有：①35×201=35×（200+1）；②125×25×32=125×8+25×4；③12×97+3=12×（97+3）；④8×（125+9）=8×125+9；⑤35×201=35×200+1；⑥13×55+55×87=715+4785。造成以上錯(cuò)誤有多種因素，但經(jīng)過分析，總的來說可以分成教材、教師、學(xué)生三個(gè)因素。

（一）教材因素

教材的設(shè)置生活味很濃，但貼瓷磚對(duì)學(xué)生來說比較不熟悉，學(xué)生對(duì)不熟悉的事物難以理解也造成了學(xué)習(xí)乘法分配律的困難。此外數(shù)字的小化處理雖然節(jié)約了計(jì)算的時(shí)間，然而也正是因?yàn)閿?shù)字太小，學(xué)生可以直接口算得出結(jié)果，因而學(xué)生喪失了探究的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)。同時(shí)，較小的數(shù)量無法顯示出乘法分配律的計(jì)算優(yōu)勢(shì)，因此造成學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)效果欠佳。而且第七冊(cè)就開始學(xué)習(xí)乘法分配律顯得比較早（人教版、蘇教版都安排在第八冊(cè)），在學(xué)生未接觸運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)及運(yùn)用時(shí)過早地引入乘法分配律比較突兀。而且乘法分配律是具有中高難度的運(yùn)算定律，根據(jù)對(duì)初高中學(xué)生的反饋，在乘法分配律這一塊學(xué)生一直難以真正地掌握計(jì)算規(guī)律，造成以后在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中遇到此類問題時(shí)容易出錯(cuò)，因此學(xué)生不易掌握知識(shí)模型。

（二）教師因素

絕大多數(shù)教師在進(jìn)行乘法分配律教學(xué)工作的過程中均高度重視算式外在形式的部分，反而忽略了算理的介紹，這樣造成的后果就是學(xué)生記不住乘法分配律的基本法則，更難以運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。學(xué)生更偏向于死記硬背，并未掌握實(shí)際內(nèi)涵，時(shí)間稍長(zhǎng)，就會(huì)出現(xiàn)知識(shí)鏈斷裂的現(xiàn)象，即便大量做題，也無法真正掌握技巧。因?yàn)榇罅孔鲱}應(yīng)該是在熟悉基礎(chǔ)知識(shí)后的鞏固練習(xí)，在對(duì)基本知識(shí)不熟的情況下進(jìn)行的練習(xí)產(chǎn)生了錯(cuò)誤的印象反而難以去除。此外，教師為了幫助學(xué)生更快掌握乘法分配律的技巧，會(huì)加大練習(xí)題的數(shù)量，而練習(xí)題往往千篇一律、缺乏創(chuàng)新，這就使得學(xué)生感到學(xué)習(xí)乏味，降低了學(xué)習(xí)效率。乘法分配律的基本應(yīng)用只有兩個(gè)數(shù)相乘換算成兩組數(shù)相乘再相加，或是兩組數(shù)相乘再相加換算成兩個(gè)數(shù)相乘，教師出大量的習(xí)題反而會(huì)增加學(xué)生的畏難情緒。

（三）學(xué)生因素

第一，心理因素：對(duì)于中高年級(jí)的學(xué)生來說，他們具有較強(qiáng)的自尊心，不僅不會(huì)高度重視自身心理或者是行為方面的不足，反而會(huì)下意識(shí)地予以掩飾。若無法學(xué)好數(shù)學(xué)，在題目無法解答時(shí)其往往會(huì)避重就輕，故意忽視問題。第二，認(rèn)知因素：學(xué)生通常并未真正累積大量感性。乘法分配律對(duì)學(xué)生來說是新鮮的事物，之前并不具備相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)以及感性。盡管學(xué)生在學(xué)習(xí)筆算乘法（如兩位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)等）的過程中有接觸到乘法分配律，然而當(dāng)時(shí)并未予以高度重視，純粹是自我感受，并未掌握清晰的算理，在教學(xué)過程中通常只是初步了解規(guī)律，其實(shí)沒有對(duì)所學(xué)知識(shí)予以內(nèi)化。第三，思維因素：學(xué)生經(jīng)常對(duì)題目運(yùn)算已經(jīng)形成思維定式，課上學(xué)什么就做什么作業(yè)，在沒有理解題目后就運(yùn)用相同的方法計(jì)算，這很容易造成學(xué)生沒有牢固掌握乘法分配律的方法后與其他知識(shí)相互干擾的情況。

二、提高乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算的有效教學(xué)對(duì)策

只有知道自己的問題才可以真正解決問題。在上述因素研究之后，本人的觀點(diǎn)是，必須加深學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的理解。因此，本人認(rèn)為應(yīng)當(dāng)從以下三個(gè)方面入手促使學(xué)生進(jìn)行建模。

前伸階段——全面掌握，重視前期滲透；中實(shí)階段——認(rèn)識(shí)實(shí)質(zhì)，推動(dòng)意義建構(gòu)；后延階段——向外拓展，增強(qiáng)簡(jiǎn)算意識(shí)。

（一）系統(tǒng)把握，提前滲透

在乘法分配率學(xué)習(xí)過程中教師應(yīng)當(dāng)切合實(shí)際，必須高度重視學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，明確其生長(zhǎng)點(diǎn)，憑借適應(yīng)與同化，創(chuàng)建相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)與其生長(zhǎng)點(diǎn)又是哪些？如何創(chuàng)建全新知識(shí)結(jié)構(gòu)？

對(duì)于學(xué)生而言，其已經(jīng)掌握的知識(shí)便是幾個(gè)幾就是幾個(gè)幾再加上幾個(gè)幾的和，或者是幾個(gè)幾減去幾個(gè)幾的差。由于低年級(jí)學(xué)生在開始學(xué)習(xí)乘法數(shù)理之后，在之后的教學(xué)內(nèi)容中均會(huì)有所提及。

1.全面了解乘法算式的實(shí)際內(nèi)涵

在《7的乘法口訣》內(nèi)的習(xí)題之中出現(xiàn)如圖1所示的題目：

在教學(xué)這一題目時(shí)，我們不單純?yōu)榱擞?jì)算而完成計(jì)算，必須盡可能反映練習(xí)題的多方面價(jià)值。若是學(xué)生計(jì)算出：“7×8=7×6+7×2”時(shí)，可以繼續(xù)追問：你是怎么想的？學(xué)生明白6個(gè)7加2個(gè)7，就等于8個(gè)7，所以可以用“7×8=7×6+7×2”，接著教師再問：除了這種方法，我們還可以怎樣表示呢？學(xué)生答“7×8=7×5+7×3”等。這實(shí)際上便是掌握乘法分配律的重要方式。若是在做該類習(xí)題的過程中，教師可以讓所有學(xué)生均明確乘法的真正意義，則有利于其日后真正了解并掌握乘法分配律。

2.借助整數(shù)加減法提前滲透

例如，第四冊(cè)教材中第43頁，“整百數(shù)相加”——《買電器》，如圖2所示。

“500+800”即可理解為“5個(gè)一百和8個(gè)一百合起來是13個(gè)一百”。如果把這個(gè)思維過程用乘法分配律寫出來就是“5×100+8×100=（5+8）×100”。通過這種方式，教師可以把無意識(shí)滲透提升到有意識(shí)滲透，使學(xué)生對(duì)乘法分配律的內(nèi)涵理解得更為透徹。

在平時(shí)教學(xué)中，如果教師能真正了解教材的實(shí)際意義，全面掌握教材的內(nèi)容，在對(duì)低年級(jí)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)的過程中便融入乘法分配率的有關(guān)數(shù)理，這既能整理、概括乘法分配律打好基礎(chǔ)，也能幫助學(xué)生在進(jìn)入高年級(jí)后更快掌握乘法分配律的方法。

（二）立足本質(zhì)，促進(jìn)意義建構(gòu)

在當(dāng)代數(shù)學(xué)觀的重點(diǎn)內(nèi)容之中有如下介紹：在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)致力于協(xié)助學(xué)生創(chuàng)建應(yīng)用、研究與賞析、建構(gòu)等各類模式的具體能力，換而言之，即必須通過簡(jiǎn)單的方式以及實(shí)質(zhì)的內(nèi)容對(duì)學(xué)生所掌握的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行建模。乘法分配律也是一樣，應(yīng)將實(shí)質(zhì)當(dāng)作切入點(diǎn)，給學(xué)生并不陌生的各類問題創(chuàng)建適宜的情境，促使學(xué)生可以在實(shí)際教學(xué)過程中自己領(lǐng)悟、探索、檢驗(yàn)、歸納、總結(jié)，最后創(chuàng)建相應(yīng)模型，給學(xué)生創(chuàng)建科學(xué)合理的“首因效應(yīng)”。

1.精選問題情境，為自主建模提供支點(diǎn)

學(xué)生在明確計(jì)算方法時(shí)，主要還是憑借在日常生活中所積累的經(jīng)驗(yàn)以及自身感悟，而且學(xué)生在建模的過程中要接觸多側(cè)面、多層次的豐富的現(xiàn)實(shí)問題原型。在乘法分配律教學(xué)時(shí)，可將“貼瓷磚”改為“買衣服”，購(gòu)物情境更貼近學(xué)生的生活實(shí)際，讓學(xué)生在熟悉的情境中，利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)，探索數(shù)學(xué)和日常生活過程中的相似之處，由此便能真正解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所出現(xiàn)的抽象性以及學(xué)生自身所具備的形象性間的不匹配的問題。

新授中，可出示例題：天氣逐漸變涼，王叔叔前往批發(fā)市場(chǎng)采購(gòu)衣物，其挑選了一件外套與一條褲子，其中外套價(jià)格為63元/件，褲子的價(jià)格則是37元/條，試問他要購(gòu)入8套，總計(jì)多少錢？你能通過什么方法解答？學(xué)生列出63×8+37×8、（63+37）×8兩種算式后，教師在要求學(xué)生對(duì)上述兩個(gè)答題方式展開對(duì)比研究，除了應(yīng)當(dāng)明確上述兩個(gè)方法均是正確的，也都可以使用，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這套衣服的價(jià)格正好是100，若是將其先相加之后再相乘時(shí)則更加利于計(jì)算，并能掌握更為簡(jiǎn)便的答題方式。

2.注重意義感悟，為自主建模打下基礎(chǔ)

在學(xué)生得出63×8+37×8=（63+37）×8后，我們不能僅單純地由計(jì)算層面入手去探索同時(shí)予以檢驗(yàn)，還應(yīng)當(dāng)乘機(jī)詢問“若是不通過計(jì)算，能不能通過之前掌握的理論來予以闡述這兩個(gè)方法相等的原因”，隨后便運(yùn)用數(shù)形有機(jī)融合的方式來促使學(xué)生按照乘法的真正意義來對(duì)上述問題進(jìn)行分析。如可以呈現(xiàn)下面的情境：

小區(qū)有一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，原來長(zhǎng)63米，寬8米，由于要擴(kuò)大綠化面積，長(zhǎng)增加37米，如圖3所示。求擴(kuò)建后的花圃面積，在數(shù)形圖的幫助下明白8個(gè)63+8個(gè)37=8個(gè)100（63+37）的道理。在之后的學(xué)習(xí)之中，還應(yīng)當(dāng)不斷強(qiáng)化該類情境，并且讓學(xué)生可以根據(jù)算式去自由構(gòu)想相應(yīng)的情境，通過自主思考明確算式的實(shí)質(zhì)意義。

3.逐步抽象概括，為自主建構(gòu)搭建模型

依據(jù)前文分析，能具有橫向?qū)Ρ?、逐步符?hào)以及新舊比較等三個(gè)層次的抽象過程，讓學(xué)生在建模過程中對(duì)數(shù)學(xué)思想

方法進(jìn)行提煉與感悟，增加建模的厚度，催化建模的理性提升。先將“8套”改成“20套”橫向比較抽象，再將“20套”改成“c套”，“63元”則轉(zhuǎn)變?yōu)椤癮元”，而“37元”則轉(zhuǎn)變?yōu)椤癰元”，這便是不再具有相應(yīng)數(shù)值的抽象，開始朝符號(hào)抽象的方向發(fā)展，由此來讓學(xué)生加深對(duì)乘法分配律實(shí)質(zhì)的理解，同時(shí)獲取與之對(duì)應(yīng)的字母表達(dá)方式；最后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊知識(shí)對(duì)比，相互交流長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式以及路程計(jì)算公式等所有理論與實(shí)踐之間的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)乘法分配律特征的認(rèn)識(shí)，完善關(guān)于運(yùn)算定律的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣乘法分配律模型的建構(gòu)在以上三次抽象中自然就水到渠成了。

（三）后期延伸，提高簡(jiǎn)算意識(shí)

1.理解為本，強(qiáng)化對(duì)比性

乘法分配律對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)比較難解的運(yùn)算定律，且又容易與其他的定律混淆，再加上它的應(yīng)用豐富多變，學(xué)生必然會(huì)有霧里看花的感覺，經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，在初始學(xué)習(xí)階段，教師一定要注重“悟”，不能“灌”，引導(dǎo)學(xué)生真正理解其意義本源，尋找這些特例與運(yùn)算定律之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生從“形式”過渡到“內(nèi)涵”，深入知識(shí)“心臟”，組建全新認(rèn)知框架。比如，在簡(jiǎn)化計(jì)算99×38以及27×301的過程中，教師應(yīng)該充分發(fā)揮出其引導(dǎo)作用，讓學(xué)生做出比較研究，99×38所代表的是99個(gè)38相加所得的值，那么可以率先計(jì)算100個(gè)38相加得到的值為3800，再減去38，得出的值便是3762；而27×301則是301個(gè)27相加，可以率先得出300個(gè)27相加的值為8100，隨后再加上27，得到的值為8127。如此一來，不僅能對(duì)算式意義進(jìn)行準(zhǔn)確劃分，同時(shí)也可以從實(shí)質(zhì)入手，在計(jì)算和乘法分配率之間創(chuàng)建內(nèi)在關(guān)聯(lián)性。為了提高學(xué)生對(duì)乘法分配律的興趣，教師可以事先出一套計(jì)算卷子，題型全部為可分解應(yīng)用乘法分配律的相關(guān)題。學(xué)生可以采用乘法分配律計(jì)算，也可以不采用乘法分配律計(jì)算，但一定要在規(guī)定的時(shí)間交卷，這樣通過對(duì)比學(xué)生完成的題目數(shù)量以及正確律，讓學(xué)生確實(shí)感受到乘法分配律的簡(jiǎn)便，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲。

2.指導(dǎo)學(xué)法，拓展變式題

在學(xué)生掌握整數(shù)運(yùn)算的前提下，便可以延伸至分?jǐn)?shù)和小數(shù)計(jì)算來拓展學(xué)生的知識(shí)面，此時(shí)學(xué)生可能會(huì)覺得難度過大，產(chǎn)生排斥心理。因此，教師不僅應(yīng)當(dāng)不斷強(qiáng)化算理實(shí)質(zhì)的闡述，同時(shí)還應(yīng)當(dāng)不斷強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，提高他們對(duì)數(shù)字的敏感性。

針對(duì)一部分學(xué)生在對(duì)小數(shù)進(jìn)行拆分的過程中會(huì)產(chǎn)生大小發(fā)生變化的情況，教師必須要求其在拆分環(huán)節(jié)進(jìn)行檢查，確定其是否正確。比如，針對(duì)9.9×3.4=（10-0.1）×3.4，則需要學(xué)生檢驗(yàn)9.9拆分成（10-0.1）是否正確。而針對(duì)b+b×99時(shí)，學(xué)生在精算計(jì)算時(shí)也可以將b當(dāng)作b×1，并把 b×1標(biāo)在上面，也就是可以看成b×1+b×99，如此便能讓學(xué)生明確拆分結(jié)構(gòu)，并計(jì)算得出正確的答案。還有9.3÷0.25-5.3×4=9.3×4-5.3×4=（9.3-5.3）×4=4×4=16，3.6×7.3+0.64×73=3.6×7.3+6.4×7.3=（3.6+6.4）×2.3=

10×7.3=73。此時(shí)教師便應(yīng)該讓學(xué)生掌握小數(shù)各類運(yùn)算的規(guī)律和各類變形技巧，以此來實(shí)現(xiàn)乘法分配律的具體結(jié)構(gòu)特征的把握。教師在講解并帶領(lǐng)學(xué)生練習(xí)了一段乘法分配律后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)乘法分配律的基本法則，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力。在這一過程中教師可以提出幾個(gè)問題讓學(xué)生按照問題的思路來總結(jié)：乘法分配律通常將什么樣的數(shù)進(jìn)行拆分（接近于整數(shù)的數(shù)）？乘法分配律涉及哪幾種運(yùn)算（乘法、加法、減法）？乘法分配律分配兩個(gè)字怎么理解（分別相乘再相加或減）？怎樣用圖形或字母表示乘法分配律（□×（△+☆）=△×□+☆×□，a（b+c）=ab+ac）。

3.優(yōu)化算法，培養(yǎng)靈活性

絕大多數(shù)學(xué)生僅僅在標(biāo)注了“簡(jiǎn)便運(yùn)算”這四個(gè)字時(shí)才知道需要運(yùn)用簡(jiǎn)算方法，這也跟上文分析的思維定式相關(guān)。面對(duì)該情況，在做練習(xí)題的過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在涉及相關(guān)計(jì)算時(shí)，無論是否要求進(jìn)行“簡(jiǎn)便運(yùn)算”，均應(yīng)當(dāng)具有簡(jiǎn)算這一理念，挑選適宜簡(jiǎn)化的計(jì)算方式，有效提升自身效率與準(zhǔn)確率。比如，三年級(jí)2個(gè)班回收廢紙，1班回收了53千克，2班回收了47千克。如果每千克廢紙值6角，一共可以賣多少元？設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)，讓學(xué)生意識(shí)到，簡(jiǎn)算絕非單純計(jì)算題可以運(yùn)用，應(yīng)當(dāng)針對(duì)所有涉及計(jì)算的方面均具備簡(jiǎn)算思想，尤其是在處理日常生活問題的過程中。此外，教師在教學(xué)過程中，需要同時(shí)呈現(xiàn)可以使用和不能使用乘法分配律的習(xí)題，增加練習(xí)難度，讓學(xué)生明辨不同，加深他們的體驗(yàn)和認(rèn)知。

4.集中易錯(cuò)題，強(qiáng)化練習(xí)

教師可以將乘法分配律計(jì)算中易錯(cuò)的題型集中起來，讓學(xué)生進(jìn)行挑錯(cuò)。學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)別的人錯(cuò)誤，在修改別人的錯(cuò)題過程中強(qiáng)化了記憶，避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤。比如，最初調(diào)查中發(fā)現(xiàn)的易錯(cuò)題型：①13×55+55×87=715+4785；②125×25×32=125×8+25×4；③12×97+3=12×（97+3）；④8×（125+9）=8×125+9；⑤35×201=35×200+1。由學(xué)生改正后教師歸納出乘法分配律一共容易出現(xiàn)以下幾種錯(cuò)誤：可以采用乘法分配律而未采用的，不可以采用乘法分配律而采用的，擅自加括號(hào)改變計(jì)算規(guī)則的，分配律展開計(jì)算時(shí)未分配乘入的，乘法分配律計(jì)算過程中應(yīng)當(dāng)加括號(hào)未加括號(hào)改變計(jì)算結(jié)果的。這樣經(jīng)過了糾錯(cuò)練習(xí)，使學(xué)生在利用乘法分配律時(shí)把握了規(guī)則的實(shí)質(zhì)并做到熟練應(yīng)用。

三、結(jié)語

劉加霞教授曾說：“把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一切教學(xué)法的根?！焙?jiǎn)便運(yùn)算的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生善于思考、思維靈活、自主運(yùn)用的能力，它是一個(gè)長(zhǎng)期培養(yǎng)的過程，因此我們?cè)诳吹絾栴}表面的同時(shí)，更應(yīng)尋根問源。教師只有理解并把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，從學(xué)生的問題出發(fā)，把握學(xué)生思維的脈絡(luò)，把教學(xué)落到學(xué)生的困難處，幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，才能有效促進(jìn)學(xué)生自主建模。乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生掌握乘法分配律的運(yùn)算法則及精髓，才能更好地學(xué)習(xí)《乘法分配律》這一章節(jié)。

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