淺談解析幾何中含參問題教學

汪本旺 姚文建

【摘要】本文以2018年浙江高考17題為例，從三種思路淺談解析幾何中含參問題教學，思路一函數(shù)與方程，即利用消元法得到二次函數(shù)最值問題；思路二利用參數(shù)方程，即參數(shù)法解決本題最值問題；思路三利用仿射變換將橢圓化為圓，結合圓的性質和有關定理得到了結論。

【關鍵詞】題意理解 解法賞析 引申拓展 反思突破 教學價值

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）02-0124-03

四、反思突破

1.關注基礎與通法

高中數(shù)學試題經(jīng)常以教材為背景，關注高中數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。全面考查基礎知識，主干知識，重點知識，強調基礎落實，注重問題解決的通法，例如，本題考查橢圓中參數(shù)的取值范圍，本質上屬于直線與橢圓的位置關系問題，涉及直線方程、平面向量的運算、對勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質等知識點，考查函數(shù)與方程的思想、轉化與劃歸的思想，屬于難題。

思路一函數(shù)方程思想：法1，韋達定理。根據(jù)題意可以分析，直線的斜率必然存在且不為零，于是可以設出直線的方程，然后代入橢圓的方程，整理得到韋達定理；根據(jù)平面向量的坐標運算得到坐標關系，由韋達定理轉化，并求出最值；最后根據(jù)最值求得參數(shù)的值。這種操作我們在教學中已經(jīng)討論了很多了，可見這便是圓錐曲線中的通法；法2，設點法。設出焦點坐標，并代入橢圓方程，得到相應關系，然后利用平面向量得出兩坐標的關系，再代入橢圓方程，與前面方程聯(lián)立得到目標函數(shù)；最后對目標函數(shù)求最值，進而求得參數(shù)的值；法3，點差法。以坐標為切入點，向量問題轉化為坐標問題，利用消元法，得到關于參數(shù)的二次函數(shù)最值問題.值得說明的是，無論是韋達定理還是設點法或點差法，三者皆體現(xiàn)了設而不求、整體代換的思想，這是解析幾何的通性通法。

2.關注問題與轉化

轉化是數(shù)學問題解決的關鍵，問題的合理轉化體現(xiàn)了數(shù)學能力.化未知為已知，化復雜為簡單是基本轉化路徑，例如如何轉化本題中最值問題。我們知道，最值問題的求解形式主要有兩種：一是從幾何角度，利用圖形的幾何性質直接判斷；二是構建目標函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法（如導數(shù)、基本不等式或配方）解決。其關鍵在于選擇一個便于表達目標的變量（如斜率、點坐標、參數(shù)等），難點是根據(jù)具體情境選擇適當方法求解最值問題。

3.關注變化與確定

數(shù)學中有些量是確定的，有些量是變化的，確定與變化是相對的，可以互相轉化。有些問題需要在變化中尋找不變量，也有些問題需要在不變中發(fā)現(xiàn)變化的軌跡，這樣才能抓住問題的本質，才能合理的解決問題。

4.關注思考與角度

數(shù)學問題千變萬化，不同的理解和認識會制定出不同的解決方案。所以，學習中要善于觀察、善于思考，這樣才能幫助我們找到合理的解決問題的途徑，拓寬我們的思路，培養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力。

五、教學價值

縱觀近幾年高考解析幾何試題，形式多變，但基本都是在運動變化過程中探究某些不變的性質與規(guī)律。對于這類運動變化問題，解題時要從已知出發(fā)深入探究產(chǎn)生運動變化的根源，從而確定從直線方程入手還是從點的坐標入手。只要我們抓住解析幾何的知識本質，遵循解題的基本規(guī)律，認真探究已知、結論的本質聯(lián)系，解題定會“柳暗花明”。

參考文獻：

[1]張星曄.解析幾何中參數(shù)取值范圍的常見求解策略[J].才智，2010（33）：47-48.

作者簡介：

汪本旺（1985.10-），男，安徽東至人，中教一級教師，致力于高中數(shù)學教育教學。