高中二次函數(shù)的重新認識與加深

盧德飛

來賓市第四中學 廣西來賓 546100

二次函數(shù)是貫穿初中和高中數(shù)學課程的一種很重要的函數(shù)，不管在代數(shù)中，還是解析幾何中，利用此函數(shù)的機會都特別多；同時各種數(shù)學思想如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，利用二次函數(shù)作為載體，展現(xiàn)得最為充分。尤其是在高中階段，有基本函數(shù)、不等式、數(shù)列、導數(shù)等部分的基礎(chǔ)內(nèi)容。本文通過對二次函數(shù)在不等式，數(shù)列，導數(shù)，解析幾何中的應用來說明二次函數(shù)作為高考的重點及其難點始終是高中教學的重點，因此對于二次函數(shù)的應用的研究對于高中階段教學有重要的意義。

一、二次函數(shù)定義的理解

一般地，自變量 x和因變量 y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c（a，b，c 為常數(shù)，a≠0），與二次函數(shù)在初中階段理解的不同，高中階段的二次函數(shù)在集合和映射的基礎(chǔ)之上進行認識理解的，主要以映射的知識重新認識了函數(shù)的定義：二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），這里面的這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖像

通過二次函數(shù)y=(a≠0)圖像可以了解和認識函數(shù)的單調(diào)性：

三、結(jié)合二次函數(shù)圖像解決一元二次不等式中的求解問題

結(jié)合二次函數(shù)圖像可以更清晰的看到函數(shù)的對稱軸與特殊點問題，而拋物線上的特殊點和對稱軸對于解題至關(guān)重要，有必要深刻理解。二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a x h2+k的形式，其中對稱軸為拋物線是軸對稱圖形，拋物線上任意一對對稱點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。如果 A(x1，x1)，B(x2，x2)是拋物線上兩點，若y1=y2，則這個拋物線的對稱軸是

當b24ac與0的關(guān)系不同時，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點也不同。

四、二次函數(shù)在導數(shù)中的應用

分析：易知f（'1）=0，（f 1）=10，從而求出a，b的值，但f（'1）=0是函數(shù)在該點取得極值的必要不充分條件，故應進行檢驗。

解：由題意得f（'x）=3x2+2ax+b，x=1是函數(shù)的極值，且極值為10，則有：f（'1）=0，（f 1）=10。即3+2a+b=0，1+a+b+a=10解得a=4 b=-11或a=-3 b=3。

此時（f x）在R上單調(diào)遞增，x=1不是函數(shù)的極值點，故應舍去。所以，a=4，b=-11。

五、二次函數(shù)在解析幾何中的應用

例：討論直線y=kx+1與雙曲線x2y2=1的公共點的個數(shù)。

當1-k2=0，即k=±1時，有一個公共點，并且是交點；當1-k2≠0，即 k≠±1 時，D=8-4k2，由 D ＞ 0 得時，有兩個交點，由D=0得，時，有一個交點，并且是切點，由得或時，無交點。

這些在初中的內(nèi)容里有些都是沒有涉及到的，對二次函數(shù)的重新認識和了解，給學生打開了知識的另一個大門，拓寬了學生的視野，也為往后的學習奠定一定的思想方法。