例析幾何證明中邏輯推理典型錯誤
——以“全等三角形”為例

☉山東省莒縣第三中學(xué) 趙海龍

幾何證明是初中階段幾何入門教學(xué)的一項重要內(nèi)容，而幾何證明題是當前中考的必考題，它既能考查學(xué)生幾何語言的書寫能力，還能考查學(xué)生的邏輯推理和邏輯思維能力［1］.然而，目前幾何證明的解題過程存在不少問題，主要表現(xiàn)為心理上、知識上、策略上及邏輯上，其中邏輯上的問題不利于學(xué)生邏輯推理能力的鍛煉和提升［2］.在初中數(shù)學(xué)幾何證明教學(xué)過程中，教師要圍繞目標，結(jié)合學(xué)情和學(xué)科特點，優(yōu)選有效策略和方法，有計劃、有目的、有針對性地加強學(xué)生幾何推理和圖形證明的滲透訓(xùn)練，從而幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提升學(xué)生的邏輯推理能力.下面，筆者結(jié)合幾何證明具體題目，分析、歸納幾何證明中邏輯推理的典型錯誤.

一、虛假理由——任意推理引申定理，違反了邏輯上的充分理由律

部分學(xué)生對于幾何相關(guān)概念、定理并未真正理解、掌握，因此在幾何證明時，往往會任意推廣引申定理，進而得出有利于論題成立的“假”判斷，并將其作為論證的根據(jù)，導(dǎo)致證明出現(xiàn)誤差甚至錯誤.概括來講，這樣的證明違反了邏輯上的充分理由律，未跨過“虛假理由”這一攔路虎.“虛假理由”是初中生證明過程中出現(xiàn)頻率較高的錯誤，而要想避免學(xué)生犯“虛假理由”這一錯誤，教師就要加強學(xué)生對幾何概念、定理的理解，完成概念、定理的內(nèi)化.因此要尊重教材，解讀教材的所有內(nèi)容，教材是一切教學(xué)工作的根源，其中涵蓋了涉及初中幾何所有知識點的經(jīng)典例題.若學(xué)生可以將教材的例題研究通透，就可以解決百分之八十的基礎(chǔ)幾何證明題了.所以，對于教材上的例題，要反復(fù)進行斟酌，第一遍要大致理解要求證明的題目和提供的已知條件，第二遍要讓學(xué)生完整按照已知條件逐步推理出要證明的結(jié)論，第三遍要理解題目中的細節(jié)和關(guān)鍵內(nèi)容.

圖1

例1 已知：如圖1，△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：AD為EF的中垂線.

錯證：由AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，得DE=DF.（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

則AD為EF的中垂線.（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）

評析：從表面來講，上述證明方法確實不存在偏差，但是結(jié)合定理來講，DE=DF作為論證根據(jù)，只能夠推斷出“D是EF中垂線上的點”，而過點D的直線有無數(shù)條（如圖2），也就是說，AD不一定就是EF的中垂線.

圖2

二、循環(huán)論證——未挖掘命題中的隱含條件，違反了邏輯上的嚴謹律

循環(huán)論證是指學(xué)生利用需要證明的命題本身或等價命題作為證明的根據(jù)，而實質(zhì)上并未對命題做出證明，其是初中生證明過程中出現(xiàn)頻率較高的錯誤.因此，在日常教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，讓學(xué)生養(yǎng)成認真審題、仔細讀圖、命題與圖形相結(jié)合，善于、樂于抓住命題的“隱含條件”，結(jié)合自己掌握的定理，充分利用已知條件，有時也可以運用反證法通過結(jié)論倒推出已知條件，來覓得證明的著手點，構(gòu)建有效的證明途徑.在這個過程中，學(xué)生的邏輯思維能力、抽象能力都有所提升.同時，教師要充分發(fā)揮自身的指導(dǎo)作用，結(jié)合典型例題，點撥學(xué)生掌握挖掘隱含條件的技巧和方法，進而順利解決幾何證明路途中的“攔路虎”，體驗成功的喜悅，調(diào)動學(xué)生解題的積極性和主動性，降低“循環(huán)論證”錯誤的發(fā)生幾率.

例2 如圖3，△ABC中，D是AB邊上一點，且DF交AC于 點 E，DE=FE，AE=CE，AB與CF存在什么位置關(guān)系？請給予證明.

錯解：由DE=FE，AE=CE，得AD=CF.（直接作為命題已知條件）

圖3

由AD=CF，DE=FE，AE=CE，得△AED △CEF.

又∠AED與∠CEF是對頂角，則AD//CF.

又AD與AB是同一直線，則AB//CF.

評析：該題目的難度較小，且證明思路清晰明了，但是仍舊有少部分學(xué)生會出現(xiàn)錯誤，其中最典型的就是上述證明過程，而這類錯誤往往被稱為 “循環(huán)論證”.AD=CF并非是命題中的已知條件，而學(xué)生在證明過程中，將AD=CF作為證明的根據(jù)，卻未能挖掘“∠AED與∠CEF是對頂角，即∠AED=∠CEF”這一隱含條件，所以證明過程出現(xiàn)錯誤.

三、偷換命題——特殊代替一般進行證明，違反了邏輯上的同一律

部分學(xué)生為了降低證明難度，往往會將“一般”轉(zhuǎn)化為“特例”，導(dǎo)致幾何證明出現(xiàn)錯誤，而這種錯誤被稱為“偷換命題”.“偷換命題”最主要的表現(xiàn)形式就是由特殊情形代替一般情形.具體來講，就是學(xué)生將一般情形特殊化，如將三角形特殊化為“等邊三角形”，這樣一來，證明思路確實更清晰，難度也相應(yīng)降低，但是這違反了邏輯上的同一律，證明的并非原命題.因此在日常的課堂實踐中，教師要利用幾何典型例題，使學(xué)生認知邏輯上具有“同一律”，逐步減少乃至杜絕“偷換命題”錯誤的出現(xiàn).

例3 求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半.

錯證：如圖4，△ABC與△A′BC是全等三角形.（將三角形轉(zhuǎn)化為“全等三角形”）

連接AA′，交BC于點D（將AA′與BC的交點，特殊化為BC的中點D），即AA′=2AD.

由△ABC △A′CB，得AC=A′B.

又AA′＜AB+A′B，（三角形任意兩邊之和大于第三邊）則AA′＜AB+AC.

圖4

圖5

評析：面對該題目時，大部分學(xué)生都知道要借助輔助線完成證明，且能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為“三角形任意兩邊之和大于第三邊”［3］.但是，在證明時，學(xué)生出現(xiàn)了“偷換命題”的錯誤，主要表現(xiàn)為：一是，創(chuàng)造一個與△ABC全等的△A′BC（如圖4）；二是，連接AA′，且AA′與BC的交點為BC的中點D.而一般情境下，AA′的連線與BC的交點不一定是BC的中點D（如圖5）.

虛假理由、循環(huán)論證及偷換命題這三類錯誤的本質(zhì)是“知識性錯誤”，但是將其歸納為“邏輯性錯誤”，就是因為該類錯誤出現(xiàn)的知識盲點不在于數(shù)學(xué)知識，而在于邏輯.因此，在日常的幾何教學(xué)實踐中，教育工作者不要過分關(guān)注幾何相關(guān)理論知識，而是要注重鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和邏輯推理能力，進而減少學(xué)生幾何證明時的邏輯推理錯誤，提升學(xué)生幾何證明的正確率［4］.

因此，在幾何證明的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意以下兩點：

1.明確題目要素，讓學(xué)生養(yǎng)成化文字為圖形的能力

教師要注意引導(dǎo)學(xué)生先審題，熟讀題目，理解命題人的意圖并弄清題意，然后根據(jù)題意，對已知條件和結(jié)論加以分析，清晰地分析已知條件，從而進行嚴謹?shù)倪壿嬐评?，探究得出證明過程，最終完整地將結(jié)論證明出來.

2.進行專項訓(xùn)練，提升學(xué)生的邏輯推理及解題能力

幾何證明題類型復(fù)雜多變，在平時教學(xué)過程中，教師要注意加強學(xué)生的分析訓(xùn)練，借助多種思維方法，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方位分析和解決問題，從而提升學(xué)生的邏輯推理、多向思維能力和解題能力.要理解反證法的實際內(nèi)容，先從命題結(jié)論入手，提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后經(jīng)過一系列的邏輯推理，判斷出原假設(shè)是否成立，從而證明出原命題的結(jié)論.還要注重幾何變換法，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，化繁為簡，深化學(xué)生對圖形的認識，使得問題得以解決.

總之，在初中數(shù)學(xué)的幾何證明教學(xué)中，教師要立足實際，深入了解學(xué)生解題時的典型錯誤，從而進行有針對性的重點講解及更正，引導(dǎo)學(xué)生運用正確的解題方法，幫助學(xué)生掌握解題技巧，提升學(xué)生的邏輯推理能力.