特殊取值，巧妙求解

徐峰

【摘要】 在解答某些高中數(shù)學(xué)問題時可以嘗試采用特殊值法，即選取特殊的值加以研究.采用特殊值法可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，簡化問題，達到事半功倍的效果.本文列舉了特殊值法在數(shù)學(xué)中的幾種應(yīng)用，通過對特殊值的具體選取加以舉例分析，為學(xué)生的解題提供一種新的思路.

【關(guān)鍵詞】 特殊值法;不等式;證明題;解析幾何

特殊值法是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的一種方法，特殊值法即通過對問題的分析和判斷，抓取一些特殊的數(shù)值或圖形去探尋問題普遍的確定性的規(guī)律.使用特殊值的思想可以快速準確地判別獲得答案，省時省力，提高解題效率.

一、特殊“不等式”

不等式題是高中常見的題型，也是考試中難度適中的題型，解此類題型時不僅需要找到問題的切入點，還經(jīng)常面臨分類討論等繁復(fù)的求解過程，而通過特殊值法則可以較為簡便地把握討論的關(guān)鍵點，快速切入問題，準確解答.

例1?? 若-2≤a≤2時，不等式ax2-2x-a+1<0恒成立，求x的取值范圍.

分析? 對原不等式進行分析，原不等式可變形為a（x2-1）-2x+1<0，觀察后可知x=±1時不等式的二次項可以去除，則原不等式的特殊值可以選取為x=±1或x≠±1，通過采用特殊值法可對原函數(shù)進行降次，之后的分析則會非常簡單.

解?? 將ax2-2x-a+1<0變形為a（x2-1）-2x+1<0.

當x=-1時，-2×（-1）+1=3>0，則原不等式不成立;當x=1時，-2×1+1=-1<0，則原不等式成立;當 x≠±1時，構(gòu)造一次函數(shù)f（a）=a（x2-1）-2x+1，則-2≤a≤2時，f（a）<0恒成立，則存在 f（-2）<0，f（2）<0，? 即 1- 3? 2 <x< 1+ 3? 2 .

評注? 解答本題的關(guān)鍵是找準特殊值，然后用構(gòu)造函數(shù)的方式來進行主元的有效轉(zhuǎn)化，利用特殊值來進行針對性討論，避免了分類討論的復(fù)雜性.這種思維方式可以很快地找到解決問題的關(guān)鍵，謀求最大效率，學(xué)生在練習(xí)時可以有意識地培養(yǎng).

二、特殊“證明”

高中數(shù)學(xué)的證明題題型靈活，學(xué)生在做此類題的時候經(jīng)常會無從下手，在一些情形下則可以采用特殊值的方法來嘗試求解.求解時首先對題目進行分析，提取有效信息，包括題目中相關(guān)函數(shù)或圖形的一些特殊性質(zhì)和規(guī)律，再進行假設(shè)嘗試，設(shè)定特殊值，切記不要以偏概全，一概而論.

例2?? 證明函數(shù)y=cos x 不是周期函數(shù).

分析? cos x 不是常規(guī)函數(shù)，不能簡單地通過一般方法進行求解，需要注意的是原函數(shù)的定義域必定為x≥0.證明函數(shù)不是周期函數(shù)可首先假設(shè)原函數(shù)為周期函數(shù)，通過反證法進行證明.設(shè)定為周期函數(shù)則可以假設(shè)周期常數(shù)，此時則可以提取特定值對原函數(shù)的周期性進行判斷.

解? 原函數(shù)的定義域為x≥0，現(xiàn)假設(shè)y=cos x 是周期函數(shù)，則必然存在一個常數(shù)T（T≠0），使得原函數(shù)在定義域內(nèi)的一切x都滿足cos x+T =cos x .

令x=0有cos T =cos0=1 T =2mπ，m∈ Z ;令x=T有cos 2T =cos T =1 2T =2nπ，n∈ Z ，于是 2 = n m ，此時與m，n∈ Z 相矛盾，從而可以判定假設(shè)不成立，故原函數(shù)y=cos x 不是周期函數(shù).

評注? 本題是典型的證明題，考查學(xué)生對周期函數(shù)的定義和異形函數(shù)變形的掌握，解題有兩大關(guān)鍵點：一是命題的假設(shè)，二是特殊值的選取.巧妙地選取特殊值則可以立即體現(xiàn)命題的矛盾，達到立竿見影的效果.對于特殊值的抓取則需要學(xué)生在平時注意理解基礎(chǔ)知識、積累規(guī)律性質(zhì).

三、特殊“解析”

特殊值法在解析幾何中探尋方程軌跡也十分有效，可以通過特定點的設(shè)定以及特定斜率范圍的假設(shè)來預(yù)判軌跡，至于設(shè)定的正確與否則可以根據(jù)已知條件進行求證.特殊值法是一種迂回的思想，即避開問題的一般性質(zhì)用特定的解來判定可能性.

例3?? 已知橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），點 -1，? 2? 2? 在橢圓上.已知一點F和一動直線n，直線經(jīng)過點F，且與橢圓C相交于A，B兩點，則x軸上是否存在定點Q，使得QA ·QB =- 7 16 恒成立？若存在，則求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

分析? 本題考查的是橢圓軌跡問題，動直線n有兩種情形，即斜率存在和不存在，兩種情形下都可以求出特定的點Q，通過對特定點坐標的考證可以判定其是否符合條件，最終綜合兩種情形則可以說明問題.

解? 假設(shè)在x軸上有一點Q（m，0），使得QA ·QB =- 7 16 恒成立，當直線n的斜率為0時，A（ 2 ，0），B（- 2 ，0），則（ 2 -m，0）·（ 2 -m，0）=- 7 16 ，所以有m2= 25 16 ，所以m=± 5 4 .當直線n的斜率不存在時，A 1，? 2? 2? ，B 1，-? 2? 2? ，則 1-m，? 2? 2? · 1-m，-? 2? 2? =- 7 16 ，所以有（1-m）2= 1 16 ，所以m= 5 4 或m= 3 4 .綜合可得m= 5 4 .所以x軸上存在點Q? 5 4 ，0 ，使得QA ·QB =- 7 16 恒成立.

評注? 本題抓住了解析幾何中直線斜率存在與否展開討論，求出特定的點加以分析，這是特殊值法的常規(guī)使用. 解析幾何問題相對復(fù)雜，如果直接通過一般的規(guī)律對其解答勢必會占用大量的時間，而通過取定值的方式則可以簡化問題.

綜上所述，特殊值法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，通過選取特定的值，則可以簡單快速地求解不等式，證明命題成立，以及分析解析幾何.合理地對特殊值進行分析可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探尋結(jié)論，從而解決問題.