系統(tǒng)復(fù)雜性及度量*

段曉君，尹伊敏，顧孔靜

(國(guó)防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

1 復(fù)雜性語(yǔ)義簡(jiǎn)析

Hawking認(rèn)為“21世紀(jì)是復(fù)雜性科學(xué)的世紀(jì)”[1]。復(fù)和雜兩字的本意分別包含了有序和無(wú)序含義，由此顯示出其復(fù)雜性[2]。對(duì)應(yīng)復(fù)合度的英語(yǔ)Complicated意味著很難解開，復(fù)合度高的系統(tǒng)通常指互相牽連，難以展開成更簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，即復(fù)合物、混合體；而復(fù)雜性對(duì)應(yīng)的 Complexity意味著很難分析，復(fù)雜系統(tǒng)則是指相互依賴，每個(gè)組件的行為依賴于其他組件的行為，減少部分或者分解后不能運(yùn)轉(zhuǎn)的系統(tǒng)。從詞義分析可知高復(fù)合度的系統(tǒng)未必有相對(duì)應(yīng)的高復(fù)雜性，從而避免僅用還原論思想解釋復(fù)雜性。

2 復(fù)雜性的界定

復(fù)雜性科學(xué)是關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的微觀聯(lián)系及宏觀功能時(shí)空演化、預(yù)測(cè)及控制規(guī)律的科學(xué)[3]。至今復(fù)雜性并沒(méi)有統(tǒng)一的定義，因?yàn)閺?fù)雜性概念是語(yǔ)境依賴的，因此不同語(yǔ)境下存在不同的復(fù)雜性語(yǔ)義和測(cè)度[2]。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)對(duì)復(fù)雜性的定義已有45種之多；相應(yīng)地，復(fù)雜系統(tǒng)也有十大特征[2,4]。

信息論創(chuàng)始人之一Wavell[5]將復(fù)雜性界定為有組織和無(wú)組織兩類。Lorentz認(rèn)為復(fù)雜性即對(duì)初始條件的敏感依賴性[2]。Simon給出了層級(jí)復(fù)雜性的概念，他將復(fù)雜性與系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，認(rèn)為進(jìn)化著的復(fù)雜性往往表現(xiàn)為層級(jí)結(jié)構(gòu)并且層次系統(tǒng)比規(guī)模相當(dāng)?shù)姆菍哟蜗到y(tǒng)進(jìn)化速度快很多[6]。Prigogine等[7]的“探索復(fù)雜性”主要是指系統(tǒng)的自組織。美國(guó)人工生命之父Langton把復(fù)雜性理解為混沌的邊緣，即復(fù)雜性最可能處在有序和無(wú)序狀態(tài)之間[2]。Buck[8]認(rèn)為可把復(fù)雜性理解為自組織臨界性。Holland[9]認(rèn)為復(fù)雜性是“隱秩序”，適應(yīng)性造就復(fù)雜性。法國(guó)的Morelan認(rèn)為“復(fù)雜性是辯證法的統(tǒng)一”，可視復(fù)雜性為有序和無(wú)序的對(duì)立統(tǒng)一[2]。

20世紀(jì)三四十年代，Godel、Turing等數(shù)理學(xué)家在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的可解性時(shí)提出了計(jì)算問(wèn)題，而后到60年代逐漸發(fā)展成計(jì)算復(fù)雜性理論[2]；之后Kolmogorov等[10-11]提出了算法復(fù)雜性，即用描述符號(hào)序列的最短程序長(zhǎng)度來(lái)度量該序列的復(fù)雜度，但具體應(yīng)用時(shí)難以計(jì)算且具有一定的主觀性。Cramer[12]將復(fù)雜性定義為系統(tǒng)可能狀態(tài)數(shù)目的對(duì)數(shù)，此定義具有一定的主觀性。他還以算法復(fù)雜性為基礎(chǔ)定義了亞臨界復(fù)雜性、臨界復(fù)雜性和根本復(fù)雜性。隨之又有了代數(shù)復(fù)雜性的概念[2]，用求解問(wèn)題所需的計(jì)算次數(shù)來(lái)度量復(fù)雜度。算法復(fù)雜性及引申都是利用隨機(jī)性度量復(fù)雜性，而Gellmann利用對(duì)系統(tǒng)規(guī)律性的簡(jiǎn)述長(zhǎng)度來(lái)衡量有效復(fù)雜性[2,13]。有效復(fù)雜性處在有序和無(wú)序的中間地帶。文獻(xiàn)[9]用無(wú)序函數(shù)(圖1)來(lái)定義系統(tǒng)的復(fù)雜性，對(duì)于非平衡態(tài)，利用系統(tǒng)的無(wú)序函數(shù)及與平衡態(tài)的距離度量系統(tǒng)的復(fù)雜性；如果系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)(即最混亂狀態(tài))，或者完全有序(即距平衡態(tài)最遠(yuǎn))，則系統(tǒng)的復(fù)雜性消失[14]。

(a) 類別Ⅰ(a) Category Ⅰ (b) 類別Ⅱ(b) Category Ⅱ (c) 類別Ⅲ(c) Category Ⅲ圖1 用無(wú)序函數(shù)刻畫復(fù)雜性的三個(gè)類別[14]Fig.1 Three categories of complexity as a function of disorder[14]

構(gòu)成系統(tǒng)不同的元素也會(huì)影響自身復(fù)雜性，Dodder和Dare將復(fù)雜性特點(diǎn)概括為：靜態(tài)復(fù)雜性、動(dòng)態(tài)復(fù)雜性、信息復(fù)雜性[15]。Manson[16]把復(fù)雜性研究分為算法復(fù)雜性、確定性復(fù)雜性和集成復(fù)雜性。Wade 和Heydari[1]從三個(gè)角度給出了復(fù)雜性的定義。①行為復(fù)雜性：將系統(tǒng)看成是一個(gè)黑箱，復(fù)雜性可基于系統(tǒng)輸出的規(guī)律性和隨機(jī)性來(lái)度量，用Shannon信息熵來(lái)定量描述系統(tǒng)的復(fù)雜性。②結(jié)構(gòu)復(fù)雜性：基于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行復(fù)雜性的測(cè)量和定義。一般而言，組成系統(tǒng)的單元數(shù)量越大、種類越多、構(gòu)成系統(tǒng)的子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)層次越多、互相牽制，則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越復(fù)雜。③建構(gòu)復(fù)雜性：系統(tǒng)預(yù)測(cè)輸出的難度決定了系統(tǒng)的復(fù)雜性。另外，系統(tǒng)設(shè)計(jì)與控制有關(guān)的復(fù)雜性，可分為結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性、構(gòu)造復(fù)雜性[17]。

錢學(xué)森等[18-19]以系統(tǒng)再分類為基礎(chǔ)，認(rèn)為系統(tǒng)的復(fù)雜性包括子系統(tǒng)間的通信方式、子系統(tǒng)的定性模型、不同內(nèi)容表達(dá)及獲取相應(yīng)知識(shí)、結(jié)構(gòu)的改變等。顏澤賢等[2,20]認(rèn)為復(fù)雜性是超越層級(jí)間的不能直接還原的關(guān)系。苗東升[2,21]對(duì)漢語(yǔ)中“復(fù)雜”一詞從分形的角度進(jìn)行了解讀，并且探討了十三類復(fù)雜性根源。文獻(xiàn)[22]中提到圣菲研究所的科學(xué)家們對(duì)復(fù)雜性的理解概括為:復(fù)雜性科學(xué)是研究復(fù)雜系統(tǒng)在一些規(guī)則下怎樣產(chǎn)生有組織性的行為。成思危[23]將復(fù)雜性分為物理復(fù)雜性、生物復(fù)雜性和經(jīng)濟(jì)社會(huì)復(fù)雜性三個(gè)方面。郝柏林[24]指出復(fù)雜性介于不確定和有序之間。吳彤[25]提出的客觀復(fù)雜性包括：結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、邊界復(fù)雜性和運(yùn)動(dòng)復(fù)雜性。楊永福[26]對(duì)復(fù)雜性概念和進(jìn)化機(jī)制進(jìn)行分析后，將復(fù)雜性分為結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、功能復(fù)雜性和組織復(fù)雜性三類。宋學(xué)峰[27]將復(fù)雜性科學(xué)研究按系統(tǒng)復(fù)雜性的客觀性和相對(duì)性分為自然科學(xué)和組織行為科學(xué)兩大學(xué)派，前一學(xué)派認(rèn)為復(fù)雜性存在于客觀系統(tǒng)中，而后者則認(rèn)為復(fù)雜性源自于人的大腦。文獻(xiàn)[28]梳理了錢學(xué)森形成獨(dú)到的復(fù)雜性研究思路和方法論的歷程，總結(jié)以錢學(xué)森的觀點(diǎn)，復(fù)雜性實(shí)際上是開放式的復(fù)雜巨系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)，是巨正則復(fù)雜系統(tǒng)的特征。金菊良等[29]認(rèn)為，系統(tǒng)復(fù)雜性主要是指系統(tǒng)與子系統(tǒng)之間、子系統(tǒng)與子系統(tǒng)之間、要素與系統(tǒng)之間、要素與要素之間的關(guān)系呈現(xiàn)的各種不確定性，以及系統(tǒng)與外部環(huán)境之間的關(guān)系呈現(xiàn)出的各種不確定性。文獻(xiàn)[30]提到不確定性是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非結(jié)構(gòu)化問(wèn)題或演變成復(fù)雜問(wèn)題的主要因素。以復(fù)雜性命名的系統(tǒng)理論有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[31]、復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)等。

20世紀(jì)80年代中期，Larry Tesler在一段采訪中對(duì)復(fù)雜性守恒定律(也稱泰斯勒定律)進(jìn)行了討論：根據(jù)復(fù)雜性守恒定律，每個(gè)計(jì)算機(jī)應(yīng)用程序都有其內(nèi)在復(fù)雜度。這一觀點(diǎn)主要應(yīng)用在交互設(shè)計(jì)領(lǐng)域，復(fù)雜性在設(shè)計(jì)者和使用者兩者之間進(jìn)行分配，也反映出復(fù)雜度守恒定律的普適性。

3 復(fù)雜性的分類

美國(guó)匹茲堡大學(xué)Rescher[2,32]以本體論和認(rèn)識(shí)論為框架，將復(fù)雜性概念分為組分復(fù)雜性(構(gòu)成復(fù)雜性和分類復(fù)雜性)、結(jié)構(gòu)復(fù)雜性(組織復(fù)雜性和層級(jí)復(fù)雜性)、功能復(fù)雜性(操作復(fù)雜性和通用復(fù)雜性)以及形式復(fù)雜性(描述復(fù)雜性、生成復(fù)雜性和計(jì)算復(fù)雜性)，然而此分類中并沒(méi)有考慮系統(tǒng)的規(guī)模、演化過(guò)程、行為預(yù)測(cè)、功能保持與控制等。郭雷[3]創(chuàng)造性地將復(fù)雜性與平衡概念關(guān)聯(lián)，并從功能角度對(duì)復(fù)雜性進(jìn)行分類。根據(jù)Rescher[32]的基本分類框架、郭雷[3]的從功能角度對(duì)復(fù)雜性的分類以及國(guó)內(nèi)外對(duì)復(fù)雜性定義的分析，本文重新總結(jié)系統(tǒng)復(fù)雜性的概念分類見表1。

表1 復(fù)雜性概念的分類

第一，組分復(fù)雜性：復(fù)雜系統(tǒng)擁有數(shù)目繁多的組分，組分間有著多樣且復(fù)雜的相互作用，要素與要素之間的關(guān)系呈現(xiàn)出各種不確定性。個(gè)體的適應(yīng)性以及之間非線性的相互作用是決定系統(tǒng)復(fù)雜性的重要因素[33]。其一，構(gòu)成復(fù)雜性：系統(tǒng)演化過(guò)程中，構(gòu)成系統(tǒng)的不同因素會(huì)影響其自身復(fù)雜性。其二，分類復(fù)雜性：組分個(gè)體要素之間的變異以及其在空間分布上的不規(guī)則性，且由于異質(zhì)導(dǎo)致組分的種類姿態(tài)萬(wàn)千而引起的系統(tǒng)復(fù)雜性。其三，規(guī)模復(fù)雜性：?jiǎn)卧獢?shù)量越大，單元類型越多，系統(tǒng)則因自身規(guī)模的增大而更復(fù)雜。

第二，結(jié)構(gòu)復(fù)雜性：復(fù)雜性會(huì)隨著關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)從屬性和多樣性的提高以及聯(lián)結(jié)數(shù)量和強(qiáng)度的提高而增加，整合生成結(jié)構(gòu)復(fù)雜性[34]。其一，組織復(fù)雜性：組織形態(tài)復(fù)雜度的提高帶來(lái)了組織結(jié)構(gòu)的多樣性和復(fù)雜性，開放系統(tǒng)在演化過(guò)程中結(jié)構(gòu)狀態(tài)的橫向、縱向和空間分布的差異越大，系統(tǒng)復(fù)雜性越高。其二，層次復(fù)雜性：系統(tǒng)不同層級(jí)間的作用差別很大，構(gòu)成系統(tǒng)的子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)層次越多，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越復(fù)雜。其三，過(guò)程復(fù)雜性：在復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)化和演化過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部的組成要素間相互作用的復(fù)雜關(guān)系、系統(tǒng)與環(huán)境邊界交互作用及系統(tǒng)與外部環(huán)境間的復(fù)雜作用都會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜性。系統(tǒng)通過(guò)自組織、耗散行為和自組織臨界，不斷變革內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及外部環(huán)境的關(guān)系，可能會(huì)出現(xiàn)分岔、混沌等現(xiàn)象，因而會(huì)在演化過(guò)程中產(chǎn)生復(fù)雜性[34]。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組合方式越復(fù)雜、層次越多、組分越多，系統(tǒng)也會(huì)越復(fù)雜。

第三，功能復(fù)雜性：針對(duì)系統(tǒng)中要素(屬性)的平衡性與系統(tǒng)整體(結(jié)構(gòu))功能之間的關(guān)系來(lái)定義[3]。其一，預(yù)測(cè)復(fù)雜性：當(dāng)預(yù)測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)演化時(shí)，復(fù)雜性可定義為系統(tǒng)狀態(tài)或行為的不可預(yù)測(cè)性[3]。系統(tǒng)的預(yù)測(cè)復(fù)雜性與觀測(cè)者能力、系統(tǒng)自身、概念、表象以及環(huán)境等因素有很大的關(guān)系。就某一個(gè)系統(tǒng)而言，觀測(cè)者對(duì)系統(tǒng)關(guān)鍵的要素如安全性、能達(dá)性、可行性和自適應(yīng)等定義的不同理解以及環(huán)境的作用等，對(duì)系統(tǒng)模型的建立和預(yù)測(cè)有著重要的影響。文獻(xiàn)[35]從不確定性的角度分析了預(yù)測(cè)復(fù)雜性。其二，保持復(fù)雜性：當(dāng)希望保持系統(tǒng)功能時(shí)，復(fù)雜性可定義為系統(tǒng)的功能關(guān)于系統(tǒng)要素平衡程度的靈敏性(脆弱性或非魯棒性)[3]。其三，調(diào)控復(fù)雜性[3]：當(dāng)改變系統(tǒng)功能時(shí)，復(fù)雜性可定義為如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)新功能或所需功能的難度。如何根據(jù)功能對(duì)系統(tǒng)的要素進(jìn)行合理分配，將會(huì)直接影響到系統(tǒng)功能的復(fù)雜性。如果從控制理論的角度看，系統(tǒng)的復(fù)雜性與系統(tǒng)的能控性、可觀性或能達(dá)性均密切相關(guān)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須平衡系統(tǒng)性能與復(fù)雜性之間的關(guān)系。隨著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、功能和規(guī)模的增加，系統(tǒng)中各部分之間的直接耦合與間接耦合以及系統(tǒng)對(duì)于自身運(yùn)行結(jié)果的反饋使得系統(tǒng)越來(lái)越復(fù)雜，通過(guò)合理定義和量化系統(tǒng)復(fù)雜性，可以采取有效措施降低系統(tǒng)復(fù)雜性以追求更優(yōu)的設(shè)計(jì)與控制效果[17]。

第四，描述復(fù)雜性：從描述系統(tǒng)狀態(tài)的工作量、信息量及存儲(chǔ)量角度出發(fā)定義系統(tǒng)的復(fù)雜性。其一，計(jì)算復(fù)雜性：解決一個(gè)問(wèn)題所耗費(fèi)的時(shí)間以及該過(guò)程中需要的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量帶來(lái)的時(shí)間長(zhǎng)度、操作及代價(jià)消耗等引起的復(fù)雜性。其二，算法復(fù)雜性：?jiǎn)栴}解決過(guò)程中涉及的描述、步驟、方法以及仿真程序等的無(wú)規(guī)則及隨機(jī)性帶來(lái)的復(fù)雜性。其三，有效復(fù)雜性：對(duì)系統(tǒng)規(guī)律性認(rèn)識(shí)的表述長(zhǎng)度來(lái)衡量系統(tǒng)的復(fù)雜性。描述復(fù)雜性是以數(shù)學(xué)的復(fù)雜性理論和信息理論為形式表現(xiàn)出來(lái)的，認(rèn)為系統(tǒng)的復(fù)雜性就是描述系統(tǒng)特征的復(fù)雜性[20]。

在三維空間中，該分類可以看作是以基元、功能維、結(jié)構(gòu)維為基準(zhǔn)，以描述復(fù)雜性為手段體現(xiàn)具體表示過(guò)程來(lái)定義系統(tǒng)的復(fù)雜性，如圖2所示。

圖2 復(fù)雜性分類及哲學(xué)層面的關(guān)聯(lián)圖Fig.2 Category of complexity and the figure in the view of philosophy

在上述分類中，除學(xué)科角度復(fù)雜性分類[23]外，主要的復(fù)雜性定義和類型基本可以納入到此復(fù)雜性概念分類體系之中。

4 復(fù)雜性的度量

除了系統(tǒng)復(fù)雜性的定義之外，更具挑戰(zhàn)性的就是如何衡量系統(tǒng)的復(fù)雜性。系統(tǒng)復(fù)雜性的定性、定量的分析和計(jì)算方法、度量工具等方面均會(huì)面臨相應(yīng)的困難，以下做一簡(jiǎn)述。

第一，針對(duì)組分復(fù)雜性，主要分析系統(tǒng)的構(gòu)成因素以及相互間作用結(jié)果的排列組合方式。Wolfram[36]以形式語(yǔ)言理論為基礎(chǔ)，用元胞自動(dòng)機(jī)狀態(tài)的個(gè)數(shù)來(lái)度量動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性。廣義自由度[37]是一種分形的維度，可以通過(guò)它來(lái)刻畫組分復(fù)雜性。

第二，針對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性，尹建東等[38]指出拓?fù)潇?、混沌和一些拓?fù)鋫鬟f屬性可用來(lái)刻畫一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性；另外，基于動(dòng)力學(xué)的非線性和物理學(xué)的非平衡態(tài)，可用不穩(wěn)定性、多定態(tài)、分岔、對(duì)稱破缺、長(zhǎng)程秩序等概念描述系統(tǒng)的復(fù)雜性[21]；文獻(xiàn)[39]基于信息熵理論，從結(jié)構(gòu)、功能分配和過(guò)程控制邏輯復(fù)雜性等方面對(duì)系統(tǒng)復(fù)雜性進(jìn)行度量，利用正交投影方法解決了結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的多維度度量問(wèn)題；而文獻(xiàn)[27]運(yùn)用五種指數(shù)方法對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性進(jìn)行了度量，這些指數(shù)都是按照組織行為學(xué)派的觀點(diǎn)，從心理學(xué)角度提出的，是對(duì)復(fù)雜性的一種定性刻畫，定量化程度不太高；文獻(xiàn)[17]從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)角度，將信息系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)層次劃分，然后針對(duì)層內(nèi)及層間的基本單元和相互關(guān)系進(jìn)行復(fù)雜性測(cè)量，主要利用Petri網(wǎng)、熵等方法。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展，復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖、網(wǎng)絡(luò)也運(yùn)用于描述軟件系統(tǒng)的復(fù)雜性。進(jìn)化的復(fù)雜性往往表現(xiàn)為層級(jí)結(jié)構(gòu)，在動(dòng)態(tài)演化過(guò)程中具有近可分解性這一性質(zhì)，可簡(jiǎn)化對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述，在尋求對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的理解時(shí)，可利用兩種主要描述類型——狀態(tài)描述和過(guò)程描述，二者也可互相轉(zhuǎn)化[6]。

第三，針對(duì)功能復(fù)雜性，分類進(jìn)行說(shuō)明。就預(yù)測(cè)復(fù)雜性而言，針對(duì)獲知組成要素之間的相互作用和行為的困難，可以通過(guò)約簡(jiǎn)系統(tǒng)狀態(tài)空間、均化系統(tǒng)元素等來(lái)降低預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)行為的困難度[1]。對(duì)于保持復(fù)雜性，信息熵是刻畫系統(tǒng)信息量的一個(gè)度量，主要用于度量信息的不確定性，適用于分析系統(tǒng)在信息傳輸、轉(zhuǎn)化過(guò)程中存在不確定性的問(wèn)題。針對(duì)調(diào)控復(fù)雜性，可從功能實(shí)現(xiàn)和功能分配兩個(gè)方面對(duì)系統(tǒng)功能復(fù)雜性進(jìn)行度量。利用系統(tǒng)復(fù)雜性實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制及設(shè)計(jì)主要應(yīng)從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的角度(系統(tǒng)大小、模塊耦合性和劃分)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究，特別值得注意的是系統(tǒng)中的間接耦合、反饋循環(huán)及涌現(xiàn)性和突變性等[17]。

第四，針對(duì)描述復(fù)雜性，可以從信息科學(xué)和計(jì)算科學(xué)的角度給以量化[20]。關(guān)于計(jì)算復(fù)雜性、算法復(fù)雜性、有效復(fù)雜性[40-42]，前文已經(jīng)進(jìn)行了相關(guān)描述。喬姆斯基把串行語(yǔ)言分成從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的四類，就有了對(duì)形式語(yǔ)言的復(fù)雜性測(cè)度，基于此即有語(yǔ)法復(fù)雜性定義[2]。Crutchfield和Young[43-44]提出了基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)的統(tǒng)計(jì)復(fù)雜性，在此基礎(chǔ)上，將隨機(jī)因素引入自動(dòng)機(jī)，構(gòu)造隨機(jī)自動(dòng)機(jī)ε機(jī)，以ε機(jī)的計(jì)算能力度量動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜程度，不過(guò)構(gòu)造ε機(jī)的建模過(guò)程計(jì)算量大；Shiner等[45]基于有序度與無(wú)序度，給出一種系統(tǒng)通用的復(fù)雜性度量方法，方法簡(jiǎn)單但偏籠統(tǒng)，難以反映系統(tǒng)的內(nèi)在特征；還有比較經(jīng)典的結(jié)構(gòu)化程序復(fù)雜性度量方法[17]如Halstead復(fù)雜性度量；McCabe度量法等。另有基于數(shù)據(jù)復(fù)雜性的度量工具[46]。

特別值得一提的是熵，該度量工具應(yīng)用較廣，在以上四類復(fù)雜性中均可應(yīng)用。它可以忽略層次結(jié)構(gòu)直接度量系統(tǒng)體系結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。系統(tǒng)的熵值影響因素包括系統(tǒng)中元素?cái)?shù)量、類型以及元素間關(guān)系的復(fù)雜程度，所以常用信息熵來(lái)衡量系統(tǒng)的復(fù)雜性。就模型的復(fù)雜性而言，可以用參數(shù)個(gè)數(shù)、曲率、信息準(zhǔn)則等來(lái)刻畫參數(shù)模型的復(fù)雜性，用廣義自由度、熵等刻畫非參數(shù)模型的復(fù)雜性，不過(guò)廣義自由度是一種經(jīng)驗(yàn)性的研究工具。另外，通過(guò)算法信息容量[15](Algorithmic Information Content, AIC)來(lái)衡量系統(tǒng)的復(fù)雜性也有廣泛的應(yīng)用，可用最少的信息量描述算法的復(fù)雜性，最短的計(jì)算程序來(lái)表示被度量的系統(tǒng)。

5 數(shù)學(xué)工具及例子

系統(tǒng)復(fù)雜性的度量需要通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行定性和定量研究。在描述和解決復(fù)雜性問(wèn)題過(guò)程中，將會(huì)涉及有序性和無(wú)序性、離散性和連續(xù)性、結(jié)構(gòu)確定性和內(nèi)在隨機(jī)性、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和機(jī)理多變性、初值敏感性和結(jié)果規(guī)律性等具有對(duì)立統(tǒng)一性的數(shù)學(xué)范疇。這一研究所涉及的工具至少包括代數(shù)學(xué)、數(shù)論、群論、圖論、拓?fù)鋵W(xué)、模糊數(shù)學(xué)、突變論、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、微分動(dòng)力系統(tǒng)、微積分學(xué)、矩陣計(jì)算、張量、最優(yōu)化理論、數(shù)值分析、博弈論、變分學(xué)、凸分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)分析、科學(xué)計(jì)算、隨機(jī)過(guò)程、遍歷論、不確定性量化、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、微分對(duì)策等數(shù)學(xué)工具，以及信息論、控制論和決策論、運(yùn)籌學(xué)、最優(yōu)控制理論、大系統(tǒng)理論等其他相關(guān)理論[3]。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)模型的復(fù)雜度其實(shí)就是賦范空間的復(fù)雜度，大致可認(rèn)為是與樣本無(wú)關(guān)的復(fù)雜度及與樣本相關(guān)的復(fù)雜度。在不考慮樣本的情況下，可以通過(guò)度量熵、VC維[47]、廣義鏈[48]和極值不等式[49]等來(lái)刻畫模型的復(fù)雜性；而與樣本有關(guān)的復(fù)雜度，從復(fù)雜性角度給出非參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)，即經(jīng)驗(yàn)過(guò)程與概率集中不等式，可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)過(guò)程、Radermacher過(guò)程[50]和對(duì)稱不等式[49]來(lái)度量模型的復(fù)雜度，當(dāng)然，在此過(guò)程中，可由與樣本無(wú)關(guān)的復(fù)雜度所控制。結(jié)合有限信息系統(tǒng)的辨識(shí)過(guò)程，可比較辨識(shí)算法的收斂性、最優(yōu)性及空間復(fù)雜性[51],可基于此進(jìn)一步理解有限信息系統(tǒng)的復(fù)雜度。顯然，在考慮統(tǒng)計(jì)模型的復(fù)雜度時(shí)，可從模型的分類復(fù)雜性、過(guò)程復(fù)雜性、調(diào)控復(fù)雜性、算法復(fù)雜性、計(jì)算復(fù)雜性以及有效復(fù)雜性角度出發(fā)來(lái)衡量它的復(fù)雜度。

接下來(lái)以案例形式不加證明地給出一個(gè)函數(shù)熵的上界，由此來(lái)度量系統(tǒng)模型的復(fù)雜性。

以下從概率分布的角度來(lái)分析從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的涌現(xiàn)性。

例2(簡(jiǎn)單到復(fù)雜的涌現(xiàn)性——從泊松到冪律)：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究方法一般是將復(fù)雜系統(tǒng)簡(jiǎn)化為節(jié)點(diǎn)及連接節(jié)點(diǎn)的邊的集合[52]。網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度性質(zhì)通常是指度或入度服從冪律分布。 Matthew效應(yīng)或偏好依附機(jī)制常被認(rèn)為是無(wú)標(biāo)度性質(zhì)的原因。早在1965年， Price發(fā)現(xiàn)了引文網(wǎng)絡(luò)中的Matthew效應(yīng)(稱之為累積效應(yīng))，并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)了引文網(wǎng)絡(luò)入度分布尾端的冪律性質(zhì)[53]。Price模型中，節(jié)點(diǎn)獲得新引用的概率與已獲得的引用加上某一常數(shù)成正比，與BA模型[54]類似。

Price模型與BA模型均為全局自組織網(wǎng)絡(luò)，連邊基于節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度信息全面掌控， 這與大多數(shù)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)演化行為不符。引文與合作[55-57]等網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)行為大部分是基于局部信息，這些模型生成同等節(jié)點(diǎn)規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的度分布和真實(shí)網(wǎng)絡(luò)差距很大。如部分論文與作者引用次數(shù)等指標(biāo)只有非常少的部分服從冪律， 而絕大部分服從廣義泊松分布， 并且兩個(gè)分布之間有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程。何種機(jī)理能生成這個(gè)過(guò)程? 運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)方法可以驗(yàn)證通過(guò)一系列泊松分布疊加可生成冪律分布[55-57]。這是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的涌現(xiàn)過(guò)程 (如圖3所示)。

由上述可知，隨著模型的不同(組分復(fù)雜性)，系統(tǒng)的復(fù)雜性也會(huì)改變；由泊松分布到冪律分布(結(jié)構(gòu)復(fù)雜性)，這是系統(tǒng)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的涌現(xiàn)過(guò)程；此過(guò)程又存在著系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)連接能力的多樣性(功能復(fù)雜性)和表述的多樣性(描述復(fù)雜性)。

6 結(jié)論

(a) 作者引用數(shù)分布(a) Distribution of the number of citations per author

(b) 合作者數(shù)量分布(b) Distribution of the number of coauthors per author

(c) 論文數(shù)量分布(c) Distribution of the number of papers per author圖3 社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中局部自組織的幾何圖模型通過(guò)系列泊松分布疊加為冪律分布Fig.3 The geometric model of local self-organization in social network generates power-law by summing a range of Poisson distributions with various expected values

從復(fù)雜性語(yǔ)義出發(fā)，總結(jié)了國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)復(fù)雜性的部分定義，并在前人的分類基礎(chǔ)上，重新綜合了復(fù)雜性的概念分類，且結(jié)合算例說(shuō)明了復(fù)雜性的度量方式。由于復(fù)雜性是語(yǔ)境依賴的，系統(tǒng)復(fù)雜性暫無(wú)統(tǒng)一的定義。復(fù)雜性的描述方式和度量工具亦并不唯一。如：可以將復(fù)雜系統(tǒng)表述為一個(gè)包含異質(zhì)節(jié)點(diǎn)、異質(zhì)邊和多層子圖結(jié)構(gòu)的超圖，系統(tǒng)可看作更大系統(tǒng)的子圖，環(huán)境可看作其補(bǔ)圖；也可以從系統(tǒng)的規(guī)模、結(jié)構(gòu)、非線性、開放性以及時(shí)間與控制層面上定義復(fù)雜性等；或可以借助其代理模型進(jìn)行分析，比如基于仿真的方法、基于機(jī)理與應(yīng)用的方法等。不同的研究目的及環(huán)境下，復(fù)雜性將會(huì)被賦予更豐富的含義。