追根溯源揭本質(zhì)，關聯(lián)變式求發(fā)展
——關于數(shù)學教師解題品質(zhì)的思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

解題是數(shù)學學習不或缺的重要環(huán)節(jié).現(xiàn)實中常有這樣一種現(xiàn)象：教師與學生一起解題，有時教師的速度沒有學生快，這也是筆者自身的體驗.一方面，應該承認教師的智商與學生比不一定是最優(yōu)秀的，在相同的時間內(nèi)、用同樣的知識解題，學生可能更勝一籌，這是正?，F(xiàn)象.更重要的一方面是：學生“初生牛犢不怕虎”，解題時“敢打敢沖”，不會考慮過多，而教師解題時則多了一些冷靜、顧慮與思考：如解答過程是否簡潔完美、問題來源與背景是什么、與哪些關聯(lián)、還有哪些思路、可否變式、能否一般化、向哪些方向發(fā)展、命題意圖是什么……這些其實是數(shù)學教師必備的解題品質(zhì).本文基于幾道試題的解答與反思過程，談談關于數(shù)學教師解題品質(zhì)的思考.

一、解題與反思案例

所以點P一定在函數(shù)y=mx+n的圖像上.

圖1

圖2

反思2：問題的本質(zhì)是什么？

從圖2直觀發(fā)現(xiàn)：如果過點P作x軸的平行線PG，GP仍然平分∠APA′.設點P的坐標為GP、A′N⊥GP，垂足分別為M、N.

所以tan∠APM=tan∠A′PN，即∠APM=∠A′PN.

由此可見：不論k、m、n為何值，都有GP平分∠A′PA，而由m=得到的上述結論是該結論的特例.

圖3

圖4

反思3：如果m為其他數(shù)值，原題的結論成立嗎？點P必在CD邊上”.（如圖5）

圖5

圖6

例2 （2018年福建省中考B卷第25題改編）如圖6，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為A（0，2），點B、C在該二次函數(shù)圖像上，且△ABC為等邊三角形.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M（x1，-x12+2）、N（x2，-x22+2）.

分別作ME⊥BC、NF⊥BC，垂足分別為E、F.

反思1：問題的本質(zhì)是什么？

上述問題中，條件“△ABC是等邊三角形”“與直線MN平行的直線y=-2x”中都含有這個元素，結論為“BC平分∠MBN”.這些條件、結論或元素之間是否存在著某種必然的聯(lián)系呢？

為了揭示問題的本質(zhì)，不妨將問題一般化.設拋物線為y=ax2+c（a＜0，c＞0），點B、M、N的坐標分別為（m，am2+c）、（x1，ax12+c）、（x2，ax22+c），其他條件不變.

若tan∠1=tan∠2，則a（x1+m）=-a（x2+m），必有x1+x2=-2m.

設直線MN的解析式為y=kx+n，將點M、N的坐標代入，得x）2.

因為x1+x2=-2m，所以k=a（x1+x2）=-2am.以此驗證上述特例：當a=-1、m=-，k=-2am=-2×（-1）×，與條件完全吻合.

反思2：結論k=a（x1+x2）可否由其他方法得出？

反思3：能否有更進一步的猜想？

由上述推理是否可更一般地猜想：只要滿足“k=-2am”就有“BC平分∠MBN”呢？其中k為直線MN的解析式y(tǒng)=kx+b的一次項系數(shù)，a為拋物線的二次項系數(shù)，m為拋物線上點B的橫坐標，結論與兩個函數(shù)的常數(shù)項c、n無關.

顯然，以上步驟步步可逆（讀者可自行證明）.由此可見：“BC平分∠MBN”的充要條件是“k=-2am”.與其他量無關.這才是問題的本質(zhì).

二、問題思考

上述兩個案例中，在解題后均對解法和問題進行了反思，這個過程引發(fā)了筆者進一步的思考.數(shù)學教師解題除了掌握一定的解題策略、良好的思維方式，作為數(shù)學教師特有的解題品質(zhì)，既要反思問題從哪里來、怎么來，也要關注是什么樣子、還可以是什么樣子，還要思考往哪里去、怎么去.即“追根溯源揭本質(zhì)，關聯(lián)變式求發(fā)展”.

1.追根溯源揭本質(zhì)

試題的命制，即使是原創(chuàng)題，都不會是無本之木、無源之水，一定會有問題的源頭.從問題原型來看，有些直接來自于教材，有些源自于某個重要結論；從思路方法上看，大多為常規(guī)思路、通性通法，考查重要的數(shù)學思想方法.作為數(shù)學教師，在解題中應該追根溯源，揭示問題的本質(zhì)所在.

如在例1中，通過對問題深入思考發(fā)現(xiàn)，一是對條件一般化處理有：只要過原點O的直線與函數(shù)y=的圖像相交于A′、A，無論k、m、n為何值，都有“PG平分∠APA′（或其鄰補角∠APE）”；二是對原問題進行反思：如果m≠，只要將條件中的“正方形ABCD”改為“滿足=2|m|的矩形ABCD”，仍然有“A′B與函數(shù)y=的圖像的交點P必在CD邊上”.在例2中，通過分析試題條件中相關元素的關系，并對條件一般化后發(fā)現(xiàn)：“BC平分∠MBN”的條件為“k=-2am”，而原題則是在“當a=-1，m=-時，k=-2”這種特殊情況下的結論.這就揭示了問題的本質(zhì).

該試題是針對初中數(shù)學內(nèi)容和學生認知能力，將一般性結論特殊化而命制的.教師要在解題中追根溯源，揭示問題的本質(zhì)，并反過來回到原問題，將一般性結論在具體的、特殊的問題中加以驗證.只有這樣，教師才能居高臨下俯瞰數(shù)學知識與數(shù)學問題，在解題教學中游刃有余、收放自如.

2.關聯(lián)變式求發(fā)展

有人說，“基礎知識貴在求聯(lián)，基本技能貴在求變，基本思想貴在求通”［1］，在筆者看來，教學的“求聯(lián)、求變、求通”與“關聯(lián)變式求發(fā)展”有異曲同工之妙.

（1）“聯(lián)”：聯(lián)想、聯(lián)系.

數(shù)學解題中要經(jīng)常思考：一是問題解法與哪些方法、知識、策略相關聯(lián)；二是問題與哪些問題本質(zhì)是相同的，與哪些問題的形式相近但本質(zhì)不同，對解題有何啟示.如例1與例2都是函數(shù)與圖像問題，均涉及角平分線的證明，證明方法都是通過構造直角三角形利用銳角的正切來解決，這就是知識與方法的聯(lián)系，這也是處理類似問題的策略之一.解決問題的具體方法既有聯(lián)系也有區(qū)別，聯(lián)系是：都可以通過代數(shù)運算方法進行推理，區(qū)別是：例2利用一元二次方程根與系數(shù)關系解決更快捷、簡潔.

為什么例2的解法聯(lián)想到與一元二次方程根與系數(shù)的關系？一方面，是受k=a（x1+x2）這個特定的代數(shù)結構與形式啟發(fā)；另一方面，點M、N是一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像的交點的橫坐標的實質(zhì)為根據(jù)得到的一元二次方程的兩根.這就是聯(lián)系與聯(lián)想的作用.另外，這種解題經(jīng)驗具有普適性，遇到可能出現(xiàn)二次方程的問題，可嘗試這種思路.如解決下列問題：

例3 如圖7，如果一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸、y軸交于點A、B，與反比例函數(shù)y=的圖像交于P1、P2兩點，求證：AP1=BP2.

圖7

結論的證明方法論較多，在參考文獻［2］中有具體闡述，有些方法過程煩瑣，計算量大.這里考慮“化斜為直”，分別過點P1、P2作兩坐標軸的垂線（如圖3），垂足分別為E、M、N、F，要證AP1=BP2，只要證明△AEP1≌△P2FB，即證EA=FP2.依次設點A、P1、P2的橫坐標為xA、x1、x2，證EA=FP2即證xA-x1=x2，也即x1+x2=xA.因為xA=-，即證x1+x2=-.該等式結構與一元二次方程根與系數(shù)關系相同，故向此方向聯(lián)想：x1、x2恰為方程ax+b=即ax2+bx-k=0的兩根，結論顯然成立.

例2與例3從形式上看大相徑庭，但問題本質(zhì)一樣，其方法也相互關聯(lián).

（2）“變”：變化、變式.

所謂“變化、變式”，旨在說明兩層意思.第一層意思是思路變化.轉換角度思考問題，注意研究思路的多樣性和解題方法的變化，通過一題多解形成發(fā)散思維能力.第二層意思是問題變式.比如，對問題作“形異質(zhì)同”或“形似質(zhì)異”的變式與比較，形成舉一反三、舉三反一和把握問題實質(zhì)的能力.

例2中兩銳角正切值相等，用一般的代數(shù)運算的方法證明后，嘗試用一元二次方程根與系數(shù)關系證明；例3中可以用純幾何方法，也可用代數(shù)方法，這就是一題多解式的思路變化；例1與例2的問題母體一個是反比例函數(shù)，一個是二次函數(shù)，但都是將“證明角相等”這樣形的問題轉化為代數(shù)推理問題，例2與例3兩個形式、結構不同的問題都可以轉化為方程根與系數(shù)的關系解決，可謂“形異質(zhì)同”；而例1與例3看上去形式相同，但解法是兩種完全不同的方向，此乃“形似質(zhì)異”.此外，問題本身還可以進行變式與遷移、嫁接與組合.如：

例2的（2）可以作如下變式：

①如圖2，若M、N分別位于直線BC的兩側，且BC平分∠MBN，一次函數(shù)y=kx+n的圖像經(jīng)過點M、N，求k的值；

②如圖8，若P為二次函數(shù)y=-x2+2在對稱軸左側圖像上的一點，過點P作PQ∥x軸，直線y=-2x+n與二次函數(shù)y=-x2+2的圖像的交點M、N分別位于直線PQ兩側，且PQ平分∠MPN，求點P的坐標.

例3中“AP1=BP2”的結論完全可以“嫁接”到例1中.如圖4，設AP交坐標軸于點T、S，求證：AT=PS.

（3）“通”：通聯(lián)、通達.

“通聯(lián)、通達”指向兩個方面.一是問題關系、解題思路通聯(lián)，相關問題及思路之間聯(lián)系、聯(lián)結，形成知識、方法的網(wǎng)絡.透過3個例題的解決發(fā)現(xiàn)：它們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，將相關數(shù)學知識織成網(wǎng)絡，構成一個整體.如例3中，從數(shù)學思想維度上看，在問題解決的過程中，集化歸、數(shù)形結合、方程、輔元、整體、變中不變、特殊到一般等數(shù)學思想方法于一身.二是問題解決與問題形式通達，通過橫向拓展、縱向延伸，以通往遠方，達到新高.問題解決后，可以嘗試對問題橫向拓展、縱向延伸.如在例2中，我們已經(jīng)知道，只要滿足“BC平分∠MBN”，那么k、m、a之間就滿足關系“k=-2am”.事實上，對拋物線y=ax2+c，還可以進一步延伸：去掉條件“c＞0”，并將條件“a＜0”弱化為“a≠0”，其他條件不變，如圖8，若P為二次函數(shù)y=ax2+c在對稱軸左側圖像上的一點，其橫坐標為m，過點P（m，s）作PQ∥x軸，直線y=kx+n與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的交點M、N分別位于直線PQ兩側，且PQ平分∠MBN，此時發(fā)現(xiàn)：無論a、k的值如何變化，m的值保持不變；或者s是a的一次函數(shù)（讀者不妨自行證明）

當然，這種思考的結果有些超出了初中數(shù)學的范疇，并不一定要求學生掌握.這里順便說句題外話.參考文獻［3］提出了命題中對韋達定理的隱性考查的問題，認為“新授課階段不宜對韋達定理進行弱化”，甚至覺得“初三新授課期間，沒有哪個教師真的把韋達定理弱化為簡單介紹”，對此筆者不敢茍同.盡管韋達定理是一元二次方程知識系統(tǒng)不可或缺的組成部分，在高中也有著非常重要的應用，一些地區(qū)對韋達定理進行隱性考查，但這不能成為人為拔高教學要求的理由.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》［4］將“一元二次方程根與系數(shù)關系”作為選學和了解內(nèi)容，僅僅要求“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系”，甚至通篇連“韋達定理”四個字都未提及，可見課程標準制定者的審慎程度.筆者認為：課程標準是教學的“根本大法”，教師的教學決不能有違“法”行為，這是所有初中數(shù)學教師和中考命題者應該守住的底線.

然而，作為數(shù)學教師，有必要對數(shù)學試題、數(shù)學問題做深入的研究、思考，甚至是縱橫關聯(lián)、上下疊合，做到心中有數(shù)、胸有成竹.因此，數(shù)學解題中“追根溯源揭本質(zhì)，關聯(lián)變式求發(fā)展”式的思考應該是數(shù)學教師必備的解題品質(zhì)，更應該成為數(shù)學教師不可或缺的解題習慣.

圖8