帶奇異項(xiàng)的次臨界Schr?dinger方程的基態(tài)解

汪繼秀, 張丹丹*, 黃巧巧

(1. 湖北文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 襄陽(yáng) 441053; 2. 湖北文理學(xué)院 理工學(xué)院電子科學(xué)與信息工程系, 湖北 襄陽(yáng) 441025)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

本文主要研究一類(lèi)次臨界帶奇異項(xiàng)的擬線性Schr?dinger方程

u|?Ω=0

(1)

研究這類(lèi)方程的動(dòng)機(jī)主要源于

i?tz=-Δz+W(x)z-h(x,|z|2)z-

Δl(|z|2)l′(|z|2)z,

(2)

其中,i是虛數(shù)單位,z:R×RN→C,W:RN→R是給定勢(shì)能,h:(RN,R+)→R,l:R+→R.

這類(lèi)Schr?dinger方程經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)物理中,并且取不同的非線性項(xiàng)l可以得到不同的物理現(xiàn)象的模型[1-7].本文特別感興趣的是關(guān)于問(wèn)題(2)的駐波解,即令z(t,x)=e-iEtu(x),E∈R,u是一實(shí)值函數(shù),則方程(2)轉(zhuǎn)化成

-Δu+V(x)u-Δl(|u|2)l′(|u|2)u=

h(x,u),x∈RN,

(3)

其中,V(x)=W(x)-E,h是一個(gè)新的非線性項(xiàng).若z是方程(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是橢圓型方程(3)的解.若取l(s)=s,則方程(3)轉(zhuǎn)化成

-Δu+V(x)u-Δ(|u|2)u=

h(x,u),x∈RN,

(4)

當(dāng)h(x,u)=|u|q-2u,Poppenberg等[8]證明了若N≥3,4

h(x,u)=λ|u|q-2u+|u|22*(0)-2u,

若N≥3,λ>0,4

2 主要結(jié)果

由變分法,方程(1)對(duì)應(yīng)的泛函

f(-t)=-f(t),t∈(-∞,0],

則I(u)轉(zhuǎn)化為

▽v▽?duì)?

由文獻(xiàn)[10],如果v是

(5)

的解,則u=f(v)是方程(1)的解.

定理1假設(shè)N≥3,0≤μ<2,40時(shí),方程(5)(即方程(1))至少有一個(gè)基態(tài)解.

3 定理的證明

▽u▽vdx,

Ls(Ω,|x|-μ)表示帶權(quán)函數(shù)|x|-μ的Ls范數(shù),其范數(shù)定義為

證明中為了方便,記C為一個(gè)正常數(shù)(在同一個(gè)數(shù)學(xué)式子里也可能不同).由于0∈Ω,不妨假設(shè)B1?Ω(B1為RN中單位球).為了證明定理1,需要先給出幾個(gè)引理.

引理1[10-11,13-14]f(t)滿足以下性質(zhì):

(i)f是定義在R上的C∞函數(shù),并且可逆;

(ii) ?t∈R,0

(iii) ?t∈R,|f(t)|≤|t|;

(v) 存在C>0使得

令

▽v|2dx<ρ2},

則有如下引理.

引理2當(dāng)λ>0,泛函J滿足:

(i) 存在α0,ρ0>0,使得當(dāng)v∈?B(ρ0),J(v)≥α0>0;

證明(i) 由引理1(vii)知

▽f2(v)|2dx=

(6)

由4

再由上式對(duì)?v∈?B(ρ)有

(7)

由(7)式和引理1(v),當(dāng)t充分大,則有

則q>4,當(dāng)t→+∞時(shí),J(v)→-∞.

因而得到引理1(ii).

γ(1)≠0,J(γ(1))<0}.

J(vn)→c, (1+‖vn‖)J′(vn)→0.

〈J′(vn),φn〉→0,n→∞.

因此從上式有

引理4在定理1的條件下,J關(guān)于水平集c滿足(C)c條件.

vn→v,a.e.于Ω,

(8)

vn→v, 于Lp(Ω,|x|-μ),

2≤p<2*(μ), 0≤μ<2.

(9)

J(vn)→c, J′(vn)→0,

〈J′(vn),vn-v〉=o(1).

(10)

由(9)式和引理1(i)及(iii)可知

f(vn)→f(v), 于Lq(Ω,|x|-μ),

4

則

且vn?v與L2*(μ)(Ω,|x|-μ),因而

(11)

綜合(8)和(11)式有

〈J′(v),vn-v〉=o(1).

(12)

另外,Lebesgue控制收斂暗含

|f(vn)|q-2f(vn)f′(vn)→

由H?lder不等式和

可得

(vn-v)dx→0.

(13)

結(jié)合(10)、(12)和(13)式可得

o(1)=〈J′(vn)-J′(v),v-vn〉=

(vn-v)dx=‖vn-v‖+o(1),

利用引理3、引理4和山路引理[16]直接可以得到定理1.