學材重構單元教學，研判學情相機施行
——以一節(jié)“二元一次方程組”起始課為例

☉江蘇省南京市上元中學 王圣蕓

我們注意到，最近三年來，由中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會推廣的首屆國家教學成果獎“自學·議論·引導”在全國開展了3次推廣活動，該教學法主要倡導“單元教學”，特別是“三學”（學材再建構、學法三結合、學程重生成）得到很多一線教師的積極響應，近年來在《中學數(shù)學（初中版）》能檢索出相當數(shù)量的文獻．然而我們也注意到，因為對單元教學的理解比較膚淺，教學實踐時往往表現(xiàn)出一些“只見其形，未得其神”的尷尬課例．本文先梳理近期教學觀摩所見的一節(jié)“二元一次方程組”單元起始課的教學流程，并跟進評課與商榷意見．

一、“二元一次方程組”單元起始課教學概述

教學環(huán)節(jié)（一） 實際問題，引入新知

問題背景：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．

問題1：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分，某隊在一次比賽中勝x場，負y場，得到16分，你能得到怎樣的關系式？

教學組織：學生列出方程2x＋y=16．教師跟進追問這是什么方程，類比一元一次方程的定義，引導學生歸納定義出這是二元一次方程，并形成課題與板書．接下來安排一組練習，鞏固二元一次方程的概念，以及如何靈活變換不同表示方法．

跟進練習：（1）在方程x＋y=10中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

（2）在方程x-2y-1=0中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

（3）在方程3x-2y=1中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

教學環(huán)節(jié)（二） 列表研究“不定方程”的解

探究：滿足方程2x＋y=16，且符合問題實際的解：

表1

跟進練習：列表探究方程x＋y=10的自然數(shù)解：

表2

教學組織：通過列表分析實際問題的解，發(fā)現(xiàn)在表格中有一組“公共解”，為進一步定義二元一次方程組的解提供了一個歸納的情境．并通過PPT呈現(xiàn)圖1：

圖1

在此基礎上歸納出二元一次方程組的解的定義．

順便將開課階段的問題情境適當改編呈現(xiàn)，如下：

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分，某隊在10場比賽中得到16分，那么這個隊勝、負場數(shù)分別是多少？

學生就可發(fā)現(xiàn)上面列表發(fā)現(xiàn)的那一組公共解就是這個實際問題的解．

教學環(huán)節(jié)（三） 研究“消元”解二元一次方程組

例1 用加減消元法解下列方程：

例2 用代入消元法解下列方程：

教學組織：教師準備了上述兩組例題，結果因為教學時間不足，只能“匆匆示范”，學生是否真正掌握、深刻理解消元思想，因為沒有見到有質量的對話與展示，難以評價．

教學環(huán)節(jié)（四） 完善生成“結構化板書”

教師根據(jù)本課所學，將主要內容和黑板上已形成的部分內容進行關聯(lián)、轉化，形成如圖2所示的結構化板書，成為結課階段一個教學亮點．

圖2

二、評課與商榷

教學研究的經(jīng)典話題一般是“教什么”“教誰”“怎么教”．這些我們熟悉的教研觀點被國外包裝為所謂的PCK理論，再經(jīng)由國內一些數(shù)學教育專家學者的推介，成為目前引發(fā)關注的MPCK研究．事實上，通俗來說，就是教學內容，對學情的研判，如何組織教學．以下就圍繞這三個方面，對上面的課例進行評析與商榷．

1.學材再建構的前提是深刻理解教學內容

這里所指的“深刻理解”就是被鄭毓信教授反復推介的旅美數(shù)學教育研究者馬立平博士在名著《小學數(shù)學的掌握與教學》中提及的“深刻理解”，即追求數(shù)學知識的深度、廣度與貫通度．以二元一次方程組為例，消元求解二元一次方程組當然是全章核心內容，但是二元一次方程（組）的定義，它的相關概念如二元一次方程（組）的解，如何驗證一組數(shù)對是否為某二元一次方程的解也是十分重要的準備知識．不可像上文課例中一樣，“一帶而過”．事實上“精彩是不容錯過的”，比如，師生在得出二元一次方程的定義之后，可聯(lián)系、類比一元一次方程的定義、一般形式（形如ax＋b=0，其中a≠0），給出二元一次方程的一般形式ax＋by=c（其中a、b、c為常數(shù)，且a、b不能為0），二元一次方程組的一般形式c、m、n、k為常數(shù)）．也許有老師說，教材上都沒有給出它們的一般形式，為什么一定要補充？這就需要我們想清這類一般形式在整個數(shù)式、方程學習征途中的前后一致性．學生以后會學習一次函數(shù)的一般形式、一元二次方程的一般形式、二次函數(shù)的一般形式，在七年級是有必要或值得向學生補充這些簡單方程或方程組的“一般形式”的．

2.基于學情，適合的教學內容才是好的

如上所述，單元教學是基于深刻理解數(shù)學知識的前后一致、邏輯連貫而預設的，但在具體教學實施時，還需要考慮和研判學情，不能將課前的所有預設全盤托出，“完成所有課前預設”的教學是糟糕的，因為心中只有教學設計，而沒有了學生和學情的觀察與研判．這樣來看，課前的預設要盡可能采取開放式教學的問題設計，比如，安排讓學生討論二元一次方程組的解法時，就需要一些十分簡單的二元一次方程組，以便學生能從不同角度快速消元、轉化成功，而不宜在起始課就給出復雜形式的二元一次方程組，也不宜一下子推出多個二元一次方程組安排學生來求解，因為本課主要任務是生成新知、定義新知、理解新知、運用新知，而新知的重點內容體現(xiàn)了二元一次方程及解的概念、二元一次方程組及解的概念，學生理解“公共解”的意義，并能分析一組有序數(shù)組是否為方程組的公共解．可見，在上文課例中給出兩組用消元法解二元一次方程組的習題是超量的，使得教學主題發(fā)生偏離，需要刪減，將更多的教學時間讓位于前面概念的歸納與理解鞏固．

3.預設開放教學，相機停留與推進學程

南京大學哲學系鄭毓信教授倡導“從開放題走向開放式教學”，在一線教學實踐中并沒有得到太多的關注，原因是多方面的．筆者認為，開放式教學之所以難在一線教師中推廣，與當前“習題單”式的導學案營造的教學生態(tài)有很大關系，這類導學案習題量大，數(shù)學課堂被大量、密集的習題占據(jù)，教師也就不可能有開放式教學．二是，開放式教學需要教師展開追問與即時評價，而這些都對教師專業(yè)基本功提出了很高的要求．但是，我們并不能因為難就放棄開放教學的追求與努力，而應該作為心向往之的努力目標．具體來說，開放式教學所設計的問題需要精心準備、打磨，比如，安排學生探究二元一次方程的解時，可以先充分放開探究任意數(shù)組，只要滿足方程的等式成立，然后限制到考慮正整數(shù)解，這樣符合要求的有序數(shù)對就很有限了，便于學生很快發(fā)現(xiàn)，而且教師也能充分駕馭、即時點評、跟進追問、引導學生互評．

三、寫在后面

單元教學是當前教研熱點，但是教學研究并不是簡單的“蹭熱點”，而要真正靜心閱讀與實踐反思（相關建議可參閱鄭毓信教授的文獻［3］），想清單元教學的課前用力點何在，如何基于理解數(shù)學、理解學情、理解教學來優(yōu)化教學設計，真正讓課堂簡約起來、開放起來，是值得我們認真思考的.當然，所有的努力都會指向我們的專業(yè)基本功的精進與發(fā)展．