數(shù)學(xué)史融入初中課堂的案例研究

曾 崢，楊豫暉，李學(xué)良

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數(shù)學(xué)史融入初中課堂的案例研究

曾 崢1，楊豫暉1，李學(xué)良2

（1．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣東 佛山 528000；2．佛山市南海區(qū)南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)，廣東 佛山 528000）

目前，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)于強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，忽略了引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展，以及培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的片面認(rèn)知，也不利于數(shù)學(xué)文化的傳承．?dāng)?shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的做法可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和發(fā)展歷史，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．研究提供了數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)課堂的方法，進(jìn)行了數(shù)學(xué)史融入初中課堂的案例研究，包括加深數(shù)學(xué)概念的理解，避免數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤重現(xiàn)以及導(dǎo)入新課提高學(xué)習(xí)興趣3個(gè)方面的研究，為初中數(shù)學(xué)教師提供教學(xué)參考．

數(shù)學(xué)史；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；教學(xué)方法；案例研究

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家Wilkins[1]認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是讓每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該：（1）掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)；（2）具有數(shù)學(xué)推理能力；（3）承認(rèn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性和社會(huì)影響；（4）理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展；（5）對(duì)數(shù)學(xué)有積極的態(tài)度．依此標(biāo)準(zhǔn)審視國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，恐怕后兩條是最令人擔(dān)憂的．盡管新課程改革給基礎(chǔ)教育帶來(lái)新氣象，但是因考試的指揮棒而被動(dòng)、機(jī)械學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況并未得到有效改善．

數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和發(fā)展歷史，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和積極態(tài)度．相關(guān)研究可以分為兩大類，一類研究認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂中有效滲透數(shù)學(xué)史是一種教學(xué)手段，可以培養(yǎng)和保持學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極態(tài)度．比如，Jones[2]認(rèn)為，在課堂中滲透數(shù)學(xué)史可以作為一種教學(xué)手段來(lái)改善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度；McBride[3]發(fā)現(xiàn)，每節(jié)課給學(xué)生講五分鐘數(shù)學(xué)故事，可以讓學(xué)生保持對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度；Fauvel[4]積極提倡通過(guò)在課堂中融入數(shù)學(xué)史來(lái)改善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度；Liu Po-Hung[5]等學(xué)者呼吁一線教師需要在課堂中使用數(shù)學(xué)史來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．另一類研究認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效滲透數(shù)學(xué)史能夠改變學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就．比如，新加坡學(xué)者Wee Leng NG[6]發(fā)現(xiàn)，在初二數(shù)學(xué)課堂中滲透秦九韶的名著《數(shù)書(shū)九章》，可以極大地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和科學(xué)成績(jī)；Schiefele[7]等發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生特別是新加坡的華裔學(xué)生，學(xué)習(xí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的經(jīng)典作品，可以增加他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也可以提高學(xué)生的成績(jī)；Katz[8]認(rèn)為，在課堂中使用數(shù)學(xué)史可以培養(yǎng)學(xué)生積極的學(xué)習(xí)心向，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和發(fā)展歷史，提供多元的學(xué)習(xí)方式．?dāng)?shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義已經(jīng)是許多數(shù)學(xué)教育家的共識(shí)：利用數(shù)學(xué)史可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，啟發(fā)學(xué)生的人格成長(zhǎng)，預(yù)見(jiàn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁[9]．

那么，如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效滲透數(shù)學(xué)史呢？國(guó)內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究，Jankvist[10]認(rèn)為，數(shù)學(xué)史在課堂中使用的路徑分為：數(shù)學(xué)史作為教學(xué)工具和數(shù)學(xué)史作為教學(xué)目標(biāo)．他認(rèn)為數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)方法分為：基于歷史法、歷史啟發(fā)法和模塊教學(xué)法；學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的方式分為：數(shù)學(xué)史工作單、模塊學(xué)習(xí)和學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)劃．汪曉勤[11]認(rèn)為，數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)方式是：重構(gòu)式、附加式、順應(yīng)式和復(fù)制式．Tzanakis、ArcaviJ[12]等提出，數(shù)學(xué)史的融入方法是：提供歷史材料，討論數(shù)學(xué)話題和發(fā)展數(shù)學(xué)意識(shí)．

基于以上研究，依據(jù)北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)?七年級(jí)上》[13]的內(nèi)容，精心選取對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)趣聞和數(shù)學(xué)文化讀物，綜合以上所提及的數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)史的路徑，經(jīng)過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)施和課后反思形成相應(yīng)案例，擬為初中數(shù)學(xué)教師提供切實(shí)的教學(xué)參考．

1 滲透數(shù)學(xué)史 掌握核心概念

如果教師把數(shù)學(xué)僅僅視作一種技能或者一件工具去傳授，這樣做縱使傳授了有關(guān)知識(shí)，亦必掩蓋了數(shù)學(xué)作為文化活動(dòng)的面目[14]．?dāng)?shù)學(xué)是一門(mén)累積起來(lái)的學(xué)科，它將永遠(yuǎn)融會(huì)于它的過(guò)去以及未來(lái)當(dāng)中[14]．?dāng)?shù)學(xué)教師應(yīng)該利用數(shù)學(xué)史來(lái)展示數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的歷史和現(xiàn)狀，進(jìn)而教師能更好傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生能更好理解數(shù)學(xué)核心概念[14]．

1.1 “有理數(shù)”相關(guān)概念的教學(xué)

在“2.1有理數(shù)”的教學(xué)中，“負(fù)數(shù)”和“有理數(shù)”作為這一章的重點(diǎn)內(nèi)容和核心概念，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)．有關(guān)負(fù)數(shù)的概念，最早記載于在名著《九章算術(shù)》[15]中，書(shū)中提出了“正負(fù)術(shù)”，“術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之”．《九章算術(shù)》的第八章“方程”中，把“賣(mài)（收入錢(qián)）”作為正，則“買(mǎi)（付出錢(qián)）”作為負(fù)，把“余錢(qián)”作為正，則“不足錢(qián)”作為負(fù)．在關(guān)于糧谷計(jì)算的問(wèn)題中，是以“益實(shí)（增加糧谷）”為正，以“損實(shí)（減少糧谷）”為負(fù)．中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽[15]在《九章算術(shù)》的“正負(fù)術(shù)”的注文中給出了正負(fù)數(shù)的定義：“今兩算得失相反，要令正、負(fù)以名之．”意思是說(shuō)，在計(jì)算過(guò)程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們．教師在課堂中講述負(fù)數(shù)的歷史，融入《九章算術(shù)》中的實(shí)例和定義，讓學(xué)生對(duì)“負(fù)數(shù)”概念的理解更加深入．在“有理數(shù)”的教學(xué)中，教師介紹有理數(shù)的起源和傳播，把“有理數(shù)”的歷史稱為“一場(chǎng)美麗的誤會(huì)”，來(lái)還原“有理數(shù)”概念的本來(lái)面目．通過(guò)有理數(shù)的歷史，教師可以幫助學(xué)生澄清頭腦中對(duì)“有理數(shù)”的錯(cuò)誤理解，幫助學(xué)生掌握有理數(shù)的概念．

1607年，中國(guó)數(shù)學(xué)家徐光啟和西方傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）根據(jù)克拉維烏斯的《歐幾里得原本十五卷》翻譯成古漢語(yǔ)的《幾何原本》[19]．在《幾何原本》[19]中，他們將有理數(shù)“proportio”翻譯為古漢語(yǔ)中的“理”，這里的“理”意思是“比值”，徐光啟和利瑪竇的翻譯也是忠于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)于“有理數(shù)”的原意來(lái)翻譯的．可是“有理數(shù)”傳播到日本的時(shí)候出現(xiàn)了偏差，在明治維新之前，日本關(guān)于歐洲數(shù)學(xué)的論著研究，基本上都是采用中國(guó)譯本．日本學(xué)者將中國(guó)文言文中的“理”直接翻譯成了“理”，而不是古漢語(yǔ)所解釋的“比值”．后來(lái)，日本學(xué)者直接用錯(cuò)誤的“理”翻譯出了“有理數(shù)”，可謂差之毫厘、謬以千里．當(dāng)“有理數(shù)”從日本傳回中國(guó)時(shí)又延續(xù)這個(gè)錯(cuò)誤，清末中國(guó)派留學(xué)生到日本，將“有理數(shù)”傳回中國(guó)，因此現(xiàn)在中日兩國(guó)都用“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”的說(shuō)法．可見(jiàn)，由于當(dāng)年日本學(xué)者對(duì)中國(guó)文言文的理解不到位，才出現(xiàn)了“美麗的誤會(huì)”．因此，“有理數(shù)”的原意是指“成比例的數(shù)”，而不是學(xué)生想象中的“有道理的數(shù)”，教師幫助學(xué)生澄清“有理數(shù)”這一概念，可以更好地協(xié)助學(xué)生掌握有理數(shù)的概念．同時(shí)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)“有理數(shù)”翻譯的歷史，讓學(xué)生理解和體會(huì)“有理數(shù)”概念的歷史和現(xiàn)狀，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵．

1.2 “有理數(shù)的乘方”相關(guān)概念的教學(xué)

1.3 “認(rèn)識(shí)一元一次方程”相關(guān)概念的教學(xué)

在金庸的《射雕英雄傳》[24]中也有講述中國(guó)古代“天元術(shù)”的精彩片段：

只見(jiàn)那內(nèi)室墻壁圍成圓形，地下滿鋪細(xì)沙，沙上畫(huà)著許多橫直符號(hào)和圓圈，又寫(xiě)著些“太”“天元”“地元”“人元”“物元”等字．黃蓉自幼受父親教導(dǎo)，頗精歷數(shù)之術(shù)，見(jiàn)到地下符字，知道盡是些術(shù)數(shù)中的難題，那是算經(jīng)中的“天元之術(shù)”，雖然甚是繁復(fù)，但只要一明其法，也無(wú)甚難處（按：即今日代數(shù)中多元多次方程式，我國(guó)古代算經(jīng)中早記其法，天、地、人、物四字即西方代數(shù)中X、Y、Z、W四未知數(shù)）．黃蓉從腰間抽出竹棒，倚在郭靖身上，隨想隨在沙上書(shū)寫(xiě)，片刻之間，將沙上所列的七八道算題盡數(shù)解開(kāi)．

這些算題那女子（瑛姑）苦思數(shù)月，未得其解，至此不由得驚訝異常，呆了半晌，忽問(wèn)：“你是人嗎？”黃蓉微微一笑，道：“天元四元之術(shù)，何足道哉？算經(jīng)中共有一十九元，‘人’之上是仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天，‘人’之下是地、下、低、減，落、逝、泉、暗、鬼．算到第十九元，方才有點(diǎn)不易罷啦！”那女子（瑛姑）沮喪失色，身子搖了幾搖，突然一跤跌在細(xì)沙之中……

教師將這段與方程有關(guān)的文字素材展示給學(xué)生，再播放影視作品《射雕英雄傳》中的對(duì)應(yīng)片段，讓學(xué)生對(duì)“一元一次方程”的概念有更進(jìn)一步的理解，對(duì)方程有更深入的體會(huì)．教師在講解“一元一次方程”概念時(shí)，借鑒“一元一次方程”的發(fā)展歷史來(lái)講解新課，使用小說(shuō)素材，講述有關(guān)方程的趣事，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度．在課堂中為學(xué)生提供“一元一次方程”方程概念的來(lái)龍去脈，提供學(xué)生感興趣的與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的小說(shuō)讀物，數(shù)學(xué)課堂變得更加多彩，更具人文價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)教育的人文價(jià)值一直是數(shù)學(xué)教育的重要價(jià)值取向[25]，數(shù)學(xué)教師需要積極開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)課堂的人文教育功能[26]，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．

2 引入數(shù)學(xué)史 避免錯(cuò)誤重現(xiàn)

教育家斯賓塞（Herbert Spenser）認(rèn)為：兒童的教育，無(wú)論在方式上，或在安排上，均須與歷史上人類的教育相對(duì)應(yīng)[27]．換言之，個(gè)人知識(shí)的發(fā)生必須遵循種族知識(shí)發(fā)生的途徑[27]．弗賴登塔爾（H. Freudenthal）強(qiáng)調(diào)：盡管年輕人的學(xué)習(xí)方式改變了，但年輕人的學(xué)習(xí)仍會(huì)重蹈人類的學(xué)習(xí)過(guò)程[28]．?dāng)?shù)學(xué)教師都應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，應(yīng)該在課堂中引入數(shù)學(xué)史來(lái)避免先驅(qū)的失誤在學(xué)生中重現(xiàn)[29]．在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師引入數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤和先驅(qū)的失誤，會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算過(guò)程更加清晰，可以有效地讓學(xué)生避免這些錯(cuò)誤．在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生重新經(jīng)歷人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重大幾步[30]，這樣的數(shù)學(xué)課堂會(huì)取得更好的教學(xué)效果．

2.1 利用數(shù)學(xué)史講透數(shù)學(xué)運(yùn)算法則

在“有理數(shù)的運(yùn)算”的教學(xué)中，可以引入“有理數(shù)運(yùn)算法則”的歷史，讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算的法則理解得更加透徹，避免運(yùn)算的錯(cuò)誤．《九章算術(shù)》[15]中記載了有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則：“正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益．正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之．其異名相除，同名相益．正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之．”元代朱世杰在《算學(xué)啟蒙》[20]記載了有理數(shù)的乘除法運(yùn)算法則：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負(fù)”．教師通過(guò)引入《九章算術(shù)》和《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)有理數(shù)的表述，讓學(xué)生感悟有理數(shù)的運(yùn)算法則，體會(huì)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，了解有理數(shù)運(yùn)算法則的起源與發(fā)展．

數(shù)學(xué)教育學(xué)者Arcavi[33]在課堂教學(xué)中曾經(jīng)引用過(guò)有關(guān)負(fù)數(shù)歷史的例子，這個(gè)例子[34]是：“17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家Arnaud（1612—1694）曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)一封信給他的同事Prestet（1648—1691），他在信中寫(xiě)道：如何把-1/1和1/-1在比例的法則下協(xié)調(diào)起來(lái)？一方面，如果考慮分?jǐn)?shù)方程-1/1=1/-1，比例法則是正確無(wú)誤的；但是另一方面，這個(gè)方程并沒(méi)有看上去那么的準(zhǔn)確，較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么可以等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢？”Arcavi[33]通過(guò)讓學(xué)生在課堂中討論這一例子，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生在討論中澄清對(duì)負(fù)數(shù)的錯(cuò)誤觀念，讓學(xué)生避免數(shù)學(xué)家的類似錯(cuò)誤．教師可以通過(guò)在課堂中介紹負(fù)數(shù)的歷史，讓學(xué)生加深對(duì)負(fù)數(shù)概念的理解，澄清學(xué)生的困惑，避免錯(cuò)誤的觀念重現(xiàn)．

2.2 從歷史錯(cuò)誤中厘清相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確表達(dá)方式

表1 整式符號(hào)的發(fā)展歷史

2.3 從歷史事件中明晰抽樣調(diào)查的樣本特征

在“6.2普查與抽樣調(diào)查”的教學(xué)中，為了預(yù)防學(xué)生在抽樣調(diào)查中出現(xiàn)忽視樣本的代表性和廣泛性，片面關(guān)注大樣本的錯(cuò)誤情況，教師在課堂中引入“《文學(xué)文摘》雜志社對(duì)1936年總統(tǒng)選舉的預(yù)測(cè)”的反面故事[40]，同時(shí)引入“蓋洛普（Gallup George Horace）民意測(cè)驗(yàn)所對(duì)1936年總統(tǒng)選舉的預(yù)測(cè)”的正面故事[41]．教師通過(guò)正反兩方面的數(shù)學(xué)史故事，引導(dǎo)學(xué)生避免在抽樣調(diào)查中重蹈《文學(xué)文摘》雜志社的錯(cuò)誤，讓學(xué)生體會(huì)抽樣調(diào)查的樣本應(yīng)該具有代表性和廣泛性的特點(diǎn)．

在“《文學(xué)文摘》雜志社對(duì)1936年總統(tǒng)選舉的預(yù)測(cè)”的反面故事中，教師通過(guò)這個(gè)故事讓學(xué)生意識(shí)到，雖然《文學(xué)文摘》采用了1?000萬(wàn)的大樣本，但由于樣本缺乏廣泛性和代表性，《文學(xué)文摘》的預(yù)測(cè)最終失敗了．教師在融入反面故事的同時(shí)，引入“蓋洛普民意測(cè)驗(yàn)所對(duì)1936年總統(tǒng)選舉的預(yù)測(cè)”的正面故事：蓋洛普在抽樣調(diào)查時(shí)，只抽樣調(diào)查了1?000個(gè)樣本，但是他注意到樣本在性別、年齡、職業(yè)、收入、種族和文化層次等基本指標(biāo)的分布同美國(guó)人口的結(jié)構(gòu)保持一致．這樣的樣本實(shí)際上是美國(guó)總?cè)丝诘囊粋€(gè)縮影，因而具有代表性和廣泛性．因此蓋洛普大膽預(yù)言羅斯福將連任總統(tǒng)，蓋洛普民意測(cè)驗(yàn)的預(yù)測(cè)最終獲得成功．教師通過(guò)在課堂中介紹《文學(xué)文摘》和蓋洛普的統(tǒng)計(jì)學(xué)故事，使得學(xué)生對(duì)于抽樣調(diào)查的樣本選取更加的重視和認(rèn)真，對(duì)于“抽樣調(diào)查要注意樣本的廣泛性和代表性”這一知識(shí)點(diǎn)理解的更加深入．同時(shí)，教師可以提醒學(xué)生避免重犯《文學(xué)文摘》在抽樣調(diào)查中的錯(cuò)誤，澄清學(xué)生腦海中“大樣本一定能保證調(diào)查結(jié)論準(zhǔn)確”的錯(cuò)誤觀念．

3 數(shù)學(xué)史故事導(dǎo)入法為學(xué)生打開(kāi)另一扇數(shù)學(xué)之窗

F·克萊因[42]（F. Klein）指出：“教學(xué)應(yīng)遵循人類從知識(shí)的原始狀態(tài)到更高級(jí)形式的道路．推廣這種自然的、真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識(shí)．”數(shù)學(xué)史知識(shí)可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的支撐，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)文化[43]．?dāng)?shù)學(xué)家的軼聞趣事，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[43]．?dāng)?shù)學(xué)教育需要更多的數(shù)學(xué)文化素材和數(shù)學(xué)故事來(lái)改善數(shù)學(xué)課堂的現(xiàn)狀．因此，整理出數(shù)個(gè)可用于初一數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)歷史故事，為初中數(shù)學(xué)教師提供數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的素材，希望為課堂帶來(lái)一些新鮮的氣息，從而達(dá)到導(dǎo)入新課內(nèi)容，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的目的．

3.1 “科學(xué)記數(shù)法”的教學(xué)導(dǎo)入

在“2.10科學(xué)記數(shù)法”的新課教學(xué)中，如果一開(kāi)始直接講授科學(xué)記數(shù)法的概念，會(huì)顯得有點(diǎn)生硬和突兀，這時(shí)不妨用一則數(shù)學(xué)史小故事作為新課的開(kāi)頭，為數(shù)學(xué)課堂增添人文的色彩．這則故事的名字叫“海邊奇思”[44]．教師通過(guò)“海邊奇思”這則故事來(lái)吸引學(xué)生的注意，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)課的趣味．故事[45]如下：

公元前3世紀(jì)后半葉的某一天，阿基米德的朋友、敘拉古王子蓋羅在海邊散步．阿基米德三句話不離本行，談起了數(shù)學(xué)問(wèn)題．

“我們腳下的這片沙灘共有幾粒沙？”阿基米德問(wèn)朋友．

“想必有無(wú)窮多粒吧．”蓋羅回答．

“那整個(gè)西西里島上的沙粒數(shù)呢？”阿基米德接著問(wèn).

“當(dāng)然也是無(wú)窮．”蓋羅不假思索．

“可是，親愛(ài)的朋友，不僅是西西里島，世界上任何一個(gè)地方的沙粒數(shù)都是有限的．我可以證明，我能找到一個(gè)大數(shù)，使得裝滿整個(gè)地球、甚至整個(gè)宇宙的沙粒數(shù)不超過(guò)這個(gè)數(shù)！”阿基米德自信地說(shuō)．阿基米德通過(guò)他的幾何證明，證明出整個(gè)宇宙的沙粒數(shù)目不超過(guò)1后面63個(gè)0．

通過(guò)讓學(xué)生們幫助阿基米德表示出這個(gè)大數(shù)，從而引出科學(xué)計(jì)數(shù)法這一新課內(nèi)容．雖然這個(gè)“海邊奇思”的故事是后人根據(jù)阿基米德的《數(shù)沙者》編寫(xiě)的故事，真實(shí)性有待考究，但是從數(shù)學(xué)文化的角度來(lái)說(shuō)，如果可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美和數(shù)學(xué)的魅力，這樣的數(shù)學(xué)文化素材也是非常具有教育意義和價(jià)值的．因此教師在課堂教學(xué)中，可以融入一些數(shù)學(xué)家的軼事、趣聞和故事，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．

3.2 “字母表示數(shù)”的教學(xué)導(dǎo)入

在“3.1字母表示數(shù)”的新課講授中，教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)故事來(lái)引起學(xué)生的有意注意，提高學(xué)生興趣．教師通過(guò)數(shù)學(xué)故事“到底有多少家伙”來(lái)回答“為什么需要用字母表示數(shù)”的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)．在新課的教學(xué)中，教師引用英國(guó)幽默作家杰羅姆在《懶人閑思錄》[45]中的一段故事：

十二世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)，你可別指望他會(huì)后退三步，凝視情人的眼睛，然后告訴她：你太美了，美得簡(jiǎn)直不像活人．他會(huì)說(shuō)他要到外邊去看看，倘若正好碰上那么一位仁兄，并打破他的腦袋——我指的是另外那個(gè)家伙的腦袋，這就說(shuō)明他——前一個(gè)人——的情人是個(gè)漂亮姑娘．但要是另一個(gè)家伙打破他的頭——不是他自己的，這你知道，而是另一個(gè)家伙的——另一個(gè)家伙是對(duì)第二個(gè)家伙而言，這就是說(shuō)，因?yàn)槭聦?shí)上另一個(gè)家伙僅僅對(duì)于他來(lái)說(shuō)才是另一個(gè)家伙，而不是第一個(gè)家伙——好了，如果他的頭被打破，那么他的女孩——不是另一個(gè)家伙的，而這個(gè)家伙……

如果一開(kāi)始讓學(xué)生去看這段話，學(xué)生會(huì)感到非常的迷惑，因?yàn)閷W(xué)生搞不清楚到底哪個(gè)家伙是哪個(gè)家伙．如果把這段話用整式表示的話：

你瞧，如果A打破了B的頭，那么A的情人就是一個(gè)漂亮女孩；反之，如果B打破了A的頭，則A的情人不是漂亮女孩，B的情人才是[44]．

雖然這段話不是數(shù)學(xué)史，但是作為一個(gè)情景引入的數(shù)學(xué)文化素材，同樣可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力和數(shù)學(xué)文化的魅力．為了讓數(shù)學(xué)課堂充滿人文的氣息，教師可以運(yùn)用一些與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的文學(xué)素材，讓數(shù)學(xué)看上去不是那么的枯燥、抽象與生硬[33]，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀[33]，展示數(shù)學(xué)教育的人文價(jià)值與人文關(guān)懷．通過(guò)杰羅姆在《懶人閑思錄》中與“字母表示數(shù)”有關(guān)的文字片段的引入，學(xué)生一定對(duì)學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”非常感興趣，而且覺(jué)得數(shù)學(xué)非常有用和有價(jià)值．

3.3 “綜合與實(shí)踐——幻方”的教學(xué)導(dǎo)入

在“綜合與實(shí)踐——幻方”課堂中，教師可以融入與“幻方”有關(guān)的數(shù)學(xué)文化和文學(xué)素材，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度．幻方是科學(xué)的結(jié)晶與吉祥的象征，發(fā)源于中國(guó)古代的洛書(shū)——九宮圖．《易經(jīng)系辭》[46]記載了：“河出圖，洛出書(shū)，圣人則之．”《論語(yǔ)》[47]記載了：“子曰：‘鳳鳥(niǎo)不至，河不出圖，吾已矣夫！’”《莊子·天運(yùn)》[48]提出：“天有六極五常，帝王順之則治，逆之則兇．九洛之事，治成德備，監(jiān)照下土，天下戴之，此謂上皇．”《大戴禮·明堂篇》[49]中有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛書(shū)九宮數(shù)記載．教師可以通過(guò)融入幻方的歷史引入新課，讓學(xué)生了解幻方的歷史起源和發(fā)展．同時(shí)，教師還可運(yùn)用金庸《射雕英雄傳》[24]中的一段“瑛姑與黃蓉的對(duì)話”作為教學(xué)素材，增添教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化韻味，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與人文之間的聯(lián)系，展示數(shù)學(xué)教育的人文價(jià)值．“瑛姑與黃蓉的對(duì)話”文摘如下：

那女子（瑛姑）沮喪失色，身子搖了幾搖，突然一跤跌在細(xì)沙之中，雙手捧頭，苦苦思索，過(guò)了一會(huì)，忽然抬起頭來(lái)，臉有喜色，道：“你（黃蓉）的算法自然精我百倍，可是我問(wèn)你：將一至九這九個(gè)數(shù)字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”

黃蓉心想：“我爹爹經(jīng)營(yíng)桃花島，五行生克之變，何等精奧？這九宮之法是桃花島陣圖的根基，豈有不知之理？”當(dāng)下低聲誦道：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”邊說(shuō)邊畫(huà)，在沙上畫(huà)了一個(gè)九宮之圖．

那女子面如死灰，嘆道：“只道這是我獨(dú)創(chuàng)的秘法，原來(lái)早有歌訣傳世．”

黃蓉笑道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇．就說(shuō)四四圖罷，以十六字依次作四行排列，先以四角對(duì)換，一換十六，四換十三，后以內(nèi)四角對(duì)換，六換十一、七換十．這般橫直上下斜角相加，皆是三十四．”那女子依法而畫(huà)，果然絲毫不錯(cuò)．

黃蓉道：“那九宮每宮又可化為一個(gè)八卦，八九七十二數(shù)，以從一至七十二之?dāng)?shù)，環(huán)繞九宮成圈，每圈八字，交界之處又有四圈，一共一十三圈，每圈數(shù)字相加，均為二百九十二．這洛書(shū)之圖變化神妙如此，諒你也不知曉．”

黃蓉對(duì)幻方的深入研究，使得自以為是“神算子”的瑛姑自嘆不如，連聲感嘆“罷了，罷了！”當(dāng)學(xué)生讀到這一小說(shuō)片段，會(huì)對(duì)幻方產(chǎn)生濃厚興趣，產(chǎn)生積極學(xué)習(xí)的心向，從而教師可以順利地開(kāi)展新課．除了文字資料的呈現(xiàn)以外，教師還可以提供視頻資料，將電視劇中《射雕英雄傳》關(guān)于“幻方”的片段在課堂中播放出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)“幻方”留下深刻印象，產(chǎn)生濃厚興趣，同時(shí)引出幻方的新課內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)文化包含動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)過(guò)程，其中存在著豐富的數(shù)學(xué)精神、理念和價(jià)值觀[50]．如果數(shù)學(xué)教師只注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視數(shù)學(xué)文化的熏陶，并不是完整的數(shù)學(xué)教育，學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境里難以獲得充分的培育和發(fā)展[50]．

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)課堂有效滲透數(shù)學(xué)史能夠使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，激發(fā)并保持學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的長(zhǎng)久效益．但必須注意的是，如果課堂教學(xué)只是把數(shù)學(xué)史從古代到現(xiàn)代匆匆走一回，羅列期間在科學(xué)上發(fā)生的主要事件和日期，那么它的教育價(jià)值與只要求學(xué)生熟記歷代皇朝的年份沒(méi)有任何區(qū)別．在講課中，完全沒(méi)加入數(shù)學(xué)史比胡亂加入數(shù)學(xué)史的課堂效果會(huì)更好．弗賴登塔爾[51]強(qiáng)調(diào)：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是遵循經(jīng)過(guò)改良、同時(shí)有更好引導(dǎo)作用的歷史過(guò)程．”教師在教學(xué)中不應(yīng)簡(jiǎn)單地去重復(fù)當(dāng)年的真實(shí)歷史，而應(yīng)致力于數(shù)學(xué)歷史的重構(gòu)，發(fā)揮重要的指導(dǎo)作用，更加注重學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)課真正“教活、教懂、教深”[52]．為了實(shí)現(xiàn)弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”，將數(shù)學(xué)的歷史和文化融入數(shù)學(xué)課堂必須謹(jǐn)慎執(zhí)行，教師在實(shí)踐的過(guò)程中應(yīng)該保持專業(yè)性和高效性．

研究將所提及的教學(xué)案例的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)、教學(xué)章節(jié)、數(shù)學(xué)史素材、教學(xué)方式、教學(xué)方法、數(shù)學(xué)史融入的方法和教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行了整理，希望對(duì)一線數(shù)學(xué)教師實(shí)施數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方法提供有益的幫助（如表2所示）．

表2 數(shù)學(xué)史融入課堂的運(yùn)用方式

數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)改革需要教育取向的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化研究，開(kāi)發(fā)與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容相契合的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂案例，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度[53]．在數(shù)學(xué)課堂上融入數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，不僅僅為了調(diào)節(jié)課堂氣氛，發(fā)揮調(diào)味品的作用，更重要的是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的歷史和現(xiàn)狀，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度．教師通過(guò)數(shù)學(xué)史融入課堂，轉(zhuǎn)變學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)刻板、枯燥和抽象的看法，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀．這不是一項(xiàng)容易的事情，新時(shí)代的數(shù)學(xué)老師需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈[54]，從而更好地肩負(fù)起這項(xiàng)責(zé)任．研究提供了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的運(yùn)用方法，以及數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的案例，旨在為初中數(shù)學(xué)教師能更高效、更專業(yè)地開(kāi)展數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐提供可資借鑒的數(shù)據(jù)和實(shí)例．

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A Case Study of Integrating Mathematical History into Junior High School Classrooms

ZENG Zheng1, YANG Yu-hui1, LI Xue-liang2

(1. Foshan University, Guangdong Foshan 528000, China; 2. Foshan Nanhai District Nanhai Experimental Middle School, Guangdong Foshan 528000, China)

The current junior high school mathematics classroom placed too much emphasis on the students’ ability to master the knowledge of mathematics content and develop students’ mathematics reasoning ability. However, they neglected to allow students to understand the current situation and historical development of mathematics and cultivate students’ positive attitude towards mathematics. The integration of mathematics history into junior high school mathematics classroom teaching allowed students to understand the current state and history of mathematics and to develop students’ positive attitude towards mathematics. This article provided methods for Integrating the history of mathematics into the mathematics classroom for junior high school students, and conducted case studies on the integration of mathematics history into the junior high school class to provide teaching references for junior middle school mathematics teachers. The case study of the integration of mathematics history into the junior high school classroom was mainly divided into three parts: 1. deepening the understanding of mathematical concepts; 2. avoiding mathematicians from making mistakes; 3. introducing new classes to improve interest in learning.

history of mathematics; junior high school mathematics teaching; teaching method; case study

2018–08–08

佛山市教育局教育科學(xué)規(guī)劃2017年度專項(xiàng)課題——初中數(shù)學(xué)教師課程資源開(kāi)發(fā)：現(xiàn)狀、問(wèn)題及對(duì)策（FSGH201711）

曾崢（1962—），男，廣東蕉嶺人，教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)教育的研究．

G633.6

A

1004–9894（2019）01–0012–07

曾崢，楊豫暉，李學(xué)良．?dāng)?shù)學(xué)史融入初中課堂的案例研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（1）：12-18．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]