地鐵網(wǎng)絡(luò)可控性的研究

曾璐,楊杰,劉軍,王莉

（1.江西理工大學，a.應用科學學院；b.電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000；2.北京交通大學交通運輸學院，北京100044）

0 引 言

地鐵具有運量大、綠色、快捷等特點，已成為世界上城市的骨干交通方式.地鐵的地理環(huán)境特殊、技術(shù)構(gòu)成復雜、系統(tǒng)耦合性強、自然環(huán)境影響大等特征給軌道交通的運營安全提出了嚴峻的挑戰(zhàn).因此，地鐵網(wǎng)絡(luò)可控性研究對地鐵的運輸組織和規(guī)劃具有重要意義.

迄今為止將復雜網(wǎng)絡(luò)應用于地鐵系統(tǒng)的研究已有不少，但是研究主要集中于復雜網(wǎng)絡(luò)特性指標的研究.系統(tǒng)控制理論方面的研究不論是傳統(tǒng)的控制理論還是現(xiàn)代控制理論都已經(jīng)非常成熟[1].但是控制理論研究僅僅局限在系統(tǒng)控制，沒有在網(wǎng)絡(luò)方面加以應用.大規(guī)模系統(tǒng)的控制由早期的蜂擁控制過渡到持續(xù)多年的牽引控制.牽制控制是復雜網(wǎng)絡(luò)控制方式的代表，汪小帆等[2-3]將牽引控制與蜂擁控制思想進行了結(jié)合研究；陳關(guān)榮[4]研究了牽制控制在復雜網(wǎng)絡(luò)中的應用，有向復雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的能控性，以及“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”建模等內(nèi)容．

Liu[5]研究了有向網(wǎng)絡(luò)的能控性問題，首次將控制理論中的狀態(tài)空間方程秩的判斷運用到網(wǎng)絡(luò)可控性當中，同時將有向網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為二分圖并求出最大匹配．Liu的研究掀起了網(wǎng)絡(luò)可控性研究的一個新的起點，為后續(xù)學者的研究奠定了基礎(chǔ)．Yan[6]在Liu研究的基礎(chǔ)上，從能量消耗的角度分析了不同類型網(wǎng)絡(luò)的可控性與能量消耗關(guān)系．Nepusz[7]考慮了網(wǎng)絡(luò)中連邊上的動力學過程，將網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為以邊為主體的模型．Ferrarini[8]將驅(qū)動節(jié)點的概念延伸到驅(qū)動邊，指出節(jié)點是時變的，但是邊通常是恒定的．Jia[9]利用隨機抽樣的方法計算出節(jié)點的控制能力，發(fā)現(xiàn)節(jié)點的控制能力由節(jié)點的入度決定，入度越大的節(jié)點越不容易成為驅(qū)動節(jié)點．

此外，席裕庚[10]運用了大系統(tǒng)控制理論的典型方法解決復雜網(wǎng)絡(luò)的可控性，構(gòu)建了 “系統(tǒng)—控制—信息（System-control-information,SCI）”的 分層結(jié)構(gòu)．Lombardi[11]將可控矩陣應用于網(wǎng)絡(luò)中，指出矩陣是從輸入信號到節(jié)點的路徑增益．Meng[12]研究了鐵路列車服務(wù)網(wǎng)的可控性．基于列車服務(wù)網(wǎng)的免疫傳播和級聯(lián)失效定義了驅(qū)動節(jié)點，構(gòu)建了改進的LB模型，研究了驅(qū)動節(jié)點搜索算法，提出了列車服務(wù)網(wǎng)的對偶圖．在工控系統(tǒng)中，周克良等[13]基于可變論域模糊PID控制，設(shè)計了PLC控制的烘房智能溫控系統(tǒng)，使系統(tǒng)輸出響應達到穩(wěn)定可控的狀態(tài)．Ravindran[14]運用最大匹配算法識別驅(qū)動節(jié)點，并對其進行了分類，通過可控性分析識別癌癥信號網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵調(diào)控基因．研究發(fā)現(xiàn)主干驅(qū)動節(jié)點是癌癥表型關(guān)鍵的因素．Li[15]對美國電網(wǎng)的拓撲結(jié)構(gòu)和可控性進行了分析，提出了一種新的方法量化間歇節(jié)點成為驅(qū)動節(jié)點的概率．

目前網(wǎng)絡(luò)可控性的研究基本上都是基于復雜網(wǎng)絡(luò)，將網(wǎng)絡(luò)可控性運用于實例少之又少．大部分的既有研究都是在復雜網(wǎng)絡(luò)特性層面上，即便是運用于不同類型網(wǎng)絡(luò)分析也是回歸到網(wǎng)絡(luò)特性指標的分析．

文中基于地鐵網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性的分析，在傳統(tǒng)控制理論基礎(chǔ)上構(gòu)建了地鐵網(wǎng)絡(luò)可控模型．以北京地鐵為例驗證了地鐵可控模型，并對三大城市北京、東京和廣州的地鐵網(wǎng)絡(luò)進行了可控特性分析．期望通過改變驅(qū)動節(jié)點個數(shù)使得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達到期望的狀態(tài)，即整個地鐵網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)處在可控范圍之內(nèi)．

1 網(wǎng)絡(luò)控制理論

1.1 系統(tǒng)可控

對于系統(tǒng)，希望通過對外界輸入信號使得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達到期望狀態(tài)，或者適當?shù)妮斎胝{(diào)整網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能，從而實現(xiàn)對網(wǎng)絡(luò)的全面控制．但是實際當中由于復雜網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)規(guī)模龐大，傳統(tǒng)的控制理論很難直接應用，單計算量就非常大，計算復雜度也非常高．而且大部分現(xiàn)實中的復雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都是非線性的，影響因素頗多，而且存在很多不穩(wěn)定因素，因此實現(xiàn)全網(wǎng)的控制非常困難．

如果存在一個分段連續(xù)的輸入u（t），能在有限時間區(qū)間[t0，tf]內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài) x（t0），轉(zhuǎn)移到指定的任意終端狀態(tài)x（tf），則稱此狀態(tài)是能控的．若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，簡稱系統(tǒng)能控．在控制理論中，線性時不變定常系統(tǒng)的輸入-輸出模型表示如公式（1）所示：

其中，x（t）是狀態(tài)量即 x（t）=（x1（t），…，xN（t））T；

u（t）是輸入信號即 u（t）（u1（t），…，uM（t））T，M≤N；

A 是狀態(tài)矩陣，A∈RN×N；

B 是輸入矩陣，B∈RN×M；

線性定常系統(tǒng)Σ（A，B）其狀態(tài)完全可控的充要條件是由A、B構(gòu)成的可控性判別矩陣滿秩，即rank（C）=N；當 rank（C）＜N 時，系統(tǒng)為不可控．

1.2 地鐵網(wǎng)絡(luò)可控模型

地鐵系統(tǒng)是典型的復雜系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及設(shè)備設(shè)施的復雜性使得系統(tǒng)的不穩(wěn)定性增強．如果能對其可控，通過改變輸入信號，可提高突發(fā)事件發(fā)生后應急處置效率．

地鐵網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)中，節(jié)點對應地鐵車站，邊對應車站之間的軌道交通線路．根據(jù)公式（1）在地鐵網(wǎng)絡(luò)建模，運用狀態(tài)空間方程，可將公式（1）進行如下變換為：

式（3）中：狀態(tài)矩陣 A 的元素 aij，j為目的車站，i為起始車站，i和j為相鄰車站．如果兩個相鄰車站之間有軌道相連，aij=1，否則aij=0；

xi（t）為 t時刻 j站的客流狀態(tài)等級，根據(jù)車站內(nèi)設(shè)施設(shè)備客流密度，將客流狀態(tài)劃分為4個等級；

bij為輸入矩陣B的元素，如果i到j(luò)站有始發(fā)車則控制輸入系數(shù)為1，否則為0；

uj（t）為第j個車站在 t時刻的存車量，存車量即有效時間內(nèi)（未來一段時間）能夠提供的運輸能力.

1.3 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控優(yōu)化理論

在網(wǎng)絡(luò)控制中，Liu[5]提出了一種最少驅(qū)動節(jié)點ND的方法控制網(wǎng)絡(luò)，仿真實驗結(jié)果表明驅(qū)動節(jié)點的數(shù)量主要是由網(wǎng)絡(luò)度分布決定的.稀疏的異質(zhì)型網(wǎng)絡(luò)往往更難控制，稠密的同質(zhì)型網(wǎng)絡(luò)則需要少數(shù)的驅(qū)動節(jié)點即可控制.稀疏性是指網(wǎng)絡(luò)平均度遠小于最大可能的連通度N（網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)目），比如地鐵網(wǎng)絡(luò)等.異質(zhì)型網(wǎng)絡(luò)不僅考慮網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，而且還考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點和邊的內(nèi)容屬性信息.例如社交網(wǎng)絡(luò)、微博網(wǎng)絡(luò)、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)、語言概念網(wǎng)絡(luò)等.

Liu[5]將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控與圖論相結(jié)合，從邊和點匹配的方法去判斷一個網(wǎng)絡(luò)是否可控.判斷一個網(wǎng)絡(luò)是否結(jié)構(gòu)可控，必須具備以下三個前提條件.可控網(wǎng)絡(luò)如圖1所示.

1）線性控制系統(tǒng)（A，B）是結(jié)構(gòu)可控的；

2）有向圖（A，B）不包含不可達節(jié)點也不包含擴張結(jié)構(gòu)；

3）有向圖（A，B）由掌結(jié)構(gòu)生成的.

在圖 1 中，通過給定輸入信號 u1，u2，u3，如果系統(tǒng)是可控的，輸入信號可以通過所有的路徑到達所有的節(jié)點.如何將不可控的網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為可控的網(wǎng)絡(luò)，或者說如何確定一個網(wǎng)絡(luò)的最少輸入信號即驅(qū)動節(jié)點數(shù)量，這就轉(zhuǎn)化為匹配問題了.二分圖匹配點的方法，將網(wǎng)絡(luò)中的各個節(jié)點進行匹配.匹配邊是指任意兩條有向邊沒有共同的頂點 （頭或尾節(jié)點），匹配點是匹配邊的頭節(jié)點.

圖1 可控網(wǎng)絡(luò)

如果全網(wǎng)的所有邊都沒有共享頭節(jié)點或尾節(jié)點，則稱全網(wǎng)達到最大匹配，即ND＝1.假如沒有完全匹配，驅(qū)動節(jié)點的值ND等于非匹配的節(jié)點數(shù)，如公式4所示.對非匹配的節(jié)點給定輸入信號可達所有的匹配點即可控制全網(wǎng)，同時通過最大匹配法也可得到最少的驅(qū)動節(jié)點.

2 案例分析

2.1 典型地鐵網(wǎng)可控性算例

截至2015年12月26日，北京地鐵共有18條運營線路（包括17條地鐵線路和1條機場線），去除未開通的車站擁有319座車站 （包括重復計算換乘站）.將該理論運用于整個北京地鐵全網(wǎng)上，考慮雙方向的通車情況，即一條線車的通行是雙向的.為了方便計算，構(gòu)建一個基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫，具體如圖2所示.

對全網(wǎng)上的每一個車站按線進行編號，例如1號線：蘋果園 0101，古城 0102，八角游樂園 0103，八寶山 0104，玉泉路 0105，五棵松 0106，…；2號線：西直門0201，車公莊0202，阜城門0203，….車站編號的前兩位是線路編號，后兩位是這個車站所在線路的編號，如表1所示.區(qū)間構(gòu)成的矩陣即為狀態(tài)矩陣A，始發(fā)車即為輸入矩陣B.根據(jù)地鐵的拓撲圖可以知道構(gòu)成的A矩陣必定是稀疏矩陣.

圖2 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫

節(jié)點與節(jié)點之間的邊是有向的，方向為車的行駛方向，則全網(wǎng)是雙向網(wǎng)絡(luò).依據(jù)區(qū)間基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，運用鄰接矩陣性質(zhì)解析可得到狀態(tài)矩陣A為一個由0和1構(gòu)成的319*319矩陣：

B矩陣由始發(fā)車站構(gòu)成的輸入矩陣，所謂的始發(fā)車站即從車輛段發(fā)出的空車到本站上人.通過北京地鐵各線行車情況數(shù)據(jù)及時刻表可獲得各線始發(fā)車具體如表1所示.B矩陣即變換為一個由0和1構(gòu)成的319*51的矩陣：

表1 北京市軌道交通路網(wǎng)各線路、車站編號、始發(fā)車站

根據(jù)北京市2015年12月實際運營線路圖，建立如圖3所示的北京地鐵驅(qū)動節(jié)點網(wǎng)絡(luò)拓撲圖.圖3中黑色的圓圈代表驅(qū)動節(jié)點車站即始發(fā)車站.通過計算可得，rank C=68，說明系統(tǒng)是不可控的.

圖3 基于驅(qū)動節(jié)點的北京地鐵網(wǎng)絡(luò)拓撲

此外，還對廣州地鐵做了同樣的可控性驗證.截止到2016年4月，廣州地鐵車站去除未開通及APM線（包括重復計算換乘站）共有160個.通過基礎(chǔ)數(shù)據(jù)解析可得到控制矩陣C，計算可得rank C=37，整個廣州地鐵網(wǎng)絡(luò)也是不可控的.

地鐵網(wǎng)不同于其它的網(wǎng)絡(luò)，它存在數(shù)量較多的換乘站點.換乘節(jié)點至少是由兩條線路交叉，甚至更多的線路交錯在一起.根據(jù)最大匹配理論，換乘站節(jié)點周圍不匹配節(jié)點較多，驅(qū)動節(jié)點數(shù)量不夠，所以網(wǎng)絡(luò)不可控.

2.2 典型地鐵網(wǎng)絡(luò)可控特性分析

在世界地鐵系統(tǒng)中，北京地鐵運營規(guī)模居世界之首.截止到2015年，年客運量已經(jīng)達到32.5億人次.日本東京，是全亞洲最早的地鐵線路城市.目前包括由都營地下鐵、東京地下鐵兩家公司共同營運的總共13條線路.截止到2016年4月共有287個車站（重復計算），運營里程達到304.1 km，日平均運量約850萬人次.廣州地鐵是我國第四個開通并運營地鐵的城市.截至2016年4月，廣州地鐵共有9條運營路線，總長為260.5 km，共172座車站（重復計算）.

在拓撲結(jié)構(gòu)和運輸組織方式上，東京地鐵相對比較復雜，北京地鐵相對規(guī)范，廣州地鐵較為簡單.通過三大地鐵的數(shù)據(jù)查詢以及列車時刻表，可得到它們的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)信息及始發(fā)車站信息.基于驅(qū)動節(jié)點的定義，三大城市地鐵的車站數(shù)量（不包括重復計算）、驅(qū)動節(jié)點數(shù)和邊數(shù)如圖4所示.數(shù)量是最少的，但是驅(qū)動節(jié)點比重卻最大.這是由于廣州地鐵不存在環(huán)線，主要是呈現(xiàn)放射狀態(tài)，換乘站較少，節(jié)點的度數(shù)及聚類系數(shù)都比較低，因此相對比較稀疏.但是越稀疏的網(wǎng)絡(luò)所需的驅(qū)動節(jié)點數(shù)目相對較多.

圖4 三大城市地鐵指標對比

北京與東京相比，東京的節(jié)點數(shù)小于北京，但是驅(qū)動節(jié)點所占的比重卻大于北京.這是因為東京的線網(wǎng)結(jié)構(gòu)復雜于北京，其存在多種列車開行方案及運輸組織方式，采用的是迂回線路，靈活性較強.三大城市地鐵驅(qū)動節(jié)點度k的度分布p（k）如圖6所示.

東京地鐵的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)的是放射環(huán)狀結(jié)構(gòu)，將環(huán)線和放射線相結(jié)合，避免了客流過度集中，增強了整個網(wǎng)絡(luò)的連通性.另外，從運行計劃及時刻表發(fā)現(xiàn)，東京地鐵的運輸組織方式融合了周期化列車運行，直通運行及快慢車混合運行的多種運營方式.

北京地鐵的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)依據(jù)北京城市規(guī)劃的分布，地鐵線網(wǎng)結(jié)構(gòu)是以天安門為中心向四周擴散，環(huán)線也是較為方正.城區(qū)線網(wǎng)呈現(xiàn)棋盤狀，線路末端呈放射狀.我國地鐵列車速度較為單一、列車間越行及跨線的機會較少.

廣州地鐵的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)主要由“交通疏導型”和“規(guī)劃引導型”線路構(gòu)成，至今沒有環(huán)線線路，形成的是既向心又交織的線網(wǎng)結(jié)構(gòu).

大多數(shù)實際存在的大型網(wǎng)絡(luò)通常都具有稀疏性，根據(jù)稀疏型網(wǎng)絡(luò)的定義可知地鐵網(wǎng)絡(luò)屬于稀疏型網(wǎng)絡(luò).三大城市的驅(qū)動節(jié)點占節(jié)點總數(shù)百分比的對比圖如圖5所示.

圖5 三大城市驅(qū)動節(jié)點與節(jié)點對比

從圖5中可得出，驅(qū)動節(jié)點占所有節(jié)點比率最高的是廣州，然后依次是東京和北京.北京與廣州相比，節(jié)點數(shù)北京是最多的，但是驅(qū)動節(jié)點占節(jié)點比重是最少的.地鐵實際線網(wǎng)結(jié)構(gòu)中廣州的節(jié)點

圖6 三大城市地鐵度分布

圖6 中，北京地鐵網(wǎng)車站數(shù)是最多的，線網(wǎng)規(guī)劃結(jié)構(gòu)屬棋盤狀，線路橫平豎直，基本沿著大的城市干道，經(jīng)過了主要的城市重要建筑和場所，整體來說較為規(guī)整.驅(qū)動節(jié)點及換乘站點的度數(shù)較為平均，其驅(qū)動節(jié)點的度分布呈現(xiàn)冪律度分布.以上分析可以得出，有向網(wǎng)絡(luò)中需要施加的外界輸入的節(jié)點即驅(qū)動節(jié)點的個數(shù)與該網(wǎng)絡(luò)的度分布有關(guān).

3 結(jié) 論

本文主要從網(wǎng)絡(luò)可控的角度研究了地鐵網(wǎng)絡(luò)的可控性，并結(jié)合實例分析了其特點.具體得出結(jié)論如下：

1）構(gòu)建了地鐵網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，依據(jù)結(jié)構(gòu)可控模型，以北京地鐵為例驗證了網(wǎng)絡(luò)可控性理論.比較了不同結(jié)構(gòu)的地鐵網(wǎng)，從復雜網(wǎng)絡(luò)的特性指標及可控的角度分析了它們的結(jié)構(gòu)可控特點.

2）通過對地鐵網(wǎng)絡(luò)可控性的分析，結(jié)果表明地鐵物理網(wǎng)在現(xiàn)行條件下是不可控的.因此當突發(fā)事件發(fā)生時，地鐵的應急效率相對較低，在應急管理方面通常依賴公交等其它交通方式接駁.

3）通過對典型地鐵網(wǎng)絡(luò)可控特性分析，相對于廣州、東京，北京的驅(qū)動節(jié)點占所有節(jié)點的百分比略低.從網(wǎng)絡(luò)可控性角度，建議北京地鐵增加驅(qū)動節(jié)點數(shù)量，提高其可控性，改進目前運輸組織策略.

以上分析只是局限在物理網(wǎng)的架構(gòu)下，在下一步的研究中打算將客流加載在當前的地鐵網(wǎng)絡(luò)上，將客流和列車服務(wù)相結(jié)合，實現(xiàn)真正意義上的運能協(xié)調(diào)及控制.