從一道競(jìng)賽訓(xùn)練題看方程思想

☉山東省萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 魏衍彬

先看這樣一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題：已知立方和公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）和立方差公式a3-b3=（a-b）（a2+ab+

已知條件中給出兩個(gè)公式，結(jié)合待求式的特點(diǎn)，首先我們應(yīng)該肯定的是，要求待求式的值，應(yīng)該選擇立方差公式.即便如此，我們?nèi)匀豢床怀龃笫脚c立方差公式有什么聯(lián)系.為了便于發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系.我們將立方差公式進(jìn)一步變形為a3-b3=（a-b）（a2-2ab+b2+3ab）=（a-b）［（a-b）2+3ab］=（a-b）3+3ab（a-b），這樣我們得到立方差公式的變形公式a3-b3=（a-b）3+3ab（a-b）.注意到差公式的變形公式，不難得到4-3x=x3，這是一個(gè)一元三次方程.先將這個(gè)方程變形為x3+3x-4=0.注意到左邊可以進(jìn)行因式分解，即x3+3x-4=（x3-1）+（3x-3）=（x-1）（x2+x+1）+3（x-1）=（x-1）（x2+x+4）.所以（x-1）（x2+x+4）=0.而思想.那么什么是方程思想呢？所謂方程思想，是指從分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系入手，將問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)適當(dāng)設(shè)元建立方程（組），然后通過(guò)解方程（組）使問(wèn)題得到解決的思維方式.當(dāng)然，初中階段我們學(xué)習(xí)了方程和方程組的解法，并學(xué)會(huì)通過(guò)列方程（組）的方法解決與之有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，這體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.利用方程思想，不僅可以解決實(shí)際問(wèn)題，而且可以用來(lái)求復(fù)合二次根式的和（差），證明幾何命題，解決圖形的面積問(wèn)題等.下面以例子分類(lèi)說(shuō)明方程思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、利用方程思想求復(fù)合二次根式的和（差）

如果二次根式的被開(kāi)方數(shù)含有二次根式，這樣的式子叫作復(fù)合二次根式.如.在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，我們經(jīng)常遇到求復(fù)合二次根式的和（差）問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是利用方程思想，先設(shè)原式的值為未知量，然后兩邊平方，最后得到一個(gè)一元二次方程.通過(guò)解這個(gè)一元二次方程求出復(fù)合二次根式的和（差）的值.

二、利用方程思想證明幾何命題

我們習(xí)慣于用列方程（組）的方法解決與之有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，而在證明幾何命題時(shí)很難與方程（組）聯(lián)系起來(lái).事實(shí)上，有些幾何命題若用常規(guī)方法證明過(guò)程麻煩，或者不易找到證明的切入點(diǎn)，此時(shí)若能想到方程思想，用方程思想指導(dǎo)證明幾何命題，有時(shí)能事半功倍，化腐朽為神奇，使幾何命題得到巧妙證明.

例2 如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BD延長(zhǎng)線上

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）判斷線段DA、DC、DB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解析：?jiǎn)栴}（1）比較簡(jiǎn)單，下面我們來(lái)看問(wèn)題（2）.觀察DA、DC、DB三條線段的長(zhǎng)短，我們猜想DB=DA+DC.證明這個(gè)結(jié)論的常規(guī)方法是截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法.若用截長(zhǎng)法，既可在線段DB上截取DM=DA，連接AM（如圖2），然后證明△ABM≌△ACD；也可以在DB上截取DC=DN，連接CN（如圖3），然后證明△BCN≌△ACD.

若用補(bǔ)短法，可延長(zhǎng)DC至點(diǎn)P，使CP=DA，連接BP（如圖4），然后證明△BCP≌△BAD；也可以延長(zhǎng)CD至點(diǎn)Q，使DQ=DA，連接AQ（如圖5），然后證明△CAQ≌△BAD.

為了強(qiáng)化方程思想的應(yīng)用，下面我們用列方程的方法證明.

設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為1.

在△ABD中，由余弦定理，得12=DB2+DA2-2DB·DA·cos60°，即DA2-DB·DA+DB2-1=0 ①.在△BCD中，由余弦定理，得12=DB2+DC2-2DB·DC·cos60°，即DC2-DB·DC+DB2-1=0 ②.

由方程①和②可知，DA、DC是一元二次方程x2-DB·x+DB2-1=0的兩根.由韋達(dá)定理，得DB=DA+DC.

三、利用方程思想求圖形面積

求圖形面積也是一類(lèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)題型.如果某一圖形由幾部分組成，或者說(shuō)被分割成若干部分，在求某一（幾）部分的面積時(shí)，若用常規(guī)方法難以入手，可以考慮設(shè)某一部分的面積為未知數(shù)，然后通過(guò)列方程（組）的方法求解.

例3 如圖6，正方形的邊長(zhǎng)為1，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，四條弧兩兩相交，求四條弧圍成的花瓣的面積.

圖6

圖7

解析：?jiǎn)为?dú)求每朵花瓣的面積比較容易，現(xiàn)在的問(wèn)題是：兩朵花瓣有重疊部分，大大增加了求解難度.注意到正方形的面積被分割成9塊，各小塊的面積設(shè)為未知數(shù)，如圖6所示，共有三個(gè)未知數(shù).根據(jù)正方形的面積和扇形的面積，可以得到兩個(gè)方程，只需再得到一個(gè)方程就可以組成三元一次方程組，從而求出花瓣的面積.注意到△ABE是一個(gè)等邊三角形（如圖7），于是S弓形AFE=S弓形BHE，即x+2y+z-S=S-S，從而可以得到x+2y+z-扇形ABE扇形ABE△ABE

以上我們僅從三個(gè)方面談了方程思想的應(yīng)用.當(dāng)然方程思想的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，例如，我們還可以應(yīng)用方程求線段的長(zhǎng).如圖8，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，直線EF交正方形外角的平分線于點(diǎn)F.如果AE⊥EF，求證AE=EF.我們可過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則△FCM是等腰三角形，CM=FM.不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，CM=FM=x，則易證∠BAE=∠CEF.根據(jù)這兩個(gè)角的正切值相等可△ABE≌△EMF.則AE=EF.在證明兩條線段相等的過(guò)程中，我們通過(guò)列方程求出了某線段的長(zhǎng).還可以化簡(jiǎn)帶有省略號(hào)的復(fù)合二次根式，如化簡(jiǎn)2+x=x2.只要我們勤于總結(jié)，善于思考，就一定能讓方程思想成為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“銳器”，讓方程思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)大放光彩.W

圖8