力學(xué)斜面模型的建構(gòu)和課堂教學(xué)實(shí)施

熊雪

摘 要：力與運(yùn)動(dòng)的考查是物理高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在全國高考物理卷中常常作為“壓軸題”出現(xiàn)。而在力學(xué)問題的考查中，“斜面”是最常出現(xiàn)的物理模型之一。在初中階段，斜面作為簡單機(jī)械就已經(jīng)要求學(xué)生能進(jìn)行一定的功能關(guān)系的計(jì)算，高中階段也是在高考中經(jīng)常出現(xiàn)的模型。物理建模能力是物理學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。本文歸納了高中階段常見的斜面模型，并總結(jié)了一些有用的二級結(jié)論，通過對高考題目分析和變式訓(xùn)練，幫助高三復(fù)習(xí)的師生更好地掌握這一理想模型的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：建模；高考典型問題分析；斜面模型

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1003-6148（2019）1-0007-5

1 概 述

力與運(yùn)動(dòng)的考查是高考物理的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。表1是近兩年全國高考物理考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)（注：熱學(xué)、光學(xué)內(nèi)容作為選考，不納入統(tǒng)計(jì)）。

由上表明顯看出，力和運(yùn)動(dòng)的考查幾乎占整張物理試卷的一半。力學(xué)試題可能涉及到單個(gè)物體的單一運(yùn)動(dòng)過程，也可能涉及到多個(gè)物體、多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，在知識(shí)的考查上可能涉及到運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、功能關(guān)系等多個(gè)規(guī)律的綜合運(yùn)用，一般難度較高，在全國高考物理卷中，常常作為“壓軸題”出現(xiàn)。而力學(xué)問題的考查中，“斜面”是最常出現(xiàn)的物理模型之一。

在初中階段，斜面作為簡單機(jī)械就已經(jīng)要求學(xué)生能進(jìn)行一定的功能關(guān)系的計(jì)算，高中階段更是對力的分解到功能關(guān)系以及動(dòng)量定理有一定要求。斜面問題一直是教材以及各類教輔資料中習(xí)題的重點(diǎn)，也是連年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的模型。而學(xué)生的建模能力，也是物理學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。另外，連續(xù)多年理科綜合考試中，學(xué)生最突出的問題就是答題時(shí)間不夠。以2017年全國高考理科綜合卷為例，全卷文字10885字，不包括圖形。這就意味著學(xué)生平均每分鐘的閱讀量為73字，再加上思考和書寫，時(shí)間的緊迫可想而知。因此，物理教學(xué)中適當(dāng)建立模型，歸納一些二級結(jié)論，能夠幫助學(xué)生在有限的考試時(shí)間中減少思維的路徑，更容易看到問題的考點(diǎn)和核心，更高效、更快速、更準(zhǔn)確地回答問題。

在課堂教學(xué)實(shí)踐中，教師可以幫助學(xué)生歸納出幾種典型的斜面模型，并利用例題層層深入，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，深挖物理模型的特點(diǎn)和規(guī)律，最終學(xué)會(huì)分析問題和利用模型解決實(shí)際問題，從而提升學(xué)科素養(yǎng)。

斜面模型結(jié)構(gòu)歸納如圖1所示。

2 典型習(xí)題分析

2.1 固定光滑斜面

真題呈現(xiàn)：

【2012·上海物理】 如圖2所示，光滑斜面固定于水平面，滑塊A、B疊放后一起沖上斜面，且始終保持相對靜止，A上表面水平。則在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，B受力的示意圖為（ ）

答案：A

【分析】 物體A、B整體向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度方向沿斜面向下，且a=gsinθ（斜面傾角為θ），由牛頓第二定律可知，B物體所受合力一定沿斜面向下，因?yàn)槟Σ亮σ欢ù怪庇谠摻佑|面的彈力，故B物體一定受到水平向左的摩擦力，故A選項(xiàng)正確。

變式訓(xùn)練：上題中，若A物體的質(zhì)量為M，B物體的質(zhì)量為m，則B物體受到的摩擦力多大？支持力多大？

答案：摩擦力 f=mgsinθcosθ，支持力N=mg（1-sin2θ）

2.2 固定粗糙斜面

真題呈現(xiàn)：

【2013·廣東卷】 （多選題）如圖4所示，物體P靜止于固定的斜面上，P的上表面水平?，F(xiàn)把物體Q輕輕地疊放在P上，則（ ）

A.P向下滑動(dòng) B.P靜止不動(dòng)

C.P所受的合外力增大

D.P與斜面間的靜摩擦力增大

答案：BD

【分析】 斜面上的物體不受其他外力作用恰能勻速下滑時(shí)，則斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ。物體P原來處于靜止?fàn)顟B(tài)，則μ≥tanθ，把Q輕置于P上， μ不變，P、Q相當(dāng)于一個(gè)整體，（mP+mQ）gsinθ≤μ（mP+mQ）gcosθ。所以，P仍然保持靜止，靜摩擦力增大。

變式訓(xùn)練：上題中，若P在斜面上勻速下滑，輕置Q后，P、Q將怎樣運(yùn)動(dòng)？若加速下滑呢？

【結(jié)論】 不管P原來怎樣運(yùn)動(dòng)，由于斜面傾角不變，則μ不變，加上Q后相當(dāng)于重力增大，所以運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都不會(huì)改變。

這一結(jié)論常常用于“驗(yàn)證牛頓第二定律”的實(shí)驗(yàn)。

真題呈現(xiàn)：

【2013·高考天津理綜物理第9題】 （2）某實(shí)驗(yàn)小組利用圖5所示的裝置探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系。

①下列做法正確的是（ ）（填字母代號）

A.調(diào)節(jié)滑輪的高度，使?fàn)恳緣K的細(xì)繩與長木板保持平行

B.在調(diào)節(jié)木板傾斜度平衡木塊受到的滑動(dòng)摩擦力時(shí)，將裝有砝碼的砝碼桶通過定滑輪拴在木塊上

C.實(shí)驗(yàn)時(shí)，先放開木塊再接通打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的電源

D.通過增減木塊上的砝碼改變質(zhì)量時(shí)，不需要重新調(diào)節(jié)木板的傾斜度

②③略

答案：AD

【分析】 調(diào)節(jié)斜面傾角，使木塊恰能勻速下滑，則同樣動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ，理由同上題。所以，增減砝碼改變木塊的質(zhì)量，木塊和砝碼所受的重力、支持力和摩擦力仍然平衡，合外力等于細(xì)線的拉力，所以不需要重新調(diào)節(jié)木板的傾斜度。

2.3 粗糙水平面上的可動(dòng)斜面

這類問題一般涉及整體和單個(gè)物體的受力分析，若用好前面的二級結(jié)論，則題目思考過程會(huì)更簡潔明快。

真題呈現(xiàn)：

【2013·北京卷】 傾角為α、質(zhì)量為M的斜面靜止在水平桌面上，質(zhì)量為m的木塊靜止在斜面上。下列結(jié)論正確的是（ ）

A.木塊受到的摩擦力大小是mgcosα

B.木塊對斜面的壓力大小是mgsinα

C.桌面對斜面的摩擦力大小是mgsinαcosα

D.桌面對斜面的支持力大小是（M+m）g

答案：D

【分析】 對木塊進(jìn)行受力分析可知，木塊受到的摩擦力f=mgsinα，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；斜面對木塊的支持力N=mgcosα，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；將木塊與斜面作為一個(gè)整體，可知桌面對斜面的摩擦力為零，支持力大小等于（M+m）g，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確。

變式訓(xùn)練：上題中，若斜面上表面光滑（傾角為θ），在木塊下滑的過程中，斜面保持靜止不動(dòng)，則桌面對斜面的支持力多大？有摩擦力存在嗎？摩擦力多大？

答案：摩擦力 f=mgsinθcosθ，支持力N=mg（1-sin2θ）

桌面對斜面的支持力 N=（M+m）g-mgsin2θ，桌面對斜面有摩擦力，摩擦力f=mgsinθcosθ

【分析】 對木塊和斜面整體，由于木塊下滑的過程中加速度a=gsinθ，方向沿斜面向下，可分解為水平方向的加速度ax=asin2θ，豎直方向（向下）的加速度ay=asinθcosθ。

2.4 光滑水平面上的可動(dòng)斜（曲）面

這種模型的一般考查點(diǎn)有：①水平方向動(dòng)量守恒。從前面的分析可知，斜面（或曲面上）的物體加速滑動(dòng)時(shí)，豎直方向上所受的合外力不為0，因此，系統(tǒng)總的動(dòng)量不守恒。但由于光滑的水平面上，水平方向不受外力，所以水平方面動(dòng)量守恒。因此，在此類問題中，常常把斜面轉(zhuǎn)化為曲面，保證在底端速度水平，降低問題的難度。②功能關(guān)系。若光滑水平面上的斜（曲）面上表面光滑，則系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒且機(jī)械能守恒；若光滑水平面上的斜（曲）面上表面粗糙，則水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能（摩擦生熱）。

典例分析：如圖6所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為M1和M2的劈甲和劈乙，高度相同，放在光滑水平面上。劈甲和劈乙的傾斜面都是光滑曲面，曲面下端與水平面相切。一質(zhì)量為m的物塊位于劈甲的傾斜面上，距水平面的高度為h。物塊從靜止開始滑下，然后又滑上劈乙。求物塊在劈乙上能夠到達(dá)的最大高度。

延伸思考：上題中，若劈甲、乙固定，阻力都忽略不計(jì)。物塊從靜止開始下滑，那么在物塊滑動(dòng)過程中，物塊與劈組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒嗎？機(jī)械能守恒嗎？物塊能滑到原來的高度嗎？ 若劈甲固定、劈乙不固定，情況又如何？

答案：劈甲、乙固定，水平方向動(dòng)量不守恒，物塊與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以物塊能夠滑到原來的高度。若劈甲固定、劈乙不固定，則物塊滑上乙時(shí)水平方向動(dòng)量守恒，物塊、斜面和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，物塊不能滑到原來的高度。

變式訓(xùn)練1：若劈甲、乙組裝成一槽，槽固定，高度為h ，表面粗糙。物塊以初速度v0滑下，并且滑到 B 點(diǎn)的速度仍為v0，那么物塊從 A點(diǎn)滑到 B 點(diǎn)，克服摩擦力做了多少功？若初速度改為2v0，滑到 B 點(diǎn)的速度還是 2v0 嗎？（設(shè)摩擦力大小不變）

答案：mgh；還是。

延伸思考：

若槽不固定，質(zhì)量為M，水平桌面光滑，槽表面也光滑。物塊（質(zhì)量為m）從劈甲距底端高度為h處由靜止開始下滑，問：（1）在物塊滑動(dòng)過程中，槽如何運(yùn)動(dòng)？物塊能滑到與初位置等高的C 點(diǎn)嗎？（2）當(dāng)物塊滑到最底端時(shí)，物塊和槽的速度各是多少？物塊從 A 點(diǎn)滑到 B 點(diǎn)過程中，物塊對槽做了多少功？槽又對物塊做了多少功？（3）若物塊以初度v0滑下，物塊恰能滑到 C 點(diǎn)，此時(shí)物塊和槽的速度是多少？

延伸思考2：若物塊固定，槽不固定，桌面光滑，槽上表面粗糙。物塊從劈甲距底端高度為h處由靜止開始下滑，到達(dá)最底端時(shí)，速度與上題一樣嗎？為什么？

經(jīng)過課堂實(shí)踐表明，通過這樣逐步深入的專題訓(xùn)練，學(xué)生對斜面模型的解題思路有了清晰的認(rèn)識(shí)，再遇到一些結(jié)合實(shí)際的問題時(shí)，也比較容易建立物理模型，較好地回答問題。

（欄目編輯 趙保鋼）