一種可觀測(cè)度分析方法及在匹配模式研究中的應(yīng)用

王海亮，石志勇，李國(guó)璋，王志偉

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003；2.解放軍第96864部隊(duì)，河南 洛陽 471000)

0 引言

為提高捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度，導(dǎo)航前必須對(duì)慣性器件(陀螺儀和加速度計(jì))進(jìn)行誤差標(biāo)定，標(biāo)定過程中匹配模式的選擇是影響濾波估計(jì)效果的主要因素之一。為了進(jìn)一步優(yōu)化捷聯(lián)慣導(dǎo)在線標(biāo)定方案，研究不同匹配模式對(duì)在線標(biāo)定結(jié)果的影響是十分必要的。系統(tǒng)的可觀測(cè)性是影響標(biāo)定效果的決定因素，因此需要分析不同匹配模式下系統(tǒng)的可觀測(cè)性以選擇最優(yōu)的匹配模式。文獻(xiàn)[1]基于卡爾曼濾波算法及最小二乘理論，分別研究了速度加姿態(tài)匹配、比力匹配、角速度匹配模式下的彈載慣導(dǎo)標(biāo)定效果，但沒有分析不同匹配模式優(yōu)劣；文獻(xiàn)[2]通過仿真分析采用速度匹配模式時(shí)，失準(zhǔn)角估計(jì)效果不理想，而采用速度加姿態(tài)匹配時(shí)，當(dāng)載體進(jìn)行特定機(jī)動(dòng)時(shí)可有效提高系統(tǒng)可觀測(cè)性，但并沒有進(jìn)行理論上的分析；文獻(xiàn)[3]在對(duì)比四種典型的可觀測(cè)度分析方法基礎(chǔ)上，基于最小二乘理論，設(shè)計(jì)了改進(jìn)的局部和全局可觀測(cè)度分析方法；文獻(xiàn)[4]針對(duì)彈載慣導(dǎo)誤差在線標(biāo)定對(duì)可觀測(cè)度的實(shí)際需求，提出一種基于受約束最優(yōu)化的可觀測(cè)度分析方法，并對(duì)其準(zhǔn)確性及有效性進(jìn)行了數(shù)學(xué)證明，但是該方法不具備普遍適用性。

本文針對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)在線標(biāo)定過程中的匹配模式選擇問題，提出一種新的可觀測(cè)度分析方法，并采用該方法研究了三種不同匹配模式下的在線標(biāo)定效果。

1 基于最小二乘估計(jì)理論的可觀測(cè)度分析方法

在設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器之前，必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析，可觀測(cè)性反映了系統(tǒng)在一定時(shí)間內(nèi)通過觀測(cè)量確定系統(tǒng)狀態(tài)的能力，其估計(jì)的精度與狀態(tài)量的可觀測(cè)度密切相關(guān)[5]。下面從系統(tǒng)初始狀態(tài)的最小二乘估計(jì)角度，考慮系統(tǒng)的可觀測(cè)度，為簡(jiǎn)化分析，考慮如下離散線性系統(tǒng)：

(1)

(2)

將式(2)兩端對(duì)x0求偏導(dǎo)可得：

(3)

令式(3)等號(hào)左端為零，則能夠計(jì)算得出x0的最小二乘估計(jì)為：

(4)

設(shè)估計(jì)誤差：

(5)

將式(4)帶入式(5)可得：

(6)

將zk=HiFi,0x0+vi帶入式(6)得：

(7)

(8)

式(8)等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示估計(jì)誤差的衰減程度，第二項(xiàng)表示觀測(cè)噪聲對(duì)估計(jì)誤差的影響，在此忽略觀測(cè)噪聲的影響，則式(8)可簡(jiǎn)化為：

(9)

由式(9)可得，矩陣(I+P0L0,k)-1的對(duì)角線元素反映的是狀態(tài)變量中各分量的估計(jì)誤差相對(duì)于各初始估計(jì)誤差的衰減程度。定義系統(tǒng)各狀態(tài)量的可觀測(cè)度指標(biāo)為(I+P0L0,k)-1中相對(duì)應(yīng)的對(duì)角線元素，即：

ηi={diag[(I+P0L0,k)-1]}i

(10)

由上述可觀測(cè)度定義可知：|ηi|越靠近零，說明估計(jì)誤差的衰減越明顯，則對(duì)應(yīng)狀態(tài)量的可觀測(cè)度越大；|ηi|越靠近1，說明估計(jì)誤差衰減越小，對(duì)應(yīng)狀態(tài)量的可觀測(cè)度就越小。

2 不同匹配模式下的在線標(biāo)定濾波模型

2.1 速度加姿態(tài)匹配的在線標(biāo)定濾波模型

根據(jù)文獻(xiàn)[6]給出的系統(tǒng)誤差方程構(gòu)建系統(tǒng)濾波模型如下：

(11)

(12)

(13)

矩陣F中各子矩陣的定義參照文獻(xiàn)[7]。

2.2 速度加姿態(tài)加位置匹配的在線標(biāo)定濾波模型

狀態(tài)空間模型的建立同式(11)，由于在速度加姿態(tài)匹配的基礎(chǔ)上增加了位置觀測(cè)量，因此狀態(tài)變量改為：X=[ΔVnΦnΔpnμbΔkabΔkgεb]T，其中Δpn即表示位置誤差，觀測(cè)量

狀態(tài)矩陣改為：

(14)

其中各子矩陣的定義參照文獻(xiàn)[8]。

觀測(cè)測(cè)矩陣改為：

(15)

2.3 速度加位置匹配的在線標(biāo)定濾波模型

狀態(tài)空間模型的建立同樣參照式(11)，具體參數(shù)定義如下：

狀態(tài)變量改為X=[ΔVnΔpnμbΔkabΔkgεb]T，觀測(cè)量改為狀態(tài)矩陣設(shè)置參照式(12)，觀測(cè)矩陣改為：

(16)

3 仿真分析

3.1 初始條件設(shè)置

為了滿足卡爾曼濾波要求，對(duì)式(11)離散化，且載體機(jī)動(dòng)路徑設(shè)置參照文獻(xiàn)[7]。具體濾波參數(shù)設(shè)置如下：

表1 慣性器件誤差參數(shù)設(shè)置

3.2 仿真結(jié)果分析

采用本文可觀測(cè)度分析方法對(duì)以上三種匹配模式下的在線標(biāo)定模型進(jìn)行可觀測(cè)度分析，結(jié)果如表2所示。

表2 三種匹配模式下各狀態(tài)量可觀測(cè)指標(biāo)

由表2可知：當(dāng)機(jī)動(dòng)方式相同時(shí)，采用速度加姿態(tài)匹配模式時(shí)各誤差參數(shù)的可觀測(cè)度指標(biāo)都很小，都具有較高的可觀測(cè)度。采用速度加姿態(tài)加位置匹配模式時(shí)，可觀測(cè)指標(biāo)有稍微增大，說明各誤差參數(shù)可觀測(cè)度有所降低，這是由于增加了位置觀測(cè)量導(dǎo)致計(jì)算量增大，收斂時(shí)間會(huì)有所延長(zhǎng)導(dǎo)致的。當(dāng)采用速度加位置匹配模式時(shí)，可觀測(cè)指標(biāo)大幅增大，狀態(tài)參數(shù)可觀測(cè)度普遍較低，尤其是Y軸、Z軸加速度計(jì)零偏，X軸陀螺刻度系數(shù)誤差，Y軸陀螺漂移的可觀測(cè)度最差。

為了驗(yàn)證本文提出的可觀測(cè)度分析方法的準(zhǔn)確性，利用Matlab軟件平臺(tái)分別對(duì)三種匹配模式下在線標(biāo)定過程進(jìn)行仿真，采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法對(duì)誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，慣性器件各誤差參數(shù)的濾波估計(jì)結(jié)果如圖1、圖2所示，其中直線表示預(yù)先設(shè)定值，曲線表示濾波估計(jì)值(濾波估計(jì)曲線中實(shí)線表示速度加姿態(tài)匹配的估計(jì)值，點(diǎn)畫線表示速度加姿態(tài)加位置匹配的估計(jì)值，虛線表示速度加位置匹配的估計(jì)值)。

圖1 加速度計(jì)和陀螺刻度系數(shù)誤差估計(jì)曲線Fig.1 Accelerometer and gyro scale factor error estimation curve

圖2 加速度計(jì)零偏和陀螺漂移估計(jì)曲線Fig.2 Accelerometer bias and gyro drift estimation curves

由圖1、圖2可以看出，采用速度加姿態(tài)匹配模式時(shí)，慣性器件12個(gè)誤差參數(shù)的標(biāo)定精度都比較高，且除Z軸加速度計(jì)零偏之外的11個(gè)誤差參數(shù)的收斂時(shí)間都比較短；采用速度加姿態(tài)加位置匹配模式時(shí)，慣性器件12個(gè)誤差參數(shù)的標(biāo)定精度與采用速度加姿態(tài)匹配時(shí)相當(dāng)，但收斂時(shí)間明顯增加，尤其是X軸、Z軸陀螺刻度系數(shù)誤差收斂時(shí)間都達(dá)到了80 s以上；當(dāng)采用速度加位置匹配時(shí)各誤差參數(shù)的估計(jì)精度較低，且收斂時(shí)間也比較長(zhǎng)，特別是X軸陀螺刻度系數(shù)誤差、X軸加速度計(jì)零偏、Y軸加速度計(jì)零偏及Y軸陀螺漂移甚至無法完成標(biāo)定。因此，標(biāo)定結(jié)果與表2所示三種匹配模式下12個(gè)誤差參數(shù)的可觀測(cè)指標(biāo)是相符的，證明了新的可觀測(cè)度分析方法是可靠的。

為進(jìn)一步考察不同觀測(cè)量對(duì)標(biāo)定效果的影響，下面分別從標(biāo)定精度和收斂時(shí)間兩方面對(duì)標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行分析。當(dāng)濾波基本達(dá)到穩(wěn)定后，對(duì)140～180 s時(shí)間段內(nèi)的濾波估計(jì)值求平均值作為該次仿真的估計(jì)值，且為了消除隨機(jī)噪聲的影響，重復(fù)仿真試驗(yàn)5次，將5次仿真估計(jì)值再求平均值作為最終的誤差估計(jì)值并求出誤差標(biāo)定的相對(duì)精度(相對(duì)精度=|估計(jì)值-預(yù)設(shè)值|÷預(yù)設(shè)值)，結(jié)果見表3。同時(shí)，將不同匹配模式下各誤差參數(shù)的收斂時(shí)間總結(jié)見表4。

表3 不同匹配模式下各誤差參數(shù)標(biāo)定相對(duì)精度

表4 不同匹配模式下各誤差參數(shù)收斂時(shí)間

由表3可以看出，對(duì)比速度加姿態(tài)匹配模式下各誤差參數(shù)的標(biāo)定精度，采用速度加姿態(tài)加位置匹配時(shí)，Y軸、Z軸加速度計(jì)刻度系數(shù)誤差的標(biāo)定精度有一定下降，而X軸加速度計(jì)刻度系數(shù)誤差、三軸加速度計(jì)零偏、X軸陀螺刻度系數(shù)誤差及Y軸、Z軸陀螺漂移等7個(gè)誤差參數(shù)的標(biāo)定精度都有提高；采用速度加位置匹配模式時(shí)，X軸加速度計(jì)零偏和Y軸、Z軸加速度計(jì)刻度系數(shù)誤差的標(biāo)定精度有一定提高，其余9個(gè)誤差參數(shù)的標(biāo)定精度都明顯降低，其中Y軸、Z軸加速度計(jì)零偏及X軸陀螺刻度系數(shù)誤差的標(biāo)定精度最差。

由表4可以看出，與速度加姿態(tài)匹配相比，增加位置觀測(cè)量后各誤差參數(shù)的收斂時(shí)間普遍增加，尤其是X軸、Z軸陀螺刻度系數(shù)誤差、X軸陀螺漂移和Y軸加速度計(jì)零偏的收斂時(shí)間增大明顯。這是由于增加了觀測(cè)量導(dǎo)致系統(tǒng)維數(shù)增加，必然導(dǎo)致計(jì)算量加大從而需要更長(zhǎng)的解算時(shí)間；而速度加位置匹配相比速度加姿態(tài)匹配，除了X軸加速度計(jì)刻度系數(shù)誤差之外，其余誤差參數(shù)的標(biāo)定時(shí)間都比較長(zhǎng)，說明單純采用速度加位置匹配模式的在線標(biāo)定效果一般。

綜上所述，采用速度加姿態(tài)匹配時(shí)，慣導(dǎo)12個(gè)誤差參數(shù)的標(biāo)定效果較好；采用速度加姿態(tài)加位置匹配時(shí)，誤差參數(shù)的收斂精度有一定提高，但收斂時(shí)間較長(zhǎng)；采用速度加位置匹配時(shí)，各誤差參數(shù)的標(biāo)定效果較差。因此，在選擇匹配模式時(shí)要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用對(duì)標(biāo)定效率及標(biāo)定精度的要求，做到合理取舍。本文研究的誤差標(biāo)定是以弾載捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)為應(yīng)用背景，結(jié)合火箭炮工作實(shí)際，綜合考慮標(biāo)定精度及標(biāo)定效率，選取速度加姿態(tài)匹配模式標(biāo)定效果最好。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的可觀測(cè)度分析方法，該方法從系統(tǒng)初始誤差衰減的角度定義了系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測(cè)性，能夠定量得到每一個(gè)狀態(tài)參數(shù)的可觀測(cè)度。同時(shí)推導(dǎo)了“速度+姿態(tài)”、“速度+姿態(tài)+位置”、“速度+位置”三種匹配模式下捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的在線標(biāo)定模型，并采用所提可觀測(cè)度分析方法對(duì)三匹配模式下各狀態(tài)量的可觀測(cè)度進(jìn)行了定量分析。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的可觀測(cè)度分析方法是正確有效的，能夠?qū)V波估計(jì)效果進(jìn)行預(yù)測(cè)，且通過對(duì)不同匹配模式下系統(tǒng)在線標(biāo)定的估計(jì)精度和收斂時(shí)間進(jìn)行對(duì)比分析，得出在捷聯(lián)慣導(dǎo)在線標(biāo)定中選取“速度+姿態(tài)”匹配效果最好，對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)在線標(biāo)定方案優(yōu)化有一定借鑒意義。