解析運(yùn)用簡單線性規(guī)劃思想求最值問題

紀(jì)智斌

【摘要】 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)，是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，尤其運(yùn)用線性規(guī)劃思想求最值在高考中出現(xiàn)的頻率較高.研究得知，這類題目難度不大，為避免學(xué)生在高考中失分，教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)注重相關(guān)題型的講解，不斷提高學(xué)生的解題能力，使學(xué)生在高考中取得理想成績.

【關(guān)鍵詞】 線性規(guī)劃;思想;求最值;問題

一、線性目標(biāo)函數(shù)求最值

線性目標(biāo)函數(shù)求最值是學(xué)生最先接觸的一類題型，難度不大，解答該類題目的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件正確畫出可行域.對(duì)于可行域?yàn)榉忾]圖形的試題而言，要求函數(shù)的最值一般在頂點(diǎn)或封閉圖形的邊界取得，因此，學(xué)生還應(yīng)正確計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo).

例1?? 已知x，y滿足 x-4y≤-3，3x+5y≤25，x≥1，? 求z=2x+y的最值.

分析? 解答該題目時(shí)，首先畫出可行域范圍，如圖1所示，畫出2x+y=0的直線，通過平移可知，z在B點(diǎn)取得最小值，在A點(diǎn)取得最大值.通過聯(lián)立對(duì)應(yīng)不等式，不難解出B（1，1），A（5，2）代入的z的最小值為3，最大值為12.

求解線性目標(biāo)函數(shù)最值時(shí)，為保證解題正確性，應(yīng)注意：（1）對(duì)于選擇題型，可通過代入特殊值進(jìn)行判斷，例如，若直線不過原點(diǎn)，可將原點(diǎn)代入進(jìn)行分析.（2）看清約束條件中的不等號(hào)是否有等號(hào)，含等號(hào)則畫實(shí)線，不含等號(hào)畫虛線.

二、非線性目標(biāo)函數(shù)求最值

非線性目標(biāo)函數(shù)求最值類型的題目難度中等，解題時(shí)需要學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，或能夠看出目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行求解，因此，解答該類題目時(shí)，學(xué)生先不要?jiǎng)庸P，應(yīng)冷靜的分析，找到解題突破口.

例2?? 已知實(shí)數(shù)x，y滿足 x+y-3≥0，x-y+1≥0，x≤2，? 若z=x2+y2，求z的最大值與最小值.

分析? 解答該題目時(shí)，根據(jù)約束條件正確畫出可行域?qū)W(xué)生而言難度不大，但部分學(xué)生對(duì)z=x2+y2的理解不深入，不知如何求解.事實(shí)上，其表示的幾何意義為可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.通過這樣的分析，便不能進(jìn)行求解.由已知條件，畫出圖2可行域.

過原點(diǎn)作和x+y-3=0垂直的直線l.垂足為N，顯然直線l的方程為y=x，聯(lián)立方程組 x+y-3=0，y=x，? 可得N點(diǎn)坐標(biāo)? 3 2 ， 3 2? ，其在線段AB上，也在可行域內(nèi).由圖形可知 點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離最小，顯然|OM|= 13 ，|ON|=? 9 2? ，即，z=x2+y2的最大值為13，最小值為 9 2 .

非線性函數(shù)求最值主要利用其幾何意義進(jìn)行求解，其中（x-a）2+（y-b）2， y-b x-a ，|Ax+By+C|類型的非線性函數(shù)較為常見，其中（x-a）2+（y-b）2表示的幾何意義為點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)（a，b）距離的平方. y-b x-a 表示點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)（a，b）連線的斜率.|Ax+By+C|表示點(diǎn)（x，y）到直線Ax+By+C=0距離的 A2+B2 倍.

三、實(shí)際應(yīng)用中求最值

線性規(guī)劃在解決實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛，相關(guān)題目在高考中多有體現(xiàn).該類題目需要學(xué)生從題干中找到約束條件，而后進(jìn)行求解，難度相對(duì)較大，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)解決實(shí)際問題的能力，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)多注重該類型題目的講解.

例3?? 某電腦用戶準(zhǔn)備花費(fèi)500元購買軟件及磁盤，其中軟件單價(jià)60元，磁盤單價(jià)70元，軟件購買數(shù)量不能少于3套，磁盤不能少于2個(gè)，共有多少種選擇方法？兩種商品最多能買多少？

分析? 該題目創(chuàng)設(shè)的情景并不復(fù)雜，顯然需要根據(jù)題干條件，準(zhǔn)確找到約束條件而后進(jìn)行解答，但需要注意的是該題目與一般線性規(guī)劃類的題目不同，求解的參數(shù)均為整數(shù).設(shè)軟件購買套數(shù)為x套，磁盤購買個(gè)數(shù)為y個(gè)，一共購買z張，根據(jù)題目表述，得出以下約束條件：

x≥3，y≥2，60x+70y≤500，x，y∈ N *，

其中目標(biāo)函數(shù)為z=x+y.

求解時(shí)根據(jù)約束條件畫出圖3.

由圖3可清晰地看到滿足條件的坐標(biāo)共有7個(gè)，分別為（3，4），（4，3），（3，3），（6，2），（5，2），（4，2），（3，2）說明滿足題意的方案共7套.利用平行法找最優(yōu)點(diǎn)，可知最優(yōu)點(diǎn)為（6，2），即，軟件買6套，磁盤買2片.

應(yīng)用線性規(guī)劃思想求解實(shí)際問題時(shí)，為保證解題的正確性，學(xué)生應(yīng)認(rèn)真讀題，理清參數(shù)間的關(guān)系，列出正確的約束條件，正確確定目標(biāo)函數(shù)，一定要注意參數(shù)的取值，既要滿足約束條件，又要滿足實(shí)際情況.

四、結(jié) 論

線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)，相關(guān)題型常出現(xiàn)在高考中，包括線性目標(biāo)函數(shù)求最值、非線性目標(biāo)函數(shù)求最值、實(shí)際應(yīng)用題型等，難度一般不大.為避免學(xué)生失分，提高解題正確率，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)做好該類題型的總結(jié)，并根據(jù)不同題型講解具體的題目，使學(xué)生掌握解答相關(guān)題型的技巧及注意事項(xiàng).

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