數(shù)形巧結(jié)合
——數(shù)學(xué)抽象變具象

安徽省宣城中學(xué)高三（12）班 杜 偶

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門極具抽象的學(xué)科，對(duì)于我們抽象思維程度不高的高中生來(lái)說(shuō)，抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)概念等是難以理解的。既然現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一門以研究數(shù)量關(guān)系和圖形為主的學(xué)科，那么在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，我們可以在數(shù)與形的轉(zhuǎn)化下，借助直觀的圖形展現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系，借助具體的數(shù)量關(guān)系賦予圖像以實(shí)際意義，借此加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，探尋到解題方法。那么在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)開(kāi)展中，我們要如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合這一思想方法呢？

一、在新知學(xué)習(xí)過(guò)程中，初探數(shù)形結(jié)合思想

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)參與中，我們往往會(huì)遇到兩種知識(shí)，一種是表層知識(shí)，一種是深層知識(shí)。所謂的表層知識(shí)是指數(shù)學(xué)概念等極具基礎(chǔ)性的知識(shí)，而深層知識(shí)則指數(shù)學(xué)思想方法。這兩種知識(shí)是相互依存，相伴而生的。也就是說(shuō)，在進(jìn)行表層知識(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候，我們常常會(huì)看到各種各樣的數(shù)學(xué)思想方法。為了加深對(duì)表層知識(shí)的理解，我們需要在教師的引導(dǎo)下自主地將數(shù)學(xué)思想方法引入其中，借此在自主探究過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。以“集合間的基本關(guān)系”這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)為例，我在學(xué)習(xí)集合知識(shí)的時(shí)候，對(duì)課堂上教師所講解的集合概念不甚理解，對(duì)此，我借助韋恩圖來(lái)表示各個(gè)集合之間的關(guān)系。以A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}這兩個(gè)集合為例，我借助韋恩圖做出了這樣的圖（如圖1）。

圖1

在直觀的圖形展示下，我不僅看到了這兩個(gè)集合之間所存在的關(guān)系，還對(duì)子集產(chǎn)生了一個(gè)感性的認(rèn)知，為新知學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、在問(wèn)題解決方法探索中，鞏固數(shù)形結(jié)合思想

我們學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一大目的是運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，這是毋庸置疑的。對(duì)此，在參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的時(shí)候，我們需要樹(shù)立起數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。要想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用，掌握有價(jià)值的思想方法是必不可少的。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)參與中我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)中存在著大量的數(shù)與形，二者是數(shù)學(xué)研究最基本的對(duì)象，而且呈現(xiàn)在我們面前的數(shù)學(xué)問(wèn)題大都與數(shù)與形有著直接的聯(lián)系，加之?dāng)?shù)學(xué)思想方法是指導(dǎo)運(yùn)用所學(xué)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法，所以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，我們要樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合意識(shí)，在數(shù)形結(jié)合思想方法的作用下，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而在降低數(shù)學(xué)解題難度的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。以這一求解不等式問(wèn)題為例，在過(guò)去，我一般會(huì)直接借助數(shù)學(xué)計(jì)算方式直接進(jìn)行計(jì)算。盡管這樣的計(jì)算方法能得出最終的結(jié)果，但是，由于多種因素的限制，在計(jì)算的時(shí)候常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致計(jì)算失敗。對(duì)此，在數(shù)形結(jié)合這一思想方法的引導(dǎo)下，我會(huì)借助不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何意義，借助數(shù)軸的方式將其呈現(xiàn)出來(lái)，然后在直觀的數(shù)軸作用下探究結(jié)果。

經(jīng)過(guò)對(duì)題目進(jìn)行分析我發(fā)現(xiàn)，該問(wèn)題的幾何意義是：使得x到點(diǎn)2和點(diǎn)-3之間的距離之和大于7的x的取值范圍。接著，畫出這樣的數(shù)軸（如圖2）：

圖2

在直觀的圖形作用下，我們可以看到，當(dāng)x≤-4或x≥3的時(shí)候，不等式成立。如此，在數(shù)形結(jié)合思想方法的作用下，解題步驟簡(jiǎn)單化，有利于提升解題效率。

三、在知識(shí)歸納總結(jié)中，概括數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的，對(duì)此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的時(shí)候，我們需要以基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)?？v觀我們所使用的數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是按照螺旋上升的趨勢(shì)編排的，而蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法則是較為分散的。對(duì)此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)參與中，我們需要在一段學(xué)習(xí)時(shí)間之后，以專題復(fù)習(xí)的形式將有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，并在系統(tǒng)知識(shí)歸納總結(jié)中，探究數(shù)學(xué)思想方法。我在該環(huán)節(jié)，一般會(huì)從以下兩個(gè)方面進(jìn)行知識(shí)總結(jié)：第一，在近期所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)中有哪些內(nèi)容涉及了數(shù)形結(jié)合思想，比如在集合學(xué)習(xí)中運(yùn)用韋恩圖、數(shù)軸，在不等式解決中運(yùn)用數(shù)軸，在函數(shù)最值求解中運(yùn)用函數(shù)圖像等。在這樣的知識(shí)總結(jié)中可以為我們的解題積累經(jīng)驗(yàn)，一旦遇到與之有關(guān)的問(wèn)題，則立即選擇數(shù)形結(jié)合這一思想方法解決問(wèn)題。第二，歸納總結(jié)近期運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這一思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程中所存在的問(wèn)題，諸如數(shù)形轉(zhuǎn)化的等價(jià)問(wèn)題、圖像分類情況等，借此在有的放矢中提高數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用效率。

總之，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)參與中，我們要借助多樣化的方式將表層知識(shí)與深層知識(shí)結(jié)合起來(lái)，在數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)下加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，并在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，為學(xué)以致用的實(shí)現(xiàn)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。