想清辨明定義結(jié)構(gòu)，鋪墊設(shè)問變式反饋
——以北京海淀九上期中卷新定義考題為例

☉廣東省廣州市花都區(qū)炭步鎮(zhèn)炭步初級中學(xué) 湯妙娟

新定義考題是目前各地中考、期中、期末考試的熱點題型，也在各級復(fù)習(xí)備考活動中占據(jù)重要位置，但是新定義考題的類型是豐富多樣的，其中北京市中考引領(lǐng)下的一類涉及隱圓、動圓的新定義考題風(fēng)格獨特，體現(xiàn)了少算多思、構(gòu)思要求高等特點，值得關(guān)注.本文結(jié)合北京海淀區(qū)2018年11月九上期中卷一道新定義考題，談?wù)勅绾螄@一道新定義考題開展“一題一課”的教學(xué)設(shè)計，供分享和研討.

一、新定義考題及思路解析

考題：（2018年11月北京海淀區(qū)）在平面直角坐標系xOy中，點A是x軸外一點，若平面內(nèi)的點B滿足：線段AB的長度與點A到x軸的距離相等，則稱點B是點A的“等距點”.

（1）若點A的坐標為（0，2），點P1（2，2）、P2（1，-4）、

（2）若點M（1，2）和點N（1，8）是點A的兩個“等距點”，求點A的坐標.

思路解析：（1）在平面直角坐標系中畫出草圖，如圖1，容易求出AP1=AP3=OA=2，所以點P1、P3是點A的“等距點”.從“結(jié)構(gòu)”上看，可以作出一個半徑為2的圓A，此時圓A恰與x軸相切，并且點P1、P3恰在圓A上.

圖1

圖2

（2）先構(gòu)造圖2分析，MN//y軸，且MN=6，結(jié)合M、N都是點A的“等距點”，可知點A應(yīng)該在線段MN的垂直平分線上，同時點A到x軸的距離也與AM、AN相等，可構(gòu)造圓A與x軸相切，且點M、N恰在圓A上，此時圓A的半徑為5.構(gòu)造直角三角形AMH，利用勾股定理可求出AH=4，于是點A的坐標是（5，5）.根據(jù)對稱性，可知在第二象限有另一點A′與A關(guān)于直線MN對稱，也是符合要求的，即A′（-3，5）.綜上，點A的坐標為（5，5）或（-3，5）.

（3）先作出圖3進行分析，此時點M到x軸的距離為MH，點M到圓上一點的距離的最小值是MN，連接MT交圓T于N，此時MN小于MH.可以調(diào)整N點的位置使得MH=MN，這樣就符合“等距點”要求.

圖3

圖4

圖5

圖6

接下來構(gòu)造圖4，這種圖形位置情況下，點M到圓上一點的最小距離MN大于MH的長，不符合“等距點”要求.類似的，構(gòu)造圖5，當圓到了x軸下方，與x軸無交點時，MN一定大于MH，也不符合“等距點”要求.

一個臨界狀態(tài)就是當圓心T在y軸的負半軸上時，圓T與x軸相切的位置關(guān)系，即t>-2.（注意，由于x>0，所以

再構(gòu)造圖6，分析出另一臨界狀態(tài)，當△TOM恰構(gòu)成等邊三角形時，此時MN=MH.結(jié)合OT=OM=TM=t，于是MN=t-2，而在Rt△OMH中，MH=0.5t.當t-2=0.5t，即t=4時，相應(yīng)的求出該等邊三角形邊長為4，滿足題意.故t≤4.

綜上，-2

解后反思：從上述求解來看，關(guān)鍵是理解新定義“等距點”的圖形結(jié)構(gòu)，從第（1）問開始，就會有一個隱性的圓貫穿問題探究的全過程，前兩問中的圓都是一個“確定”的圓，位置固定，而第（3）問中的圓是一個動圓，其圓心在y軸上上下平移，能否想清圓在上下平移過程中的兩處臨界位置成為解題的難點與關(guān)鍵所在.

二、圍繞考題設(shè)計的解題微教學(xué)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 熟悉定義

給出“等距點”定義后，教師可結(jié)合平面直角坐標系，舉例幫助學(xué)生理解，然后安排學(xué)生在小組內(nèi)互相舉例，加強對定義的理解.然后給出以下小問：

問題1：若點A的坐標為（0，2），判斷點B（2，2）、C（1，-4）是否為點A的“等距點”，并說明理由.

問題3：請判斷E（1，4）是否為點A的“等距點”.如果是，請說明理由；如果不是，能否將點E適當平移，使之成為點A的“等距點”？

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 初步運用

例1 若點M（1，2）和點N（1，8）是點A的兩個“等距點”，

（1）根據(jù)新定義，有人認為點A一定在直線y=5上，你覺得這種判斷正確嗎？說說你的理由.

（2）小睿指出，點M、N應(yīng)該同時在半徑為5的圓上，你覺得有道理嗎？

（3）根據(jù)對稱性，點A應(yīng)該有幾種不同的位置？結(jié)合以上分析，求出點A的坐標.

設(shè)計意圖：通過幾個鋪墊式問題，有效化解了考題第（2）問的難點與解題障礙，想清以上3個關(guān)鍵步驟，就能口算得解．

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 挑戰(zhàn)難題

（1）當t=1時，畫出圖形，并在圖形中找出滿足條件的一組點M、N.

（2）當t=5時，以O(shè)T為一邊作等邊三角形OTP，求點P的坐標.

（3）當t=-3時，能否找到符合要求的點M、N？結(jié)合圖形進行分析說明.

（4）直接寫出t的取值范圍.

設(shè)計意圖：為了讓學(xué)生能想到、想清兩處臨界位置，設(shè)計了（1）~（3）的鋪墊式問題，為的是使學(xué)生學(xué)會分析，數(shù)形結(jié)合，讓圓T動起來，逐漸逼近問題的兩種臨界位置.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 變式再練

變式題：在平面直角坐標系xOy中，點A是x軸外一點，若平面內(nèi)的點B滿足：線段AB的長度與點A到x軸的距離相等，則稱點B是點A的“等距點”.

（1）若點A的坐標為（1，2），點P（13，2）、P（22，6）、）中，點A的“等距點”是________.

（2）若點M（1，2）和點N（1，6）是點A的兩個“等距點”，求點A的坐標.

三、進一步的思考

1.深刻理解新定義考題，需要想清新定義的本質(zhì)

新定義問題往往都是基于初中階段所學(xué)過的一些概念發(fā)展而來的，這時結(jié)合新定義所舉的圖形或例子，想清辨明新定義的本質(zhì)所在，新定義所對應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)或某種基本圖形，是后續(xù)問題求解的關(guān)鍵.事實上，這也是我們在概念教學(xué)時應(yīng)該注意的一個薄弱點，即章建躍教授所批判的“一個定義，三項注意，大量練習(xí)”式的數(shù)學(xué)概念教學(xué)對學(xué)生理解數(shù)學(xué)造成的“傷害”.像上文新定義考題第（3）問的本質(zhì)就是圓T（半徑為2）在y軸上上下平移，尋找兩個位置符合題意，相應(yīng)找到兩個臨界值.

2.開展新定義考題教學(xué)，需要預(yù)設(shè)鋪墊式問題

新定義考題的教學(xué)不能只是拿著一道題就從前講到后，而要對試題的呈現(xiàn)方式做出必要的變式改編，上面我們給出的就是通過分解步驟，預(yù)設(shè)鋪墊式問題，以問題串的方式推進教學(xué)進程，這需要教師在課前精心準備，特別是教師需要具備一定的命題改編能力.在預(yù)設(shè)鋪墊式問題時，還要注意貼近原考題的設(shè)問方向，不能離“題”太遠，偏離原設(shè)問的設(shè)問或變式不宜出現(xiàn).講評最后，為了檢測學(xué)生的理解情況，還可對原考題整體上進行簡單的變式改編，如上文課例中的環(huán)節(jié)（四），就是針對原考題對各個小問進行了簡單的數(shù)字或符號的變式，并沒有破壞原題的設(shè)問本質(zhì)與問題結(jié)構(gòu)，側(cè)重考查學(xué)生對考題的掌握程度.