非等長(zhǎng)Arnold變換圖像加密算法研究

蘭紅,方毅

（江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引 言

數(shù)字圖像作為一種信息載體，具有內(nèi)容直觀信息豐富的特點(diǎn)，廣泛運(yùn)用于人們的日常生活.在一些涉及安全保密的領(lǐng)域，圖像是一種重要的信息傳輸方式，為了確保圖像信息不被人為地惡意篡改或竊取，保證信息傳輸?shù)陌踩?，?duì)圖像進(jìn)行有效的加密就顯得尤為重要.

Arnold置亂算法[1-2]作為一種基于空間域的像素置亂算法，具有可逆性和周期性等[3-4]特性，在圖像加密領(lǐng)域有重要的地位.Arnold變換由V.I.Arnold在研究環(huán)面上的自同態(tài)時(shí)提出[5]，國(guó)內(nèi)學(xué)者丁瑋等[6]將Arnold變換應(yīng)用于圖像置亂加密中，因Arnold變換只有一個(gè)同余映射參數(shù)，導(dǎo)致該算法僅限于方陣加密.針對(duì)這一不足，許多學(xué)者對(duì)Arnold變換運(yùn)用于非方陣加密[7]進(jìn)行了相應(yīng)的論證并提出相應(yīng)改進(jìn)算法．文獻(xiàn)[8]提出選擇合適的置亂系數(shù)用于非等長(zhǎng)圖像的置亂，并給出了圖像高寬比為整數(shù)時(shí)Arnold變換周期性存在的判據(jù)．文獻(xiàn)[9]證明了圖像寬高比為奇數(shù)時(shí)，Arnold變換周期也存在，并給出了一個(gè)改進(jìn)的Arnold變換矩陣用于任意大小圖像的加密，但僅采用該變換矩陣對(duì)圖像置亂加密易被破解．文獻(xiàn)[10]提出一種將非正方形圖像劃分成多個(gè)正方形區(qū)域，并對(duì)每個(gè)正方形區(qū)域分別置亂加密的算法，該算法使用Arnold變換，區(qū)域選擇及變換矩陣存在局限性．

針對(duì)文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的不足，立足于提升圖像加密效果和加密安全性，提出了一種非等長(zhǎng)Arnold變換圖像加密改進(jìn)算法．實(shí)驗(yàn)表明文中提出的改進(jìn)算法對(duì)任意寬高圖像的加密是有效的．

1 Arnold變換

1.1 等長(zhǎng)Arnold變換

設(shè)圖像像素矩陣大小為N×N，矩陣內(nèi)像素坐標(biāo)為（x，y），且 x，y∈[0,1,…,N-1]，若（x，y）和（x′，y′）滿足映射式（1），則稱為等長(zhǎng)Arnold變換．

式（1）中，a，b，c，d∈Z+，且滿足 gcd（ad-bc，N）=1（Z+表示正整數(shù)，gcd（·）表示最大公約數(shù))，實(shí)際應(yīng)用中，通常取 a=b=c=1，d=2．

1.2 非等長(zhǎng)Arnold變換

設(shè)圖像像素矩陣大小為M×N，矩陣內(nèi)像素坐標(biāo)為（x，y），且 x∈[0,1,…,M-1]，y∈[0,1,…,N-1]若（x，y）和（x′，y′）滿足映射式（2），則稱為非等 長(zhǎng)Arnold變換．

式（2）中，a，b，c，d∈Z+，且滿足|ad-bc|＞0．特別地，當(dāng)變換矩陣，a=1，b＞0，c=nq，d=1+bc 時(shí)，對(duì)任意M×N矩陣進(jìn)行Arnold變換周期都是存在的，為適合計(jì)算，取 b=n=1，得到式（3）：

其中：

對(duì)數(shù)字圖像內(nèi)的像素點(diǎn)進(jìn)行Arnold變換，即將原圖中的像素點(diǎn)從（x，y）移動(dòng)至（x′，y′），從而使得圖像內(nèi)的像素點(diǎn)在空間位置上發(fā)生了改變．當(dāng)Arnold變換遍歷圖像中所有的像素點(diǎn)后，也就生成了一幅Arnold置亂加密圖像．

1.3 Arnold變換的周期性

Arnold變換具有周期性[11-12]是指經(jīng)Arnold置亂后的加密圖像再經(jīng)過若干次變換可以得到與原圖一致的圖像，即通過周期性可以解密Arnold置亂后的圖像．假設(shè)原始圖像I0的Arnold變換周期為 T，經(jīng) n（0＜n＜T）次變換后得到置亂加密圖像 I1，若再經(jīng)過（T-n）次變換得到圖像 I2，此時(shí) I2=I0，I2也就是解密圖像．表1所示為部分圖像大?。∕，N代表行列）和Arnold變換周期T的關(guān)系．

表1 Arnold變換周期

2 基于分塊和Arnold變換的圖像加密算法

2.1 改進(jìn)算法的基本思想

當(dāng)Arnold變換周期存在時(shí)，利用周期性恢復(fù)Arnold變換置亂后的圖像是一種有效的解密方法，但是周期被獲取后加密圖像易被解密．公式（3）中，作為變換矩陣的唯一變量q的取值可通過圖像的寬高值計(jì)算獲取，若對(duì)一幅圖像使用公式（3）置亂加密，q的取值容易被獲取，從而通過Arnold變換的周期性解密圖像．將非等長(zhǎng)圖像劃分成多個(gè)正方形區(qū)域加密，雖然可以實(shí)現(xiàn)加密的目的，但是存在著兩個(gè)方面的不足，一是只使用公式（1）的一般式進(jìn)行置亂加密，變換矩陣的單一性容易成為加密漏洞，二是沒有明確的分塊方法，不同大小、不同寬高比的圖像加密時(shí)，前期分塊將復(fù)雜化．

針對(duì)以上不足，文中基于以下三個(gè)方面對(duì)非等長(zhǎng)圖像Arnold變換進(jìn)行改進(jìn)．

1）等長(zhǎng)Arnold變換和非等長(zhǎng)Arnold變換混合運(yùn)用于圖像置亂加密．兩種Arnold變換因周期性的存在，若對(duì)一幅圖像單獨(dú)使用其中一種變換，安全性能并不高，在置亂加密過程中將兩種變換混合使用，可以使得Arnold變換周期和變換公式均存在差異．

2）局部周期確定，整體上周期不存在．將圖像劃分成若干個(gè)方陣和非方陣，每個(gè)分塊區(qū)域都存在周期，各個(gè)區(qū)域大小不一，周期也就有所區(qū)別，而對(duì)于加密圖像整體而言，周期性并不存在．

3）提升實(shí)用性．實(shí)際運(yùn)用中，待加密圖像的大小不盡相同，若沒有明確區(qū)域劃分的方法，將使得加密過程十分繁瑣，因此為了提升加密方法的實(shí)用性，需要確定圖像分塊的方法．

改進(jìn)后的圖像加密算法首先對(duì)圖像進(jìn)行分塊，劃分成等長(zhǎng)和非等長(zhǎng)區(qū)域，然后采用相對(duì)應(yīng)的Arnold變換公式對(duì)各個(gè)區(qū)域進(jìn)行置亂加密，最終得到加密圖像．

2.2 圖像分塊

為將圖像劃分成若干個(gè)方陣和非方陣，本文使用一種改進(jìn)的隨機(jī)取點(diǎn)分塊法來實(shí)現(xiàn)該目的．該算法通過在圖像內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，點(diǎn)擴(kuò)展為面，以此確定方塊位置，然后延展方塊邊界將圖像除方塊外區(qū)域分割，最終將圖像完整分塊．具體操作如下：

step1:獲取圖像的寬高m×n；

step2:設(shè)置初始參數(shù)：方塊個(gè)數(shù)（num）和方塊寬高（l）；

step3:在范圍內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)（mi，ni）;

step4:點(diǎn)（mi，ni）擴(kuò)展為 l×l方形區(qū)域．

step5:圖像剩余區(qū)域通過延長(zhǎng)方塊的邊界分割成若干矩陣．

通過隨機(jī)取點(diǎn)分塊法，可將圖像劃分成任意方塊和若干個(gè)非方塊，滿足算法需求．

圖像分塊的偽代碼描述如下：

%%隨機(jī)取點(diǎn)獲取方塊

IMG=imread（′img_name．jpg′）;%讀取圖像

[m,n]=size（IMG）;%獲取圖像的寬高

Num_Square=num;

Side_length=l;%輸入初始參數(shù)：方形矩陣個(gè)數(shù)和方陣寬高

for i=1:num

mi=unidrnd（m-l）;%在 0～m-l內(nèi)隨機(jī)取整數(shù)

ni=unidrnd（n-l）;%在 0～n-l內(nèi)隨機(jī)取整數(shù)

end

Block（i）=IMG（mi:mi+l-1,ni:ni+l-1）;

%Block（i）為分割出的方塊

以圖1為例說明隨機(jī)取點(diǎn)分塊法的實(shí)現(xiàn)效果．選取600×800灰度實(shí)景圖，初始參數(shù)設(shè)置為：方塊個(gè)數(shù)num=2，方塊寬高l=300，采用隨機(jī)取點(diǎn)分塊法進(jìn)行分塊．圖1（a）表示劃分的方形區(qū)域，圖1（b）為完整的分塊圖，通過該分塊法原始圖像被劃分為2個(gè)300×300方塊和6個(gè)大小各異的非方塊．

圖1 隨機(jī)取點(diǎn)分塊法

2.3 分塊法Arnold置亂圖像

為避免分塊內(nèi)外的像素點(diǎn)發(fā)生置換，各分塊在加密過程中需作為一個(gè)單獨(dú)的整體存在．如圖2所示，設(shè)圖像中點(diǎn)（x0，y0）為某一分塊的左上角坐標(biāo)，移動(dòng)圖像的直角坐標(biāo)系，原圖像中（x0，y0）轉(zhuǎn)換為分塊坐標(biāo)系中的原點(diǎn)（0，0），分塊區(qū)域在原圖像中的坐標(biāo)范圍為x∈X，y∈Y，則轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)范圍為 x∈X-x0，y∈Y-y0．

圖2 分塊法坐標(biāo)變換

將等長(zhǎng) Arnold 變換式（1）變換為式（5），其中a=b=c=1，d=2，像素點(diǎn)坐標(biāo)由（x，y）變?yōu)椋▁-x0，yy0），n表示為方塊的邊長(zhǎng)，具體公式如下：

同理，非等長(zhǎng) Arnold變換式（3）變換為式（6），m和n分別表示非方塊的寬高.

對(duì)圖1（b）中的正方形和非正方形區(qū)域采用公式（5）和公式（6）分別進(jìn)行置亂50次，得到圖3.

圖3 分塊置亂

由圖3（b）可看出非等長(zhǎng)Arnold變換直接運(yùn)用于非方形區(qū)域的置亂效果不佳，而且存在明顯的紋理特征，圖3（c）中各分塊之間存在明顯的分界線，為解決這些問題，在圖像分塊后應(yīng)對(duì)圖像預(yù)置亂，破壞圖像的原始特征，再對(duì)各分塊置亂加密，進(jìn)一步提升加密效果.

2.4 加密解密流程

解密是加密的逆過程.本文改進(jìn)算法利用Arnold變換的周期性依次對(duì)各分塊進(jìn)行解密，得到最終解密圖.圖 4（a）和圖 4（b）分別給出了本文改進(jìn)算法的加密及解密流程圖.

圖4 加密解密流程

3 實(shí)驗(yàn)仿真及算法分析

為證明改進(jìn)算法的有效性，在處理器為Intel（R）Core（TM）i5-4210U 1.70 GHz的 Windows 7操作系統(tǒng)下，采用MATLAB R2014a仿真軟件平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真.

3.1 圖像置亂加密

選取450×500的非等長(zhǎng)灰度Lena圖像作為原始圖像，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：方塊個(gè)數(shù)num=2，方塊寬高l=200，非等長(zhǎng)Arnold變換預(yù)置亂10次，各分塊采用相應(yīng)的Arnold變換公式分別置亂50次.

在圖像內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，得到坐標(biāo)為 （189，83）和（42，200）的兩點(diǎn)，然后進(jìn)行分塊得到圖 5（a）.在原始圖像未預(yù)置亂的情況下使用公式（5）對(duì)方塊區(qū)域置亂，得到圖 5（b），之后使用公式（6）對(duì)分塊中非方形區(qū)域置亂得到圖 5（c），圖 5（d）為預(yù)置亂圖，圖5（e）為本文算法完整置亂加密圖.對(duì)比圖 5（c）和圖5（e），在未預(yù)置亂的情況下，各分塊的分界線明顯，部分分塊存在紋理特征，而預(yù)置亂后的加密圖則解決了上述問題，顯著提升了加密效果.本文改進(jìn)算法中，預(yù)置亂的時(shí)間復(fù)雜度為O（n2），分塊法Arnold置亂也為O（n2），因預(yù)置亂和分塊法Arnold置亂是依次進(jìn)行的，故算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（n2）.雖然在時(shí)間復(fù)雜度方面本文算法跟經(jīng)典Arnold變換一樣，沒有明顯提升，但基于分塊變換的置亂加密對(duì)加密效果有較大提升.

圖5 置亂加密圖

實(shí)驗(yàn)過程中記錄各分塊區(qū)域大小、q值取值和變換周期，得到表2.

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

由表2可以看出，非等長(zhǎng)Arnold變換式（6）中q的取值實(shí)現(xiàn)了多樣化，也表明其變換矩陣具有多樣性，而且在同一幅圖像中各個(gè)區(qū)域因大小的不同，Arnold變換周期也隨之發(fā)生改變.

3.2 剪切攻擊

為驗(yàn)證本文算法抗攻擊能力，對(duì)圖5的置亂圖像進(jìn)行剪切攻擊，然后利用Arnold變換的周期性對(duì)被攻擊圖像進(jìn)行恢復(fù).實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)將圖5（e）若干50×50的區(qū)域像素點(diǎn)值置為255，得到圖6（a）和圖 6（c），圖 6（b）和圖 6（d）為相對(duì)應(yīng)的恢復(fù)圖像.

由圖 6（b）和圖 6（d）可看出，改進(jìn)算法可以有效地將剪切攻擊分布均勻化，恢復(fù)圖像與原圖相差無(wú)幾，說明加密圖像具有很好地抗剪切攻擊能力，能保障在被惡意攻擊之后的得到最大程度地恢復(fù).

3.3 像素點(diǎn)空間相關(guān)性

相關(guān)性是指相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)密切程度，對(duì)于一幅數(shù)字圖像而言，相鄰的像素點(diǎn)之間存在水平、垂直、對(duì)角方向的空間相關(guān)性，一般來說，圖像像素點(diǎn)之間具有很高的相關(guān)性，而對(duì)于加密圖像而言，像素點(diǎn)的相關(guān)性越低表示圖像越亂，置亂加密程度也越高同時(shí)安全性也更高.

選用大小為400×300的灰度圖作為實(shí)驗(yàn)圖像，測(cè)試本文算法在降低圖像像素點(diǎn)之間空間相關(guān)性的效果并且與文獻(xiàn)[10]算法進(jìn)行對(duì)比分析.采用文獻(xiàn)[10]算法將原圖劃分成六塊正方形區(qū)域得到圖7（a），分別對(duì)每塊區(qū)域Arnold置亂50次得到圖7（b）；本文算法參數(shù)設(shè)為方塊個(gè)數(shù)num=2，方塊寬高l=200，非等長(zhǎng)Arnold變換預(yù)置亂10次，圖 7（c）為分塊圖，各分塊分別置亂50次，得到圖7（d）.

在加密圖像中隨機(jī)選取2000組數(shù)據(jù)，記作（xi，yi），i=1,2,3,…,2000，使用公式（7）計(jì)算像素點(diǎn)之間的水平、垂直、對(duì)角方向的空間相關(guān)性，式（7）中cov表示協(xié)方差，D表示方差，方差和協(xié)方差的計(jì)算公式分別為式（8）和式（9）；式（8）和式（9）中的 E表示期望，期望的計(jì)算公式為式（10）.

圖6 剪切攻擊圖

圖7 對(duì)比置亂加密圖

利用公式（7）計(jì)算的像素空間相關(guān)性如表3所示.

由表 3 可知，圖 7（d）比圖 7（b）的水平、垂直、對(duì)角線方向的空間系數(shù)分別降低了0.0782、0.0998、0.0682，相比較于文獻(xiàn)[10]算法，本文算法能更好地破壞像素點(diǎn)之間的相關(guān)性.

表3 像素空間相關(guān)系數(shù)

4 結(jié) 論

文中在等長(zhǎng)和非等長(zhǎng)Arnold變換的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖像分塊提出的改進(jìn)算法在直觀上取得了很好的加密效果，解決了非等長(zhǎng)Arnold變換在圖像加密中存在的問題，圖像像素點(diǎn)之間的相關(guān)性大大降低，各分塊周期的差異性和Arnold變換矩陣多樣性很好地提升了解密難度.結(jié)合本文算法的局限，下一步將對(duì)Arnold變換結(jié)合像素值的改變做更加深入的研究.